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  • 2021-06-16 发布

高中数学(人教版必修5)配套练习:3-4基本不等式第2课时

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第三章 3.4 第 2 课时 一、选择题 1.已知正数 a、b 满足 ab=10,则 a+b 的最小值是( ) A.10 B.25 C.5 D.2 10 [答案] D [解析] a+b≥2 ab=2 10,等号在 a=b= 10时成立,∴选 D. 2.已知 m、n∈R,m2+n2=100,则 mn 的最大值是( ) A.100 B.50 C.20 D.10 [答案] B [解析] 由 m2+n2≥2mn 得,mn≤m2+n2 2 =50,等号在 m=n=5 2时成立,故选 B. 3.若 a>0,b>0 且 a+b=4,则下列不等式恒成立的是( ) A. 1 ab>1 2 B.1 a +1 b ≤1 C. ab≥2 D. 1 a2+b2 ≤1 8 [答案] D [解析] ∵a>0,b>0,a+b=4,∴ ab≤a+b 2 =2, ∴ab≤4,∴ 1 ab ≥1 4 , ∴1 a +1 b =a+b ab = 4 ab ≥1,故 A、B、C 均错,选 D. 4.已知正数 x、y 满足1 x +4 y =1,则 xy 有( ) A.最小值 1 16 B.最大值 16 C.最小值 16 D.最大值 1 16 [答案] C [解析] ∵x>0,y>0,∴1 x +4 y ≥2 4 xy =4 1 xy ,又∵1 x +4 y =1, ∴4 1 xy ≤1, ∴ 1 xy ≤ 1 16 , ∴xy≥16,故选 C. 5.设 a、b 是实数,且 a+b=3,则 2a+2b 的最小值是( ) A.6 B.4 2 C.2 6 D.8 [答案] B [解析] ∵2a>0,2b>0,a+b=3, ∴2a+2b≥2 2a·2b=2 2a+b=2 23=4 2, 等号成立时,2a=2b,∴a=b=3 2. 6.实数 x、y 满足 x+2y=4,则 3x+9y 的最小值为( ) A.18 B.12 C.2 3 D.4 3 [答案] A [解析] ∵x+2y=4,∴3x+9y=3x+32y ≥2 3x·32y=2 3x+2y=2 34=18, 等号在 3x=32y 即 x=2y 时成立. ∵x+2y=4,∴x=2,y=1 时取到最小值 18. 二、填空题 7.已知5 x +3 y =2(x>0,y>0),则 xy 的最小值是________. [答案] 5 [解析] ∵x>0,y>0,5 x +3 y =2, ∴2≥2 15 xy ,∴xy≥15, 当且仅当5 x =3 y ,且5 x +3 y =2,即 x=5,y=3 时,取等号. 8.建造一个容积为 8 m3,深为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价分别为每 平方米 120 元和 80 元,那么水池的最低总造价为__________元. [答案] 1 760 [解析] 设水池池底的一边长为 x m,则另一边长为4 x m,则总造价为: y=480+80× 2x+2×4 x ×2=480+320 x+4 x ≥480+320×2 x×4 x =1 760. 当且仅当 x=4 x 即 x=2 时,y 取最小值 1 760. 所以水池的最低总造价为 1 760 元. 三、解答题 9.已知 a、b、c∈R+,求证:a2 b +b2 c +c2 a ≥a+b+c. [证明] ∵a、b、c∈R+,a2 b ,b2 c ,c2 a 均大于 0, 又a2 b +b≥2 a2 b ·b=2a, b2 c +c≥2 b2 c ·c=2b, c2 a +a≥2 c2 a·a=2c, 三式相加得a2 b +b+b2 c +c+c2 a +a≥2a+2b+2c, ∴a2 b +b2 c +c2 a ≥a+b+c. 10.已知 a、b、c∈R,求证: a2+b2+ b2+c2+ c2+a2≥ 2(a+b+c). [证明] ∵a+b 2 ≤ a2+b2 2 ,∴ a2+b2≥a+b 2 = 2 2 (a+b)(a,b∈R 等号在 a=b 时成立). 同理 b2+c2≥ 2 2 (b+c)(等号在 b=c 时成立). a2+c2≥ 2 2 (a+c)(等号在 a=c 时成立). 三式相加得 a2+b2+ b2+c2+ a2+c2 ≥ 2 2 (a+b)+ 2 2 (b+c)+ 2 2 (a+c) = 2(a+b+c)(等号在 a=b=c 时成立). 一、选择题 1.设 x+3y-2=0,则 3x+27y+1 的最小值为( ) A.7 B.33 9 C.1+2 2 D.5 [答案] A [解析] 由已知得 x+3y=2, 3x>0,27y>0, ∴3x+27y+1≥2 3x+3y+1=6+1=7, 当且仅当 3x=27y, 即 x=1,y=1 3 时等号成立. 2.已知 a>0,b>0,且 a+b=1,则 1 a2 -1 1 b2 -1 的最小值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 [答案] D [解析] ∵a+b=1,a>0,b>0, ∴ab≤1 4 ,等号在 a=b=1 2 时成立. ∴ 1 a2 -1 1 b2 -1 =1-a2 a2 ·1-b2 b2 =1+a·b a2 ·1+ba b2 =1+a1+b ab =2+ab ab = 2 ab +1≥2 1 4 +1=9,故选 D. 3.若直线 2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆 x2+y2+2x-4y+1=0 截得的弦长为 4,则1 a +1 b 的最小值为( ) A.1 4 B.1 2 C.2 D.4 [答案] D [解析] 圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,∴圆的直径为 4,而直线被圆截得的弦长为 4,则直线应过圆心(-1,2),∴-2a-2b+2=0,即 a+b=1, ∴1 a +1 b = 1 a +1 b (a+b)=1+1+b a +a b ≥2+2 b a ×a b =4 (等号在 a=b=1 2 时成立). 故所求最小值为 4,选 D. 4.设 a、b 是两个实数,且 a≠b,①a5+b5>a3b2+a2b3,②a2+b2≥2(a-b-1),③a b +b a>2. 上述三个式子恒成立的有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 [答案] B [解析] ①a5+b5-(a3b2+a2b3)=a3(a2-b2)+b3(b2-a2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a-b)2(a+ b)(a2+ab+b2)>0 不恒成立;(a2+b2)-2(a-b-1)=a2-2a+b2+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0 恒成立;a b +b a>2 或a b +b a<-2,故选 B. 二、填空题 5.已知不等式(x+y)(1 x +a y)≥9 对任意正实数 x、y 恒成立,则正实数 a 的最小值为________. [答案] 4 [解析] ∵a>0,∴(x+y)(1 x +a y) =1+a+y x +xa y ≥1+a+2 a, 由条件知 a+2 a+1=9,∴a=4. 6.若实数 x、y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值是________. [答案] 2 3 3 [解析] ∵x2+y2+xy=1,∴(x+y)2=xy+1. 又∵xy≤(x+y 2 )2, ∴(x+y)2≤(x+y 2 )2+1, 即3 4(x+y)2≤1. ∴(x+y)2≤4 3. ∴-2 3 3 ≤x+y≤2 3 3 . ∴x+y 的最大值为2 3 3 . 三、解答题 7.已知 a、b 均为正实数,且 2a+8b-ab=0,求 a+b 的最小值. [解析] ∵2a+8b-ab=0,∴8 a +2 b =1,又 a>0,b>0, ∴a+b=(a+b)(8 a +2 b)=10+8b a +2a b ≥10+2 8b a ·2a b =18,当且仅当8b a =2a b ,即 a=2b 时,等号成立. 由 a=2b 8 a +2 b =1 ,得 a=12 b=6 . ∴当 a=12,b=6 时,a+b 取最小值 18. 8.某单位决定投资 3 200 元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱, 正面用铁栅,每米长造价 40 元,两侧墙砌砖,每米长造价 45 元,顶部每平方米造价 20 元.试 求: (1)仓库面积 S 的取值范围是多少? (2)为使 S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计多长? [解析] (1)设正面铁栅长 x m,侧面长为 y m,总造价为 z 元,则 z=40x+2×45y+20xy =40x+90y+20xy,仓库面积 S=xy. 由条件知 z≤3 200,即 4x+9y+2xy≤320. ∵x>0,y>0, ∴4x+9y≥2 4x·9y=12 xy. ∴6 S+S≤160,即( S)2+6 S-160≤0. ∴0< S≤10,∴0