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- 2021-06-16 发布
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1
指数运算与指数函数
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__________________________________________________________________________________
1、 理解根式、分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质.
2、 掌握指数函数的概念、图像和性质。
一、有理数指数幂及运算性质
1、有理数指数幂的分类
(1)正整数指数幂 ( )
n
na a a a a n N
个
; (2)零指数幂 )0(10 aa ;
(3)负整数指数幂 1 0,n
na a n Na
(4)0 的正分数指数幂等于 0, 0 的负分数指数幂没有意义。
2、有理数指数幂的性质
(1) 0, ,m n m na a a a m n Q (2) 0, ,nm mna a a m n Q
(3) 0, 0,m m mab a b a b m Q
二、根式
1、根式的定义:一般地,如果 ax n ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 Nnn ,1 ,n a 叫
做根式, n 叫做根指数, a 叫被开方数。
2、对于根式记号 n a ,要注意以下几点:
(1) n N , 且 1n ; (2)当 n 是奇数,则 aan n ;当 n 是偶数,则
0
0
aa
aaaan n ;
(3)负数没有偶次方根; (4)零的任何次方根都是零。
3、规定:
(1) 0, , , 1
m
n mna a a m n N n ; (2) 1 1 0, , , 1
m
n
m n m
n
a a m n N n
aa
2
三、对指数函数定义的理解
一般地,函数 )10( aaay x 且 叫做指数函数。
1、定义域是 R 。因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数,所以在 0a 的前提下, x 可以
是任意实数。
2、规定 0a ,且 1a 的理由:
(1)若 0a , 0 0
0
x
x
x a
x a
当 时, 恒等于 ;
当 时, 无意义。
(2)若 0a , 如 ( 2)xy ,当 1
4x 、 1
2
等时,在实数范围内函数值不存在。
(3)若 1a , 1 1xy ,是一个常量,没有研究的必要性。
为了避免上述各种情况,所以规定 0a ,且 1a 。
3、式上的严格性:
指数函数的定义表达式 xy a 中, xa 前的系数必须是 1。自变量 x 在指数的位置上。比如
12 , 1,x x xy a y a y a 等, 都不是指数函数;有些函数看起来不像指数函数,实际上却是,
如 xy a ( 0 1)a a 且 ,因为它可以化为 1 x
y a
,其中 1 0a
,且 1 1a
。
四、指数函数的图象和性质:
1a 0 1a
图象
性
质
定义域: R
值域: 0,
图像都过点 0,1
在 R 上是增函数 在 R 上是减函数
特别提醒:
角坐标系中的图像的相对位置关系与底数大小的关系有如下规律:
在 y 轴右侧,图像从下往上相应的底数由小变大;在 y 轴左侧,图像从上往下相应的底数由小变
大。即不论在 y 轴右侧还是左侧,底数按逆时针增大。
五、比较幂值得大小
底数相同:利用函数的单调性进行比较;
指数相同:方法一:可转化为底数相同进行比较;方法二:可借助函数图像进行比较。指数函
数在同一直角坐标系中的图像与底数大小的关系有如下规律:即无论在 y 轴右侧还是在 y 轴左侧底
数按逆时针方向由小变大。
指数、底数都不同:可利用中间量进行比较。
六、指数方程的可解类型,可分为:
形如 0, 1f x g xa a a a 的方程,化为 f x g x 求解。
形如 2 0x xa b a c 的方程,可令 xt a 进行换元,转化成 2 0 0t bt c t 一元二次方程
进行求解。
七、指数不等式的解法:
当 1a 时 , f x g xa a 与 f x g x 同 解 , 当 0 1a 时 , f x g xa a 与
3
f x g x 同解。
类型一 根式与分数指数幂的互化
例 1:(1)用根式表示下列各式:a
1
5 ;a
3
4 ;a-2
3
;
(2)用分数指数幂表示下列各式:
3
a5;
3
a6;
1
3
a2
.
练习 1:把根式化为分数指数幂的形式:
4
a2b3=__________.
练习 2:用根式表示下列各式:x
3
5 ;x-
1
3 .
类型二 根式与分数指数幂的混合运算
例 2:计算:1.5-1
3
+80.25×
4
2+( 2× 3)4- -2
3
2
3
.
练习 1:化简:1.5
1
3 ×
-7
6 0+80.25×
4
2+(
3
2× 3)6-
-3
2
2
3;
练习 2:(2014~2015 学年度西藏拉萨中学高一上学期月考)化简 3-π 2+
3
-π-3 3
=( )
A.-2π B.6 C.2π D.-6
类型三 指数函数的定义
例 3:下列函数中,哪些是指数函数?
① y=10x;② y=10x+1;③ y=10x+1;④ y=2·10x;
⑤ y=(-10)x;⑥ y=(10+a)x(a>-10,且 a≠-9);
⑦ y=x10.
练习 1:若函数 y=(a-3)·(2a-1)x 是指数函数,求 a 的值.
练习 2:(2014~2015 学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试)函数 y=(a2-3a+3)ax
是指数函数,则有( )
A.a=1 或 a=2 B.a=1
C.a=2 D.a>0 且 a≠1
类型四 指数函数的图象和性质
4
例 4:函数 f(x)=ax-b 的图象如图所示,其中 a、b 为常数,则下列结论正确的是( )
A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.00 D.00)的图象经过第一、三和第四象限,则( )
A.a>1 B.a>1,且 m<0 C.00 D.00,a≠1)
恒过定点________.
类型六 指数函数性质的综合应用
例 6: 函数 f(x)=x2-bx+c,满足 f(1+x)=f(1-x),且 f(0)=3,比较 f(bx)与 f(cx)的大小.
练习 1: (2015·陕西文,4 改编)设 f(x)= 1- x x≥0
2x x<0
,则 f[f(-2)]=________.
练习 2: 设函数 f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线 x=1 对称,且当 x≥1 时,f(x)=3x
-1,则 f(1
3
)、f(3
2
)、f(2
3
)的大小关系为__________.
5
1、把下列各式中的 a 写成分数指数幂的形式
(1) 5 256a ;(2) 4 28a ;
2、计算 (1)
3
29 ; (2)
3
216
3、求下列各式的值
(1) 33 2 ; (2) 44 2 ;
4、用分数指数幂的形式表示下列各式:
(1) 2a a (2) 33 2 a a
5、若函数 2 2 3 x
y a a 是一个指数函数,求实数 a 的取值范围。
6、函数 32 3xy 恒过定点 。
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_________________________________________________________________________________
基础巩固
1.(2014~2015 学年度河北刑台二中高一上学期月考)下列命题中正确命题的个数为( )
①
n
an=a;②若 a∈R,则(a2-a+1)0=1;③
3
x4+y3=x
4
3 +y;④
3
-5=
6
-5 2.
A.0 B.1
C.2 D.3
2.(2014~2015 学年度四川成都七中实验学校高一上学期期中测试)设 a>0,将
a2
a·
3
a2
写成
分数指数幂,其结果是( )
A.a
3
2 B.a
1
2
6
C.a
5
6 D.a
7
6
3.(2014~2015 学年度山东济宁兖州区高一上学期期中测试)计算:2-
1
2 + -4 0
2
+ 1
2-1
-
1- 5 0=____.
4.(2014~2015 学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)若 a<1
4
,则化简
4
4a-1 2的结果是
( )
A. 1-4a B. 4a-1
C.- 1-4a D.- 4a-1
5.(2014~2015 学年度山西朔州市一中高一上学期期中测试)函数 y=ax 在[0,1]上的最大值与
最小值的和为 3,则 a=( )
A.1
2
B.2
C.4 D.1
4
能力提升
6 . (2014 ~ 2015 学 年 度 济 南 市 第 一 中 学 高 一 上 学 期 期 中 测 试 ) 若 函 数 f(x) =
f x+2 x<2
2-x x≥2
,则 f(-3)的值为( )
A.2 B.8
C.1
2
D.1
8
7.(2014~2015 学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)函数 y=ax+1+1(a>0 且 a≠1)的图象
必经过定点________.
8.(2014~2015 学年度山东济宁兖州区高一上学期期中测试)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,
且当 x>0 时,f(x)=2x-3,则当 x<0 时,f(x)=________.
9. (2014~2015 学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)设函数 f(x)=kax-a-x(a>0 且 a≠1)
是奇函数.
(1)求常数 k 的值;
7
(2)若 a>1,试判断函数 f(x)的单调性,并加以证明.
10. 已知定义域为 R 的函数 f(x)=b-2x
2x+a
是奇函数.
(1)求 a、b 的值;
(2)用定义证明 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数;
(3)若对于任意 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的范围.
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