高考数学总复习第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时规范练26平面向量的数量积与平面向量的应用理新人教A版 6页

课时规范练 26 平面向量的数量 积与平面向量的应用 一、基础巩固组 1.对任意平面向量 a,b,下列关系式不恒成立的是( ) A.|a·b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b|| C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)·(a-b)=a2-b2 2.已知 a,b 为单位向量,其夹角为 60°,则(2a-b)·b= ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 3.(2017 河南新乡二模,理 3)已知向量 a=(1,2),b=(m,-4),若|a||b|+a·b=0,则实数 m 等于( ) A.-4 B.4 C.-2 D.2 4.(2017 河南濮阳一模)若向量 =(1,2), =(4,5),且 ·(λ )=0,则实数λ的值为( ) A.3 B.- C.-3 D.- 5.在四边形 ABCD 中, =(1,2), =(-4,2),则该四边形的面积为( ) A. B.2 C.5 D.10 6.(2017 河北唐山期末,理 3)设向量 a 与 b 的夹角为θ,且 a=(-2,1),a+2b=(2,3),则 cos θ=( ) A.- B. C. D.- 7.(2017 河南商丘二模,理 8)若等边三角形 ABC 的边长为 3,平面内一点 M 满足 ,则 的值为( ) A.- B.-2 C. D.2 8.(2017 北京,理 6)设 m,n 为非零向量,则“存在负数λ,使得 m=λn”是“m·n<0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.若向量 a=(x,x+1),b=(1,2),且 a⊥b,则 x= . 1 0.(2017 安徽江淮十校三模,理 17)已知向量 m=(sin x,-1),n= ,函数 f(x)=(m+n)·m. (1)求 f(x)的最小正周期 T; (2)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边,A 为锐角,a=2 ,c=4,且 f(A)恰好是 f(x)在 上 的最大值,求 A 和 b. 〚导学号 21500728〛 二、综合提升组 11.(2017 安徽蚌埠一模)已知非零向量 m,n 满足 3|m|=2|n|,其夹角为 60°,若 n⊥(tm+n),则实数 t 的值为 ( ) A.3 B.-3 C.2 D.-2 12.(2017 河南焦作二模,理 10)已知 P 为矩形 ABCD 所在平面内一点,AB=4,AD=3,PA= ,PC=2 ,则 =( ) A.-5 B.-5 或 0 C.0 D.5 13.(2017 河北武邑中学一模)在 Rt△ABC 中,CA=CB=3,M,N 是斜边 AB 上的两个动点,且 MN= ,则 的取值范围为( ) A. B.[2,4] C.[3,6] D.[4,6] 14.(2017 江苏南京一模,9)已知△ABC 是直角边长为 4 的等腰直角三角形,D 是斜边 BC 的中 点, +m ,向量 的终点 M 在△ACD 的内部(不含边界),则 的 取值范围 是 . 15. (2017 江苏,12)如图,在同一个平面内,向量 的模分别为 1,1, 的夹角为α,且 tan α=7, 的夹角为 45°.若 =m +n (m,n∈R),则 m+n= . 〚导学号 21500729〛 三、创新应用组 16.(2017 全国Ⅱ,理 12)已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形,P 为平面 ABC 内一点,则 ·( )的最小值是( ) A.-2 B.- C.- D.-1 17.(2017 辽宁沈阳二模,理 11)已知向量 =(3,1), =(-1,3), =m -n (m>0,n>0),若 m+n∈ [1,2],则| |的取值范围是( ) A.[ ,2 ] B.[ ,2 ) C.( ) D.[ ,2 ] 课时规范练 26 平面向量的数量积与平面向量的应用 1.B A 项,设向量 a 与 b 的夹角为θ, 则 a·b=|a||b|cos θ≤|a||b|,所以不等式恒成立; B 项,当 a 与 b 同向时,|a-b|=||a|-|b||;当 a 与 b 非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||. 故不等式不恒成立; C 项,(a+b)2=|a+b|2 恒成立; D 项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立. 综上,选 B. 2.B 由已知,得|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角θ=60°, 则(2a-b)·b=2a·b-b2 =2|a||b|cos θ-|b|2 =2×1×1×cos 60°-12=0, 故选 B. 3.C 设 a,b 的夹角为θ, ∵|a| |b|+a·b=0, ∴|a||b|+|a||b|cos θ=0, ∴cos θ=-1, 即 a,b 的方向相反. 又向量 a=(1,2),b=(m,-4), ∴b=-2a,∴m=-2. 4.C =(1,2), =(4,5), =(3,3), =(λ+4,2λ+5). 又 ( )=0, ∴3(λ+4)+3(2λ+5)=0, 解得λ=-3. 5.C 依题意,得 =1×(-4)+2×2=0, ∴四边形 ABCD 的面积为 || |= =5. 6.A ∵向量 a 与 b 的夹角为θ,且 a=(-2,1),a+2b=(2,3), ∴b= =(2,1), ∴cos θ= =- 7.B 如图,建立平面直角坐标系,则 B ,A ,C , =(3,0). , , , 故 =- =-2. 8.A m,n 为非零向量 ,若存在λ<0,使 m=λn,即两向量反向,夹角是 180°,则 m·n=|m||n|cos 180°=-|m||n|<0.反过来,若 m·n<0,则两向量的夹角为(90°,180°],并不一定反向,即不一定存 在负数λ,使得 m=λn,所以“存在负数λ,使得 m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.故选 A. 9.- ∵a⊥b,∴a·b=x+2(x+1)=0,解得 x=- 10.解 (1)∵向量 m=(sin x,-1),n= , ∴f(x)=(m+n)·m=sin2x+1+ sin xcos x+ +1+ sin 2x+ sin 2x- cos 2x+2=sin +2, ∴函数 f(x)的最小正周期 T= =π. (2)由(1)知 f(x)=sin +2.∵x , ∴- 2x- , ∴当 2x- 时,f(x)取得最大值 3,此时 x= , ∴由 f(A)=3,得 A= , 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A, ∴12=b2+16-4b,即(b-2)2=0, 解得 b=2. 11.B ∵n⊥(tm+n),∴n·(tm+n)=tm·n+n2=t|m||n| +|n|2=t |n|2+|n|2=0,解得 t=-3.故选 B. 12. C ∵P 为矩形 ABCD 所在平面内一点,AB=4,AD=3,∴AC=5. ∵PA= ,PC=2 , ∴PA2+PC2=AC2, , ∴点 P 在矩形 ABCD 的外接圆上, , =0,故选 C. 13.D 以 C 为坐标原点,CA 为 x 轴建立平面直角坐标系, 则 A(3,0),B(0,3),∴AB 所在直线的方程为 y=3-x. 设 M(a,3-a),N(b,3-b),且 0≤a≤3,0≤b≤3,不妨设 a>b, ∵MN= ,∴(a-b)2+(b-a)2=2,∴a-b=1,∴a=b+1,∴0≤b≤2, =(a,3-a)·(b,3-b)=2ab-3(a+b)+9=2(b2-2b+3),0≤b≤2, ∴当 b= 1 时有最小值 4;当 b=0 或 b=2 时有最大值 6, 的取值范围为[4,6]. 14.(-2,6) 以 A 为坐标原点,AB 为 x 轴,AC 为 y 轴建立平面直角坐标系,如图所示,则 A(0,0),B(4,0),C(0,4),D(2,2), 所以 +m (4,0)+m(0,4)=(1,4m),则 M(1,4m). ∵点 M 在△ACD 的内部(不含边界),∴1<4m<3, 0,cos α>0,tan α= ,sin α=7cos α,又 sin2α+cos2α=1,得 sin α= ,cos α= =1, =cos =- ,得方程组 解得 所以 m+n=3. 16.B 以 BC 所在的直线为 x 轴,BC 的垂直平分线 AD 为 y 轴,D 为坐标原点建立平面直角坐标系,如 图. 可知 A(0, ),B(-1,0),C(1,0). 设 P(x,y),则 =(-x, -y), =(-1-x,-y), =(1-x,-y). 所以 =(-2x,-2y). 所以 ( )=2x2-2y( -y)=2x2+2 - 当点 P 的坐标为 时, ( )取得最小值为- ,故选 B. 17.B =(3,1), =(-1,3), =m -n =(3m+n,m-3n), ∴| |= = , 令 t= ,则| |= t, 而 m+n∈[1,2],即 1≤m+n≤2,在平面直角坐标系中表示如图所示, t= 表示区域中任意一点与原点(0,0)的距离, 分析可得 t<2.又由| |= t,故 | |<2