高中数学（人教版必修5）配套练习：3-4基本不等式第2课时 6页

第三章 3.4 第 2 课时 一、选择题 1．已知正数 a、b 满足 ab＝10，则 a＋b 的最小值是( ) A．10 B．25 C．5 D．2 10 [答案] D [解析] a＋b≥2 ab＝2 10，等号在 a＝b＝ 10时成立，∴选 D. 2．已知 m、n∈R，m2＋n2＝100，则 mn 的最大值是( ) A．100 B．50 C．20 D．10 [答案] B [解析] 由 m2＋n2≥2mn 得，mn≤m2＋n2 2 ＝50，等号在 m＝n＝5 2时成立，故选 B. 3．若 a>0，b>0 且 a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A. 1 ab>1 2 B．1 a ＋1 b ≤1 C. ab≥2 D． 1 a2＋b2 ≤1 8 [答案] D [解析] ∵a>0，b>0，a＋b＝4，∴ ab≤a＋b 2 ＝2， ∴ab≤4，∴ 1 ab ≥1 4 ， ∴1 a ＋1 b ＝a＋b ab ＝ 4 ab ≥1，故 A、B、C 均错，选 D. 4．已知正数 x、y 满足1 x ＋4 y ＝1，则 xy 有( ) A．最小值 1 16 B．最大值 16 C．最小值 16 D．最大值 1 16 [答案] C [解析] ∵x>0，y>0，∴1 x ＋4 y ≥2 4 xy ＝4 1 xy ，又∵1 x ＋4 y ＝1， ∴4 1 xy ≤1， ∴ 1 xy ≤ 1 16 ， ∴xy≥16，故选 C. 5．设 a、b 是实数，且 a＋b＝3，则 2a＋2b 的最小值是( ) A．6 B．4 2 C．2 6 D．8 [答案] B [解析] ∵2a>0,2b>0，a＋b＝3， ∴2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a＋b＝2 23＝4 2， 等号成立时，2a＝2b，∴a＝b＝3 2. 6．实数 x、y 满足 x＋2y＝4，则 3x＋9y 的最小值为( ) A．18 B．12 C．2 3 D．4 3 [答案] A [解析] ∵x＋2y＝4，∴3x＋9y＝3x＋32y ≥2 3x·32y＝2 3x＋2y＝2 34＝18， 等号在 3x＝32y 即 x＝2y 时成立． ∵x＋2y＝4，∴x＝2，y＝1 时取到最小值 18. 二、填空题 7．已知5 x ＋3 y ＝2(x>0，y>0)，则 xy 的最小值是________． [答案] 5 [解析] ∵x>0，y>0，5 x ＋3 y ＝2， ∴2≥2 15 xy ，∴xy≥15， 当且仅当5 x ＝3 y ，且5 x ＋3 y ＝2，即 x＝5，y＝3 时，取等号． 8．建造一个容积为 8 m3，深为 2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每 平方米 120 元和 80 元，那么水池的最低总造价为__________元． [答案] 1 760 [解析] 设水池池底的一边长为 x m，则另一边长为4 x m，则总造价为： y＝480＋80× 2x＋2×4 x ×2＝480＋320 x＋4 x ≥480＋320×2 x×4 x ＝1 760. 当且仅当 x＝4 x 即 x＝2 时，y 取最小值 1 760. 所以水池的最低总造价为 1 760 元． 三、解答题 9．已知 a、b、c∈R＋，求证：a2 b ＋b2 c ＋c2 a ≥a＋b＋c. [证明] ∵a、b、c∈R＋，a2 b ，b2 c ，c2 a 均大于 0， 又a2 b ＋b≥2 a2 b ·b＝2a， b2 c ＋c≥2 b2 c ·c＝2b， c2 a ＋a≥2 c2 a·a＝2c， 三式相加得a2 b ＋b＋b2 c ＋c＋c2 a ＋a≥2a＋2b＋2c， ∴a2 b ＋b2 c ＋c2 a ≥a＋b＋c. 10．已知 a、b、c∈R，求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)． [证明] ∵a＋b 2 ≤ a2＋b2 2 ，∴ a2＋b2≥a＋b 2 ＝ 2 2 (a＋b)(a，b∈R 等号在 a＝b 时成立)． 同理 b2＋c2≥ 2 2 (b＋c)(等号在 b＝c 时成立)． a2＋c2≥ 2 2 (a＋c)(等号在 a＝c 时成立)． 三式相加得 a2＋b2＋ b2＋c2＋ a2＋c2 ≥ 2 2 (a＋b)＋ 2 2 (b＋c)＋ 2 2 (a＋c) ＝ 2(a＋b＋c)(等号在 a＝b＝c 时成立). 一、选择题 1．设 x＋3y－2＝0，则 3x＋27y＋1 的最小值为( ) A．7 B．33 9 C．1＋2 2 D．5 [答案] A [解析] 由已知得 x＋3y＝2， 3x>0,27y>0， ∴3x＋27y＋1≥2 3x＋3y＋1＝6＋1＝7， 当且仅当 3x＝27y， 即 x＝1，y＝1 3 时等号成立． 2．已知 a>0，b>0，且 a＋b＝1，则 1 a2 －1 1 b2 －1 的最小值为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 [答案] D [解析] ∵a＋b＝1，a>0，b>0， ∴ab≤1 4 ，等号在 a＝b＝1 2 时成立． ∴ 1 a2 －1 1 b2 －1 ＝1－a2 a2 ·1－b2 b2 ＝1＋a·b a2 ·1＋ba b2 ＝1＋a1＋b ab ＝2＋ab ab ＝ 2 ab ＋1≥2 1 4 ＋1＝9，故选 D. 3．若直线 2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆 x2＋y2＋2x－4y＋1＝0 截得的弦长为 4，则1 a ＋1 b 的最小值为( ) A.1 4 B．1 2 C．2 D．4 [答案] D [解析] 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆的直径为 4，而直线被圆截得的弦长为 4，则直线应过圆心(－1,2)，∴－2a－2b＋2＝0，即 a＋b＝1， ∴1 a ＋1 b ＝ 1 a ＋1 b (a＋b)＝1＋1＋b a ＋a b ≥2＋2 b a ×a b ＝4 (等号在 a＝b＝1 2 时成立)． 故所求最小值为 4，选 D. 4．设 a、b 是两个实数，且 a≠b，①a5＋b5>a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③a b ＋b a>2. 上述三个式子恒成立的有( ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 [答案] B [解析] ①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋ b)(a2＋ab＋b2)>0 不恒成立；(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0 恒成立；a b ＋b a>2 或a b ＋b a<－2，故选 B. 二、填空题 5．已知不等式(x＋y)(1 x ＋a y)≥9 对任意正实数 x、y 恒成立，则正实数 a 的最小值为________． [答案] 4 [解析] ∵a>0，∴(x＋y)(1 x ＋a y) ＝1＋a＋y x ＋xa y ≥1＋a＋2 a， 由条件知 a＋2 a＋1＝9，∴a＝4. 6．若实数 x、y 满足 x2＋y2＋xy＝1，则 x＋y 的最大值是________． [答案] 2 3 3 [解析] ∵x2＋y2＋xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1. 又∵xy≤(x＋y 2 )2， ∴(x＋y)2≤(x＋y 2 )2＋1， 即3 4(x＋y)2≤1. ∴(x＋y)2≤4 3. ∴－2 3 3 ≤x＋y≤2 3 3 . ∴x＋y 的最大值为2 3 3 . 三、解答题 7．已知 a、b 均为正实数，且 2a＋8b－ab＝0，求 a＋b 的最小值． [解析] ∵2a＋8b－ab＝0，∴8 a ＋2 b ＝1，又 a>0，b>0， ∴a＋b＝(a＋b)(8 a ＋2 b)＝10＋8b a ＋2a b ≥10＋2 8b a ·2a b ＝18，当且仅当8b a ＝2a b ，即 a＝2b 时，等号成立． 由 a＝2b 8 a ＋2 b ＝1 ，得 a＝12 b＝6 . ∴当 a＝12，b＝6 时，a＋b 取最小值 18. 8．某单位决定投资 3 200 元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱， 正面用铁栅，每米长造价 40 元，两侧墙砌砖，每米长造价 45 元，顶部每平方米造价 20 元．试 求： (1)仓库面积 S 的取值范围是多少？ (2)为使 S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？ [解析] (1)设正面铁栅长 x m，侧面长为 y m，总造价为 z 元，则 z＝40x＋2×45y＋20xy ＝40x＋90y＋20xy，仓库面积 S＝xy. 由条件知 z≤3 200，即 4x＋9y＋2xy≤320. ∵x>0，y>0， ∴4x＋9y≥2 4x·9y＝12 xy. ∴6 S＋S≤160，即( S)2＋6 S－160≤0. ∴0< S≤10，∴0