高中数学（人教版a版选修2-1）配套课时作业：第一章　常用逻辑用语 1.1.3 四种命题间的相互关系 5页

1.1.3 四种命题间的相互关系 【课时目标】 1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.2.会利用命题的等价性 解决问题． 1．四种命题的相互关系 2．四种命题的真假性 (1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况： 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假 (2)四种命题的真假性之间的关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有______的真假性． ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性______________． 一、选择题 1．命题“若 p 不正确，则 q 不正确”的逆命题的等价命题是( ) A．若 q 不正确，则 p 不正确 B．若 q 不正确，则 p 正确 C．若 p 正确，则 q 不正确 D．若 p 正确，则 q 正确 2．下列说法中正确的是( ) A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价 C．“若 a2＋b2＝0，则 a，b 全为 0”的逆否命题是“若 a，b 全不为 0，则 a2＋b2≠0” D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真 3．与命题“能被 6 整除的整数，一定能被 2 整除”等价的命题是( ) A．能被 2 整除的整数，一定能被 6 整除 B．不能被 6 整除的整数，一定不能被 2 整除 C．不能被 6 整除的整数，不一定能被 2 整除 D．不能被 2 整除的整数，一定不能被 6 整除 4．命题：“若 a2＋b2＝0 (a，b∈R)，则 a＝b＝0”的逆否命题是( ) A．若 a≠b≠0 (a，b∈R)，则 a2＋b2≠0 B．若 a＝b≠0 (a，b∈R)，则 a2＋b2≠0 C．若 a≠0，且 b≠0 (a，b∈R)，则 a2＋b2≠0 D．若 a≠0，或 b≠0 (a，b∈R)，则 a2＋b2≠0 5．在命题“若抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否 命题、逆否命题中结论成立的是( ) A．都真 B．都假 C．否命题真 D．逆否命题真 6．设α、β为两个不同的平面，l、m 为两条不同的直线，且 l⊂α，m⊂β，有如下的两个 命题：①若α∥β，则 l∥m；②若 l⊥m，则α⊥β.那么( ) A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7 ． “ 已 知 a ∈ U(U 为 全 集 ) ， 若 a ∉ ∁ UA ， 则 a ∈ A” 的 逆 命 题 是 ________________________________________，它是______命题．(填“真”“假”) 8．“若 x≠1，则 x2－1≠0”的逆否命题为________命题．(填“真”、“假”) 9．下列命题：①“若 k>0，则方程 x2＋2x＋k＝0 有实根”的否命题；②“若1 a>1 b ，则 a2，则方程 x2＋2x＋3m＝0 无实根，写出该命题的逆命题、否命题和 逆否命题，并判断真假． 11．已知奇函数 f(x)是定义域为 R 的增函数，a，b∈R，若 f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0. 12．若 a2＋b2＝c2，求证：a，b，c 不可能都是奇数． 【能力提升】 13．给出下列三个命题： ①若 a≥b>－1，则 a 1＋a ≥ b 1＋b ； ②若正整数 m 和 n 满足 m≤n，则 mn－m≤n 2 ； ③设 P(x1，y1)是圆 O1：x2＋y2＝9 上的任意一点，圆 O2 以 Q(a，b)为圆心，且半径为 1. 当(a－x1)2＋(b－y1)2＝1 时，圆 O1 与圆 O2 相切． 其中假命题的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 14．a、b、c 为三个人，命题 A：“如果 b 的年龄不是最大的，那么 a 的年龄最小”和命 题 B：“如果 c 的年龄不是最小的，那么 a 的年龄最大”都是真命题，则 a、b、c 的年龄 的大小顺序是否能确定？请说明理由． 1．互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假．四种命题中 真命题的个数只能是偶数个，即 0 个、2 个或 4 个． 2．当一个命题是否定形式的命题，且不易判断其真假时，可以通过判断与之等价的逆否 命题的真假来达到判断该命题真假的目的． 1.1.3 四种命题间的相互关系 知识梳理 1．若 q，则 p 若綈 p，则綈 q 若綈 q，则綈 p 2．(2)①相同 ②没有关系 作业设计 1．D [原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，只需写出原命题的否命题即可．] 2．D 3.D 4．D [a＝b＝0 的否定为 a，b 至少有一个不为 0.] 5．D [原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题．] 6．D 7．已知 a∈U(U 为全集)，若 a∈A，则 a∉∁UA 真 解析 “已知 a∈U(U 为全集)”是大前提，条件是“a∉∁UA”，结论是“a∈A”，所以原 命题的逆命题为“已知 a∈U(U 为全集)，若 a∈A，则 a∉∁UA”．它为真命题． 8．假 9.①② 10．解 逆命题：若方程 x2＋2x＋3m＝0 无实根，则 m>2，假命题．否命题：若 m≤2， 则方程 x2＋2x＋3m＝0 有实根，假命题．逆否命题：若方程 x2＋2x＋3m＝0 有实根，则 m≤2，真命题． 11．证明 假设 a＋b<0，即 a<－b，∵f(x)在 R 上是增函数，∴f(a)－1⇔a＋1≥b＋1>0 知本命题为 真命题． ②用基本不等式：2xy≤x2＋y2 (x>0，y>0)，取 x＝ m，y＝ n－m，知本命题为真． ③圆 O1 上存在两个点 A、B 满足弦 AB＝1，所以 P、O2 可能都在圆 O1 上，当 O2 在圆 O1 上时，圆 O1 与圆 O2 相交．故本命题为假命题．] 14．解 能确定．理由如下： 显然命题 A 和 B 的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑． ①由命题 A 为真可知，当 b 不是最大时，则 a 是最小的，即若 c 最大，则 a 最小，所以 c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“a 不是最小，则 b 是最大”为真，所以 b>a>c.总之 由命题 A 为真可知：c>b>a 或 b>a>c. ②同理由命题 B 为真可知 a>c>b 或 b>a>c. 从而可知，b>a>c. 所以三个人年龄的大小顺序为 b 最大，a 次之，c 最小．