人教版高中数学选修4-5练习：第三讲3-1-3-2一般形式的柯西不等式word版含解析 6页

第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.1 二维形式的柯西不等式 3.2 一般形式的柯西不等式 A 级 基础巩固 一、选择题 1．函数 y＝ x－5＋2 6－x的最大值是( ) A. 3 B. 5 C．3 D．5 解 析 ： 根 据 柯 西 不 等 式 ， 知 y ＝ 1· x－5 ＋ 2· 6－x ≤ 12＋22· （ x－5）2＋（ 6－x）2＝ 5. 答案：B 2．已知 a，b∈R，a2＋b2＝4，则 3a＋2b 的最大值为( ) A．4 B．2 13 C．8 D．9 解析：(a2＋b2)(32＋22)≥(3a＋2b)2，3a＝2b 时取等号， 所以(3a＋2b)2≤4×13.当 3a＋2b 取最大值时为正值 所以 3a＋2b≤2 13. 答案：B 3．已知 a，b＞0，且 a＋b＝1，则( 4a＋1＋ 4b＋1)2 的最大值是 ( ) A．2 6 B. 6 C．6 D．12 解析：( 4a＋1＋ 4b＋1)2＝(1· 4a＋1＋1· 4b＋1)2≤(12＋12)·(4a ＋1＋4b＋1)＝24(a＋b)＋2]＝2(4×1＋2)＝12， 当且仅当 4a＋1＝ 4b＋1，即 a＝b 时等号成立． 答案：D 4．设 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1，则 a＋ b＋ c的最大值是( ) A．1 B. 3 C．3 D．9 解析：由柯西不等式得( a)2＋( b)2＋( c)2](12＋12＋12)≥( a＋ b ＋ c)2，所以( a＋ b＋ c)2≤3×1＝3. 当且仅当 a＝b＝c＝1 3 时等号成立． 所以 a＋ b＋ c的最大值为 3.故选 B. 答案：B 5．已知 a21＋a22＋…＋a2n＝1，x21＋x22＋…＋x2n＝1，则 a1x1＋a2x2＋… ＋anxn 的最大值为( ) A．1 B．2 C．－1 D．不确定 解析：因为(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a21＋a22＋…＋a2n)(x21＋x22＋… ＋x2n)＝1×1＝1， 当且仅当 ai＝kxi(i＝1，2，…，n)时等号成立． 所以 a1x1＋a2x2＋…＋anxn 的最大值是 1. 答案：A 二、填空题 6．(2015·重庆卷)设 a，b＞0，a＋b＝5，则 a＋1＋ b＋3的最大 值为________． 解析：因为 a，b＞0，a＋b＝5，所以(a＋1)＋(b＋3)＝9. 令 x＝a＋1，y＝b＋3，则 x＋y＝9(x＞1，y＞3)， 于是 a＋1＋ b＋3＝ x＋ y，而( x＋ y)2＝x＋y＋2 xy≤x＋y ＋(x＋y)＝18， 所以 x＋ y≤3 2. 此时 x＝y，即 a＋1＝b＋3，结合 a＋b＝5 可得 a＝3.5，b＝1.5， 故当 a＝3.5，b＝1.5 时， a＋1＋ b＋3的最大值为 3 2. 答案：3 2 7．已知 x，y，z∈R＋，且 x＋y＋z＝1，则 x2＋y2＋z2 的最小值为 ________． 解析：根据柯西不等式，x2＋y2＋z2＝1 3(12＋12＋12)×(x2＋y2＋ z2)≥1 3(1·x＋1·y＋1·z)2＝1 3(x＋y＋z)2＝1 3 ，当且仅当x＝y＝z时等号成立． 答案：1 3 8．已知 a，b，c＞0，且 a＋b＋c＝1，则 4a＋1＋ 4b＋1＋ 4c＋1 的最大值为________． 解析：由柯西不等式得 ( 4a＋1 ＋ 4b＋1 ＋ 4c＋1 )2 ＝ (1· 4a＋1 ＋ 1 · 4b＋1 ＋ 1· 4c＋1)2≤(12＋12＋12)(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1)＝34(a＋b＋c)＋3]＝ 21， 当且仅当 a＝b＝c＝1 3 时，取等号． 故 4a＋1＋ 4b＋1＋ 4c＋1的最大值为 21. 答案： 21 三、解答题 9．若 a，b，c∈R＋，且满足 a＋b＋c＝2. (1)求 abc 的最大值； (2)证明：1 a ＋1 b ＋1 c ≥9 2. (1)解：因为 a，b，c∈R＋，所以 2＝a＋b＋c≥3 3 abc，故 abc≤ 8 27. 当且仅当 a＝b＝c＝2 3 时等号成立，所以 abc 的最大值为 8 27. (2)证明：因为 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝2，所以根据柯西不等 式 ， 可 得 1 a ＋ 1 b ＋ 1 c ＝ 1 2 (a ＋ b ＋ c) 1 a ＋1 b ＋1 c ＝ 1 2 ( a )2 ＋ ( b )2 ＋ ( c)2]· 1 a 2 ＋ 1 b 2 ＋ 1 c 2 ≥ 1 2 a· 1 a ＋ b· 1 b ＋ c· 1 c 2 ＝9 2. 所以1 a ＋1 b ＋1 c ≥9 2. 10．已知 x＋y＝1，求 2x2＋3y2 的最小值． 解：由柯西不等式 (2x2＋3y2)· 1 2 2 ＋ 1 3 2 ≥ 2x· 1 2 ＋ 3y· 1 3 2 ＝(x＋y)2＝1， 所以 2x2＋3y2≥6 5 ，当且仅当 2x＝3y，即 x＝3 5 ，y＝2 5 时，等号成立．所 以 2x2＋3y2 的最小值为6 5. B 级 能力提升 1．已知 2x＋3y＋4z＝10，则 x2＋y2＋z2 取到最小值时的 x，y，z 的值为( ) A.5 3 ，10 9 ，5 6 B.20 29 ，30 29 ，40 29 C．1，1 2 ，1 3 D．1，1 4 ，1 9 解 析 ： 当 且 仅 当 x 2 ＝ y 3 ＝ z 4 时 ， 取 到 最 小 值 ， 所 以 联 立 x 2 ＝y 3 ＝z 4 ， 2x＋3y＋4z＝10， 可得 x＝20 29 ，y＝30 29 ，z＝40 29. 答案：B 2．已知ω2＋x2＋y2＋z2＋F2＝16，则 F＝8－ω－x－y－z 的最大值 为________． 解 析 ： 当 且 仅 当 x 2 ＝ y 3 ＝ z 4 时 ， 取 到 最 小 值 ， 所 以 联 立 x 2 ＝y 3 ＝z 4 ， 2x＋3y＋4z＝10， 可得 x＝20 29 ，y＝30 29 ，z＝40 29. 答案：B 3．已知函数 f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且 f(x＋2)≥0 的解集为－1， 1]． (1)求 m 的值； (2)若 a，b，c∈R，且1 a ＋ 1 2b ＋ 1 3c ＝m，求证：a＋2b＋3c≥9. (1)解：因为 f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0 等价于|x|≤m， 由|x|≤m 有解，得 m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}． 又 f(x＋2)≥0 的解集为－1，1]，故 m＝1. (2)证明：由①知1 a ＋ 1 2b ＋ 1 3c ＝1，又 a，b，c∈R＋， 由柯西不等式得 a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c) 1 a ＋ 1 2b ＋ 1 3c ≥ a· 1 a ＋ 2b· 1 2b ＋ 3c· 1 3c 2 ＝9.