2020年湖北省武汉外国语学校高考数学模拟试卷(文科)(4月份) (含答案解析) 20页

2020 年湖北省武汉外国语学校高考数学模拟试卷(文科)(4 月份) 一、单项选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 设集合 ൌ ሼሼ 香䁕 ， ൌ 4，6， ，则 ൌ 䁧A. ǡ B. ǡ䁕 C. 䁕 D. 4， 䁕 . 已知复数 ൌ复 香 香㈶ ，则 z 在复平面所对应的坐标是 䁧A. 䁧香 香 B. 䁧 香香 C. 䁧香 复 香 D. 䁧 复 香香 香. 如图是 1990 年 复 1 年我国劳动年龄 䁧1䁠 复 䁕ǡ 岁 人口数量及其占总人口比重情况： 根据图表信息，下列统计结论不正确的是 䁧 A. 2000 年我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大 B. 2010 年后我国人口数量开始呈现负增长态势 C. 2013 年我国劳动年龄人口数量达到峰值 D. 我国劳动年龄人口占总人口比重极差超过 䁕4. 已知向量 ൌ 䁧 复 1 ൌ 䁧ሼ香 ，若 ，则实数 x 的值是 䁧 A. 6 B. 复 䁕 C. 香 D. 复 香 5. 执行如图的程序框图，则输出 S 的值为 䁧 A. 2 B. 复 香 C. 复 1 D. 1 香 6. 设 ൌ ln 1 香 ， ൌ .香 ， ൌ 䁧 1 香 ，则 䁧A. B. C. D. 7. 在 香䁞 内任取一点 P，设 香䁞 、 香䁞 分别表示 香䁞 、 香䁞 的面积，则 香䁞 香䁞 1 的概率是 䁧 A. 1 B. 1 香 C. 1 ǡ D. 香8. 函数 䁧ሼ ൌ ሼ 复ሼ 的图象可能是 䁧 A. B. C. D. 9. 已知变量 x，y 满足约束条件 ሼ ǡ ሼ 复 ǡ ，则 ൌ ሼ 的最小值为 䁧 A. 14 B. 8 C. 6 D. 4 10. 若函数 ሼ ൌ复 sin ሼ ǡ 的图象经过点 复 香 1䁕 ，则 ൌ 䁧 ．，E、F 分别为 PC、CD 的中点 香 ൌ ݔ ൌ 䁞ݔ ൌ ൌ ， 香䁝䁝䁞ݔ 为直角， 香ݔ 底面 ABCD， 中， 复 香䁞ݔ 18. 如图，在四棱锥 ． 前 n 项和 ，求 ൌ 复 1 设 䁧 通项公式； 求 䁧1 ，公比为大于 1 的数． 香 ǡ 䁠 ൌ ， 香ǡ䁠 ൌ 䁠1 满足 17. 等比数列 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 的值为______． t ǡ 则 . 点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 的直线与抛物线相交于 A，B ǡ 的焦点，经过点 F 且倾斜角为 ൌ ሼ䁧 16. 已知点 F 为抛物线 ______ ． 的解集是 ሼ 䁧ሼ 䁧 ，则不等式 ̵䁧ሼ 䁧ሼ 满足 ̵䁧ሼ 的导函数 䁧ሼ䁧ሼ 15. 已知可导函数 ，则 B 的大小为______ ． ㌳䁣香 ㌳䁣䁞 ൌ 复 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且 香䁞 14. 在 处的切线方程______． 䁧1ǡ 在点 ሼ 1 香 䁧ሼ ൌ ሼ 13. 求曲线 1二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） D. C. ǡ B. 䁧A. 于 ，则该棱柱的外接球表面积等 1 ൌ ，侧棱长 香 ൌ 中，底面边长 香䁞 复 1香1䁞1 12. 正三棱柱 D. 1 C. B. 䁧A. MF 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率是 的焦点重合，且在第一象限的交点为 M， ൌ ǡሼ䁧 的右焦点 F 与抛物线 ൌ 1 复 ሼ 11. 双曲线 ǡ 䁕 复 D. ǡ 䁕 C. ǡ 复 䁕 复 B. ǡ 复 䁕 A. ．存在，请说明理由 ，若存在请求出点 Q 的坐标，若不 ᦙ䁡 ൌ 香ᦙ䁡 轴上是否存在点 Q，使得 k 变化时总有 ሼ Ⅱ 䁧 求 C 的方程； Ⅰ 䁧 ． 1 复 时 OP 的斜率为 ൌ 1 香两点，P 为 AB 的中点，当 交 C 于 ൌ ሼ 复 右焦点的直线 ൌ 1䁧 ሼ 䁞 19. 平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 的体积． ݔܤ 复 香 求三棱锥 Ⅱ 䁧 平面 BEF； ݔ䁝䁝 证明：平面 Ⅰ 䁧 20. 某学校为调查该校学生每周使用手机上网的时间，随机收集了若干位学生每周使用手机上网的 时间的样本数据 䁧 单位：小时 ，将样本数据分组为 ， ǡ ， ǡ䁕 ， 䁕 ， 1 ， 11 ， 绘制了如右图所示的频率分布直方图，已知 内的学生有 5 人． 䁧1 求样本容量 n，并估计该校学生每周平均使用手机上网的时间 䁧 同一组中的数据用该组区间的 中点值代替 ； 䁧 将使用手机上网的时间在 ǡ1 内定义为“长时间看手机”，使用手机上网的时间在 ǡ 内 定义为“不长时间看手机” . 已知在样本中有 25 位学生不近视，其中“不长时间看手机”的有 15 位学生．请将下面的 列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过 .1 的前 提下认为该校学生长时间看手机与近视有关． 近视 不近视 合计 长时间看手机 不长时间看手机 15 合计 25 参考公式和数据： ൌ 䁧ܽ复 䁧䁧ܽ䁧䁧ܽ ， ൌ ܽ ． 䁧 .1 .䁠 .1 .䁠 .1 .䁕 香.ǡ1 香.ǡ1 䁕.䁕香䁠 1. 21. 已知函数 䁧ሼ ൌ ǡሼ 复 ሼ 1䁧 ． 䁧1 若函数在点 䁧1䁧1 处的切线与直线 ሼ 复 复 1 ൌ 平行，求实数 m 的值； 䁧 若对任意 ሼ 1 ，都有 䁧ሼ 恒成立，求实数 m 的取值范围． 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ሼ ൌ复 1 cos ൌ sin 䁧 其中 为参数 ，以坐标 原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 1 的极坐标方程为 ൌ 1 sin䁧 ǡ ，设 1 与 C 相交于 A，B 两点，AB 的中点为 M，过点 M 作 1 的垂线 交 C 于 P，Q 两点． 䁧1 写出曲线 C 的普通方程与直线 1 的直角坐标方程； 䁧 求 ᦙ ᦙ 的值． 23. 已知函数 䁧ሼ ൌ ሼ 复 复 ሼ 䁧 ． 䁧1 当 ൌ 1 时，求不等式 䁧ሼ 的解集． 䁧 求证：函数 䁧ሼ 的图象与 x 轴围成的图形为三角形． ．故选：B 对． 䁕.ݔ 故极差超过 ， 䁕 ，最小为 1992 年，约为 ǡ D 选项，我国劳动年龄人口占总人口比重最大为 2011 年，约为 C 选项，从图上看，2013 年的长方形是最高的，即 2013 年我国劳动年龄人口数量达到峰值，C 对， B 选项，2010 年到 2011 年我国劳动年龄人口数量有所增加，故 B 错． ，也是最多的．故 A 对． 香 口数量占总人口比重的增幅约为 A 选项，2000 年我国劳动年龄人口数量增幅约为 6000 万，是图中最大的，2000 年我国劳动年龄人 本题考查了读图识图的能力，属于基础题． 解析： 3.答案：B 故选：D． ． 复 香香 在复平面所对应的坐标是 ， ൌ复 香 香㈶ 复数 解： 直接由复数 z 写出 z 在复平面所对应的坐标． 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 解析： 2.答案：D 考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算． 可求出集合 M，然后进行交集的运算即可． 故选：A． ． ൌ ǡ ； ൌ ሼ 复 䁕 ሼ 䁕 解析：解： 1.答案：A 答案与解析】】 4.答案：C 解析： 本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题． 利用向量垂直的性质直接求解． 解： 向量 ൌ 䁧 复 1 ൌ 䁧ሼ香 ，且 ， ൌ ሼ 复 香 ൌ ， 解得 ሼ ൌ 香 ． 故选 C． 5.答案：A 解析： 本题主要考查程序框图，属于基础题，难度较易． 模拟程序框图的运行过程，即可得出输出 S 的值． 解： ൌ 1䁣 ൌ复 香 ൌ 䁣 ൌ复 1 ൌ 香䁣 ൌ 1 香 ൌ ǡ䁣 ൌ 以 4 作为一个周期， 所以 ൌ 1䁕䁣 ൌ ， 故选 A． 6.答案：A 解析： 本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识，是基础题． 利用指数函数、对数函数的性质直接求解． 解： ൌ ln 1 香 1 ൌ ， ൌ .香 ൌ 1 ， ൌ 䁧 1 香 䁧 1 香 ൌ 1 ， ． 故选：A． ．故选：C ，此时函数没有零点，故排除 D， 复ሼ 䁧ሼ ൌ ሼ 时， ሼ 当 故图象关于原点对称，故排除 A，B， 为奇函数， 䁧ሼ 所以函数 ， ൌ复 䁧ሼ 复ሼ ൌ复 ሼ 复复ሼ 䁧 复 ሼ ൌ复 ሼ 所以 ，定义域为 R， 复ሼ 䁧ሼ ൌ ሼ 解：由题意，函数 根据函数的奇偶性和函数值的变化趋势，利用排除法即可判断． 本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，考查运算求解能力，属于基础题． 解析： 8.答案：C 故选 C． 所以 ． ， ǡ 香 因为阴影部分的面积是整个三角形面积的 ， 是三角形的中位线 ܤ䁧ݔ 事件 A 的几何度量为图中三角形 ADE 的面积 如图 䁧 基本事件空间是三角形 ABC 的面积， ， 1 香䁞 香䁞 ൌ 解：记事件 的比例即可． 方法，然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是什么．再根据几何关系求解出它们 的概率，即可考虑画图求解的 1 的面积超过 香䁞 内任取一点 P，则 香䁞 首先分析题目求在面积为 或体积，属于基础题． 本题主要考查了几何概型．解决有关几何概型的问题的关键是认清基本事件空间是指面积还是长度 解析： 答案：C.7 9.答案：C 解析：解：由约束条件作出可行域如图， 化目标函数 ൌ ሼ 为 ൌ复 ሼ ， ൌ ሼ ൌ ǡ ሼ ൌ ൌ ； 由图可知，当直线 ൌ复 ሼ 过 䁧 时， 直线在 y 轴上的截距最小，z 最小，为 ൌ 䁕 ， 故选：C． 由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出 最优解的坐标，代入目标函数得答案． 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 10.答案：D 解析： 本题考查三角函数求值，考查运算求解能力．由图象经过点 复 香 1䁕 ，代入函数解析式求得 的值， 然后可求答案． 解：因为函数 ሼ 的图象过点 复 香 1䁕 ，所以 sin 复 香 1䁕 ǡ ൌ ， 从而 复 香 1䁕 ǡ ൌ ，解得 ൌ ǡ复1䁕 香 ． 又 ǡ复1䁕 香 ， 所以 复 1 1 ǡ ，则 ൌ ， ൌ ǡ 香 ， 所以 ൌ复 sin ǡ 香 ǡ ൌ复 䁕 ǡ故选 D． 11.答案：C 解析：解：抛物线 ൌ ǡሼ 的焦点为 t䁧 ， 由 MF 与 x 轴垂直，令 ሼ ൌ ，可得 t ൌ ， 双曲线 ሼ 复 ൌ 1 的实半轴为 a，半焦距 c，另一个焦点为 t̵ ， 由抛物线 ൌ ǡሼ 的焦点与双曲线的右焦点 F 重合， 即 ൌ ，可得双曲线的焦距 tt̵ ൌ ൌ ， 由于 tt̵ 为直角三角形，则 t̵ ൌ ， 根据双曲线的定义，得 ൌ t̵ 复 t ൌ 复 ， 可得 ൌ 䁧 复 1 ， 因此，该双曲线的离心率 ൌ ൌ 1 复1 ൌ 1 ． 故选：C． 根据抛物线的方程算出其焦点为 t䁧 ，得到 t ൌ . 设双曲线的另一个焦点为 t̵ ，由双曲线的 右焦点为 F 算出双曲线的焦距 tt̵ ൌ ， tt̵ 中利用勾股定理算出 t̵ ൌ ，再由双曲线的 定义算出 ൌ 䁧 复 1 ，利用双曲线的离心率公式加以计算，可得答案． 本题给出共焦点的双曲线与抛物线，在它们的交点在 x 轴上射影恰好为抛物线的焦点时，求双曲线 的离心率．着重考查了抛物线和双曲线的定义与标准方程、简单几何性质等知识，属于中档题． 12.答案：C 解析： 本题考查了三棱柱外接球，属于中档题．取上下底面中心连线的中 点 O，即为外接球的球心，利用直角三角形易得半径，进而得面积． 解：如图，M，N 为上下底面的中心， O 为 MN 的中点，即外接球球心， 在 䁡 中， 䁡 ൌ 1 1 ൌ 1 ， ൌ 香 香 香 ൌ 1 ， 䁡 ൌ ， 球 ൌ ǡ 䁡 ൌ ， 故选 C． 13.答案： ൌ 䁠ሼ 复 1 解析： 求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线方程． 本题主要考查函数切线的求解，利用导数的几何意义是解决本题的关键． 解： 䁧ሼ ൌ ሼ 香 ሼ 1 ， ̵䁧ሼ ൌ 香ሼ ， 则 ̵䁧1 ൌ 香 ൌ 䁠 ， 即 䁧ሼ 在点 䁧1ǡ 处的切线斜率 ൌ ̵䁧1 ൌ 䁠 ， 则对应的切线方程为 复 ǡ ൌ 䁠䁧ሼ 复 1 ，即 ൌ 䁠ሼ 复 1故答案为 ൌ 䁠ሼ 复 1 ． 14.答案： ǡ 解析： 利用正弦定理将 复 ൌ ㌳䁣䁞 ㌳䁣香 ，转化为 䁣㈶复䁣㈶䁞 䁣㈶香 ൌ ㌳䁣䁞 ㌳䁣香 ，再利用两角和与差的正弦函数即可求得角 B． 本题考查正弦定理与两角和与差的正弦，考查转化思想与运算能力，属于中档题． 解： 在 香䁞 ， 复 ൌ ㌳䁣䁞 ㌳䁣香 ，由正弦定理 䁣㈶ ൌ 䁣㈶香 ൌ 䁣㈶䁞 ൌ 得， 䁣㈶复䁣㈶䁞 䁣㈶香 ൌ ㌳䁣䁞 ㌳䁣香 ， 䁣㈶香㌳䁣䁞 ൌ 䁣㈶㌳䁣香 复 䁣㈶䁞㌳䁣香 ， sin䁧香 䁞 ൌ 䁣㈶㌳䁣香 ，又在 香䁞 ， 香 䁞 ൌ 复 ， sin䁧香 䁞 ൌ 䁣㈶ ， ㌳䁣香 ൌ ，又 香 䁧 ， 香 ൌ ǡ ． 故答案为： ǡ ． 15.答案： 䁧 解析：解：设 t䁧ሼ ൌ 䁧ሼ ሼ ， ̵䁧ሼ 䁧ሼ 对于 ሼ 恒成立 t̵䁧ሼ ൌ ̵䁧ሼ复䁧ሼ ሼ ， t䁧ሼ 在 R 上递增， 则不等式 䁧ሼ 䁧 ሼ ， 等价为 䁧ሼ ሼ 䁧 ൌ 䁧 ， 即 t䁧ሼ t䁧 ， t䁧ሼ 在 R 上递增， ሼ ， 即不等式的解集为 䁧 ， 故答案为： 䁧 根据条件 ̵䁧ሼ 䁧ሼ ，构造函数 t䁧ሼ ൌ 䁧ሼ ሼ ，利用导数研究函数的单调性即可得到结论． 本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，利用条件构造函数 t䁧ሼ ൌ 䁧ሼ ሼ 是解决本题的关键， 综合考查导数的应用． 16.答案：2 解析： 本题考查抛物线的性质及线段中垂线的求法，属于中档题． 由抛物线的方程可得焦点 F 的坐标，再由题意可得直线 AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和， 进而求出弦 AB 的中点坐标，再求弦 AB 的中垂线的方程，令 ൌ ，求出 M 的横坐标，进而求出 t的值，再求出 ǡ t 的值． 解：由抛物线的方程可得焦点 t䁧 ， 由题意可得直线 AB 的方程为： ሼ ൌ ，设 䁧ሼ11 ， 香䁧ሼ ， 直线与抛物线的方程联立 ሼ ൌ ൌ ሼ ， 整理可得： 复 复 ൌ ， 则 1 ൌ ， ሼ1 ሼ ൌ 1 ൌ 香 ， 所以弦 AB 的中点 䁞䁧 香 ， 所以弦 AB 的中垂线的方程为： 复 ൌ复 䁧ሼ 复 香 ， 令 ൌ ，可得 ሼ ൌ 䁠 ，即 䁧 䁠 ， 所以 t ൌ 䁠 复 ൌ ， 所以 ǡ t ൌ ǡ ൌ ， 故答案为 2． 17.答案：解： 䁧1 香ǡ䁠 ൌ ǡ 香 ൌ 䁠1 ， ǡ ൌ ， 香䁠 ൌ 䁕ǡ ， 香 䁠 ൌ ； 香 ൌ 1䁕 䁠 ൌ ǡ 或 香 ൌ ǡ 䁠 ൌ 1䁕 ， 又 1 ， 香 ൌ ǡ 䁠 ൌ 1䁕 ， ൌ ， ൌ 香 复香 ൌ ǡ 复香 ൌ 复1 ； 䁧 ൌ 复1 复 1 ， ൌ 䁧 1 复1 䁧1 香 䁠 复 1 ൌ 䁧 复 1 ． ．平面 BEF ݔ䁝䁝 ，结合面面平行的判定定理即可证明平面 香t ൌ t tܤ 平面 PAD，又 香t䁝䁝 平面 PAD， t䁝䁝ܤ ，根据线面平行的判定定理得 ݔ䁝䁝香t ， t䁝䁝ݔܤ 推导出 Ⅰ 䁧 解析：本题考查面面平行的判定，考查三棱锥的体积的求法，考查线面平行的判定，是中档题． ． 香 香 ൌ 香 复 复香䁞ݔ ൌ 复ܤ ݔ ൌ 复香䁞ݔ 复 复香ݔ 复ܤ 复香 ， 香 1 ൌ 1 香 1 复香䁞ݔ ൌܤ ， ൌ 1 1 ൌ 则 为 PC 的中点，设 E 到底面 ABCD 的距离为 h， ܤ ． 香 1 ൌ 1 香 1 复香ݔ ൌ ， 䁧1 ൌ 1 香 1 复香䁞ݔ ൌ ， ݔ ൌ 䁞ݔ ൌ ൌ 香 ൌ 底面 ABCD， 底面 ABCD 是直角梯形． ， 香䁝䁝䁞ݔ 为直角， 香ݔ Ⅱ 䁧 平面 BEF． ݔ䁝䁝 平面 平面 BEF， 香t ，EF、 t 香t ൌ tܤ ．平面 PAD 香t䁝䁝 平面 PAD， ݔ 平面 PAD， 香t 又 ， ݔ䁝䁝香t 四边形 ABFD 为平行四边形， ，F 为 CD 的中点， 䁞ݔ ൌ 香 ， 香䁝䁝䁞ݔ 平面 PAD． t䁝䁝ܤ ，平面 PAD ݔ 平面 PAD， tܤ 又 ， t䁝䁝ݔܤ ，F 分别为 PC、CD 的中点、 ܤ ：证明 Ⅰ 䁧 18.答案：解： 用，属于基础题． 本题考查了等比数列的通项公式的求法及等比数列与等差数列的前 n 项和的公式在分组求和中的应 ． 复 1 复 1 ൌ 䁧 䁧1 香 䁠 复1 1 ൌ 䁧 ，从而求前 n 项和 复 1 复1 ൌ 化简 䁧 ； 复1 ൌ 复香 ൌ ǡ 复香 ൌ 香 ， 䁠 ൌ 1䁕 香 ൌ ǡ ，从而可得 ǡ ൌ 可得 ൌ 䁠1 香 香ǡ䁠 ൌ ǡ 由 䁧1 解析： ．可得到结论 ，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，即 䁧 假设存在点 Q 设坐标为 Ⅱ 䁧 a，b，进而得到椭圆方程； ，运用韦达定理和中点坐标公式，解得 香䁧ሼ ， 䁧ሼ11 代入椭圆方程，设 ൌ ሼ 复 1 将直线 Ⅰ 䁧 运算能力，属于中档题． 性问题的解法，注意运用联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简整理的 解析：本题考查椭圆的方程的求法，注意运用联立直线和椭圆方程，运用中点坐标公式，考查存在 ． ᦙ䁡 ൌ 香ᦙ䁡 ，使得 ᦙ䁧 所以存有点 ， ᦙ 香ᦙ ൌ 时， ൌ 当 ， 䁧ሼ1复䁧ሼ复 1 䁧复 䁧ሼ1复䁧ሼ复 ൌ ሼ1ሼ复䁧1䁧ሼ1ሼ ሼ复 ൌ 䁧ሼ复1 ሼ1复 䁧ሼ1复1 ᦙ 香ᦙ ൌ ． ሼ复 香ᦙ ൌ ，直线 BQ 的斜率 ሼ1复 1 ᦙ ൌ 直线 AQ 的斜率 ， 1 复 ሼ1ሼ ൌ ， 1 ǡ ሼ1 ሼ ൌ 所以 ， 复 ൌ ሼ 复 ǡ 1ሼ 䁧 化简得： ， ൌ 1 ൌ ሼ 复 ሼ ，联立 䁧 假设存在点 Q 设坐标为 Ⅱ 䁧 ； ൌ 1 ሼ 从而椭圆 C 的方程为 ． ൌ ， ൌ 1 ，所以 1 1 ൌ复 复 OP 的斜率为 ， 1 复 1 1 䁧 所以 AB 中点 P 的坐标为 ， 1 复 1 复 ൌ 1 䁧 1 ൌ ሼ1 ሼ 复 ൌ 于是 ， 1 1 䁧 ሼ1 ሼ ൌ 则 ， ൌ ǡ 1ሼ 1 复 复 䁧 1ሼ 䁧 化简得 ， 香䁧ሼ ， 䁧ሼ11 设 ， ൌ 1 1 ൌ ሼ 复 1ሼ ，联立 ൌ ሼ 复 时，直线 l： ൌ 1 当 ． 1 ൌ ， ൌ 1 ，所以 䁧1 过定点 ൌ ሼ 复 因为 l： Ⅰ 䁧 19.答案：解： 的体积． ݔܤ 复 香 即可求出三棱锥 复香䁞ݔܤ ݔ ൌ 复香䁞ݔ 复 复香ݔ 复ܤ复香 根据 Ⅱ 䁧 20.答案： 䁧 本小题满分 12 分 解析： 䁧1 因为使用手机上网的时间再 内的学生有 5 人， 对应的概率为 .䁠 ൌ .䁠 ， 所以样本容量 ൌ 䁠 .䁠 ൌ 1 䁧 分 由题可得该校学生每周平均使用手机上网时间约为 1 .䁠 香 .1 䁠 .1䁠 .1䁠 䁨 .䁠 11 .䁠 ൌ 䁠. 小时 䁧ǡ 分 䁧 由题可得样本中“不长时间看手机”的学生有 䁠 .1 1 ൌ 䁠 位 䁧䁕 分 由此可得补充完整的 列联表如下 近视 不近视 合计 长时间看手机 65 10 75 不长时间看手机 10 15 25 合计 75 25 100 䁧 分 因此 的观测值 ൌ 1䁧䁕䁠1䁠复11 䁠䁠䁠䁠 1. 1.䁧11 分 所以在犯错的概率不超过 .1 的前提下认为该校学生长时间看手机与近视有关． 䁧1 分 解析： 䁧1 根据频率分布直方图，计算平均数即可； 䁧 由题可得样本中“不长时间看手机”的学生有 25 人，进而可补全 列联表； 䁧香 根据题意填写 列联表，计算观测值，对照临界值得出结论 本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题． 21.答案：解： 䁧1 由题知： ̵ 䁧ሼ ൌ ǡ ሼ 复 ሼ ，函数 䁧ሼ 在 ሼ ൌ 1 处的切线斜率为 2， 即 ̵ 䁧1 ൌ ，即 ǡ 复 ൌ ，得 ൌ 1 ，经检验 ൌ 1 满足题意， 实数 m 的值为 1． 䁧 由题知： ǡሼ 复 ሼ 1 在 ሼ 1 上恒成立， 即 ǡሼ1 ሼ 在 ሼ 1 上恒成立． 令 䁧ሼ ൌ ǡሼ1 ሼ ， ሼ 1 ， 所以 ̵ 䁧ሼ ൌ 䁧1复ǡሼ ሼ 香 ， 令 ̵ 䁧ሼ ，则 1ሼ 1 ǡ ； 令 ̵ 䁧ሼ ，则 1 ǡ ሼ ． 䁧ሼ 在 1 1 ǡ 上单调递增，在 䁧 1 ǡ 上单调递减． 䁧ሼሼ ൌ 䁧 1 ǡ ൌ ， ． 故 m 的取值范围是 ． 解析：本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数恒成立问题，是中档题． 䁧1 求出函数的导数，根据切线斜率得到关于 m 的方程，求解验证即可； 䁧 问题转化为 ǡሼ1 ሼ 在 ሼ 1 上恒成立．令 䁧ሼ ൌ ǡሼ1 ሼ ， ሼ 1 ，利用导数结合函数的单 调性求解即可． 22.答案：解： 䁧1 由曲线 C 的参数方程 ሼ ൌ复 1 cos ൌ sin ，消去参数 ， 得曲线 C 的普通方程为 䁧ሼ 1 ൌ ǡ ． 由曲线 1 的极坐标方程 ൌ 1 sin䁧 ǡ ，得 䁣㈶ ㌳䁣 ൌ 1 ， 将 ሼ ൌ ㌳䁣 ， ൌ 䁣㈶ 代入，得 1 的直角坐标方程为 ሼ 复 1 ൌ ； 䁧 由 1 ，得直线 的斜率 ൌ复 1 1 ൌ 1 ，所以 的倾斜角为 ǡ ， 又 过圆心 䁧 复 1 ，所以 的方程为 ൌ ሼ 1 ，与 ሼ 复 1 ൌ 联立，得 AB 的中点 䁧1 ， 故 的参数方程为 ሼ ൌ 㘶cos ǡ ൌ 1 㘶sin ǡ 䁧㘶 为参数 ， 即 ሼ ൌ 㘶 ൌ 1 㘶 䁧㘶 为参数 ， 代入 䁧ሼ 1 ൌ ǡ 中，化简、整理得 㘶 㘶 复 ൌ ， 设 P，Q 对应的参数分别为 㘶1 ， 㘶 ，则由韦达定理得 㘶1㘶 ൌ复 ， 又线段 PQ 为圆的直径，所以 ᦙ ൌ ǡ ， 所以 ᦙ ᦙ ൌ ǡ 复 ൌ ． 解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和 系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． 䁧1 直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． 䁧 利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 23.答案：解： 䁧1 ൌ 1 ሼ ൌ ሼ 复 复 ሼ ൌ ሼ ǡሼ 复 1 复 香ሼ 复 1 ሼ 复 ሼ 复 ǡሼ .由 ሼ 得： ሼ 复 1 ሼ ǡ 或 复 1 ሼ 复 香ሼ 或 ሼ 复 ሼ 复 ǡ 解得： 复 ǡሼ.不等式 䁧ሼ 的解集为 ሼ 复 ǡሼ ． 䁧 ሼ ൌ ሼ 复 复 ሼ ൌ ሼ ሼ 复 1 复 香ሼ 复 复 1 ሼ 复 ሼ 复 复 ሼ .又 复 1 ൌ 1 ൌ复 ǡ 复 函数 䁧ሼ 的图象与 x 轴围成的图形为三角形． 解析：本题考查分段函数和含绝对值的不等式的解法以及函数图像的应用，属中档题． 䁧1 当 ൌ 1 时，求不等式 䁧ሼ 的解集，只需将 䁧ሼ 化成分段函数，再分别求解，取它们的并 集即可； 䁧 仍将 䁧ሼ 化成分段函数，再判断它的图像和性质即可；