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- 2021-06-16 发布
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课时提升作业 十二
数学归纳法
基础过关
一、选择题(每小题 6 分,共 18 分)
1.设 f(n)= + + +…+ (n∈N+),在利用数学归纳法证明时,从 n=k 到
n=k+1 需添的项为( )
A. B.
C. + D. -
【解析】选 D.因为 f(k)= + +…+
所以 f(k+1)= + +…+ + +
故需添的项为 + - = - .
【误区警示】本题易错选 C.忽略了 n=k+1 时少了一项 .
【拓展延伸】数学归纳法解决项数问题
数学归纳法证明中的项数问题,重点看从 n=k 到 n=k+1 时项数的变化规律,多了
哪些项,少了哪些项,把握好项的规律,利用数列知识解决.
2.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”,第二步归纳假设
应写成 ( )
A.假设 n=2k+1(k∈N+)正确,再推 n=2k+3 正确
B.假设 n=2k-1(k∈N+)正确,再推 n=2k+1 正确
C.假设 n=k(k∈N+)正确,再推 n=k+1 正确
D.假设 n=k(k≥1)正确,再推 n=k+2 正确
【解析】选 B.首先要注意 n 为奇数,其次还要使 n=2k-1 能取到 1.
3.设平面内有 k 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设 k 条直线的交
点个数为 f(k),则 f(k+1)与 f(k)的关系是 ( )
A.f(k+1)=f(k)+k+1 B.f(k+1)=f(k)+k-1
C.f(k+1)=f(k)+k D.f(k+1)=f(k)+k+2
【解析】选 C.当 n=k+1 时,任取其中 1 条直线,记为 l,则除 l 外的其他 k 条直线
的交点的个数为 f(k),因为已知任何两条直线不平行,所以直线 l 必与平面内其
他 k 条直线都相交(有 k 个交点);又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上
面的 k 个交点两两不相同,且与平面内其他的 f(k)个交点也两两不相同,从而平
面内交点的个数是 f(k)+k=f(k+1).
二、填空题(每小题 6 分,共 12 分)
4.已知 a1= , = ,猜想 an=__________.
【解析】由 a1= , = ,得 a2= ,a3= ,a4= ,猜想得 an= .
答案:
5.用数学归纳法证明:“当 n 为正偶数时,xn-yn 能被 x+y 整除”时,第一步应验证
n=______时,命题成立;第二步归纳假设成立应写成__________.
【解析】因为 n 为正偶数,第一步应验证 n=2 时,命题成立;第二步归纳假设成立
应写成“假设当 n=k(k 为偶数且 k≥2)时 xk-yk 能被 x+y 整除”.
答案:2 假设当 n=k(k 为偶数且 k≥2)时 xk-yk 能被 x+y 整除
三、解答题(每小题 10 分,共 30 分)
6.用数学归纳法证明:
1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)= (n∈N+).
【证明】(1)当 n=1 时,左边=1×2×3=6,右边= =6,等式成立.
(2)假设当 n=k 时成立.即
1×2×3+2×3×4+…+k(k+1)(k+2)
= ,
那么当 n=k+1 时,1×2×3+2×3×4+…+k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3)
= +(k+1)(k+2)·(k+3)= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4).即当 n=k+1 时等
式成立.
综合上述(1)(2)得,对一切正整数 n,等式都成立.
7.证明:凸 n 边形的对角线的条数为 f(n)= n(n-3)(n≥4,n∈N*).
【证明】(1)当 n=4 时,四边形有两条对角线,f(4)= ×4×(4-3)=2,命题成立.
(2)假设当 n=k(k≥4,n∈N+)时命题成立,即 f(k)= k(k-3),那么,当 n=k+1 时,增
加一个顶点,凸多边形的对角线增加 k-1 条,则 f(k+1)= k(k-3)+k-1
= (k2-k-2)= (k+1)(k-2)= (k+1)[(k+1)-3],即当 n=k+1 时命题也成立.
根据(1)(2),可知命题对任意的 n≥4,n∈N+都成立.
8.用数学归纳法证明凸 n(n≥3,n∈N+)边形的内角和 f(n)=(n-2)π.
【证明】①三角形的内角和是π,
当 n=3 时,f(3)=π=(3-2)π,命题成立.
②假设 n=k(k≥3)时,命题成立,即 f(k)=(k-2)π成立.
当 n=k+1 时,设 A1,A2,…,Ak+1 是凸 k+1 边形的顶点,连结 A1Ak,
它把这个凸 k+1 边形分成凸 k 边形 A1A2…Ak 和三角形 AkAk+1A1,并且凸 k+1 边形的
内角和等于凸 k 边形与三角形的内角和的和,即(k-2)π+π=(k-1)π=[(k+1)-2]
π,命题也是成立的.
据①②可知结论成立.
能力提升
一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)
1.某个命题与正整数 n 有关,若 n=k(k∈N*)时该命题成立,那么可推得当 n=k+1
时该命题也成立,现已知当 n=5 时该命题不成立,那么可推得 ( )
A.当 n=6 时该命题不成立
B.当 n=6 时该命题成立
C.当 n=4 时该命题不成立
D.当 n=4 时该命题成立
【解析】选 C.因为若 n=k(k∈N*)时该命题成立,那么可推得当 n=k+1 时该命题也
成立,现已知当 n=5 时该命题不成立,无法向后递推;若当 n=4 时该命题成立,则
当 n=5 时该命题成立,与已知矛盾.所以当 n=4 时该命题不成立.
2.在数列{an}中,a1= -1,前 n 项和 Sn= -1,先算出数列的前 4 项的值,再
根据这些值归纳猜想数列的通项公式是( )
A.an= -1 B.an=n -1
C.an= - D.an= -
【解析】选 D.因为 a1= -1,
S2= -1= -1,
所以 a2=( -1)-( -1)= - ,
则 a3=S3-S2=( -1)-( -1)
= - ,
a4=S4-S3=( -1)-( -1)= - ,
故猜想 an= - .
二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
3.观察下列等式:
(1+1)=2×1
(2+1)(2+2)=22×1×3
(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5
…
照此规律,第 n 个等式可为________.
【解析】由已知得,
第 n 个等式左边为(n+1)(n+2)…(n+n),
右边为 2n×1×3×…×(2n-1).
所以第 n 个等式为(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1).
答案:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)
4.用数学归纳法证明 + +…+ > - ,假设 n=k 时不等式成立,当 n=k+1 时,
应推证的目标不等式是________.
【解析】当 n=k+1 时,要证的不等式为 + +…+ > - ,即 + +…
+ > - .
答案: + +…+ > -
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
5.求证:对任意正整数 n,34n+2+52n+1 能被 14 整除.
【解题指南】证明一个与 n 有关的式子 f(n)能被一个数 a(或一个代数式 g(n))
整除,主要是找到 f(k+1)与 f(k)的关系,设法找到式子 f1(k),f2(k),使得
f(k+1)=f(k)·f1(k)+a·f2(k),就可证得命题成立.
【证明】(1)当 n=1 时,
34n+2+52n+1=36+53=854=14×61,
能被 14 整除,命题成立;
(2)假设当 n=k 时,命题成立,即 34k+2+52k+1 能被 14 整除,那么当 n=k+1 时,
34(k+1)+2+52(k+1)+1=34k+2×34+52k+1×52
=34k+2×34+52k+1×34-52k+1×34+52k+1×52
=34(34k+2+52k+1)-52k+1(34-52)
=34(34k+2+52k+1)-56×52k+1,
因为 34k+2+52k+1 能被 14 整除,56 也能被 14 整除,所以 34(k+1)+2+52(k+1)+1 能被 14 整除,
故命题成立.
由(1)(2)知,命题对任意正整数 n 都成立.
6.已知集合 X={1,2,3},Yn={1,2,3,…,n}(n∈N+),设 Sn={(a,b)|a 整除 b 或 b 整
除 a,a∈X,b∈Yn},令 f(n)表示集合 Sn 所含元素的个数.
(1)写出 f(6)的值.
(2)当 n≥6 时,写出 f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.
【解题指南】(1)根据题意按 a 分类计数:a=1,b=1,2,3,4,5,6;a=2,
b=1,2,4,6;a=3,b=1,3,6,共 13 个.
(2)由(1)知,a=1,b=1,2,3,…,n;a=2,b=1,2,4,6,…,2k;
a=3,b=1,3,6,9,…,3k(k∈N+).所以当 n≥6 时,f(n)的表达式要按被 2×3=6 除的
余数进行分类,然后利用数学归纳法进行证明.
【解析】(1)f(6)=13.
(2)当 n≥6 时,
f(n)= (t∈N+)
下面用数学归纳法证明:
①当 n=6 时,f =6+2+ + =13,结论成立;
②假设 n=k(k≥6)时结论成立,那么 n=k+1 时,Sk+1 在 Sk 的基础上新增加的元素在
, , 中产生,分以下情况讨论:
1)若 k+1=6t,则 k=6(t-1)+5,此时有 f(k+1)=f(k)+3=k+2+ + +3
=(k+1)+2+ + ,结论成立.
2)若 k+1=6t+1,则 k=6t,此时有 f(k+1)=f(k)+1=k+2+ + +1
=(k+1)+2+ + ,结论成立.
3)若 k+1=6t+2,则 k=6t+1,此时有 f(k+1)=f(k)+2=k+2+ + +2
=(k+1)+2+ + ,结论成立.
4)若 k+1=6t+3,则 k=6t+2,此时有 f(k+1)=f(k)+2=k+2+ + +2
=(k+1)+2+ + ,结论成立.
5)若 k+1=6t+4,则 k=6t+3,此时有 f(k+1)=f(k)+2=k+2+ + +2
=(k+1)+2+ + ,结论成立.
6)若 k+1=6t+5,则 k=6t+4,此时有 f(k+1)=f(k)+1=k+2+ + +1
=(k+1)+2+ + ,结论成立.
综上所述,结论对 n≥6 的自然数 n 均成立.
【补偿训练】已知数列{an}中,a1=- ,其前 n 项和 Sn 满足 an=Sn+ +2(n≥2),计算
S1,S2,S3,S4,猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法加以证明.
【解析】当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=Sn+ +2.
所以 Sn=- (n≥2).
则有 S1=a1=- ,S2=- =- ,
S3=- =- ,S4=- =- .由此猜想:Sn=- (n∈N+).
用数学归纳法证明:
①当 n=1 时,S1=- =a1,猜想成立.
②假设 n=k(k∈N+)猜想成立,即 Sk=- 成立,
那么 n=k+1 时,
Sk+1=- =- =-
=- .
即 n=k+1 时,猜想成立.
由①②可知,对任意自然数 n,猜想结论均成立.
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