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- 2021-06-16 发布
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参照秘密级管理★启用前
普通高中高一期未质量检测
数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写
在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
1.已知集合 13 , { 3, 2, 1,0,1,2}3
xA x B
,则 RC A B ( )
A.{ 3, 2} B.{ 3, 2, 1} C.{0,1,2} D.{ 1,0,1,2}
2.已知扇形的周长为 8,扇形圆心角的弧度数是 2,则扇形的面积为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
3.下列函数是偶函数且在 (0, ) 上单调递增的是( )
A.
1
2( )f x x B. ( ) 3 xf x C. 2( ) log | |f x x D. 4
1( )f x x
4.用二分法求方程 2log 2x x 的近似解时,可以取的一个区间是( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
5.已知
11
32 52 , 3 , ln 2a b c ,则( )
A.b c a B. a c b C.b a c D. a b c
6.函数 2( ) 1
xf x x
的图像大致是( )
A. B. C. D.
7.已知实数 3x ,则 94 3x x
的最小值是( )
A.24 B.12 C.6 D.3
8.我们知道: ( )y f x 的图像关于原点成中心对称图形的充要条件是 ( )y f x 为奇函数,有同学发现可
以将其推广为: ( )y f x 的图像关于 ( , )a b 成中心对称图形的充要条件是 ( )y f x a b 为奇函数.若
3 2( ) 3f x x x 的对称中心为 ( , )m n ,则
(2019) (2017) (2015) (3) (1) ( 3) ( 5) ( 2017) ( 2019) ( 2021)f f f f f f f f f f
( )
A.8080 B.4040 C.2020 D.1010
二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多
项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分.
9.下列命题是真命题的有( )
A. 1lg2 lg 3lg5 34
B.命题“ 0,2 1xx ”的否定为“ 0,2 1xx ”
C.“ ”是“sin sin ”成立的充分不必要条件
D.若幂函数 ( ) ( )f x x R 经过点 1 ,28
,则 3
10.若角 为钝角,且 1sin cos 5
,则下列选项中正确的有( )
A. 4sin 5
B. 4cos 5
C. 4tan 3
D. 12sin cos 25
11.设 0, 0a b c ,则下列不等式成立的是( )
A. a c b c B.
2 2c c
a b
C. a a c
b b c
D. 1 1a ba b
12.三元均值不等式:“当 , ,a b c 均为正实数时, 3
3
a b c abc ,即三个正数的算术平均数不小于它们
的几何平均数,当且仅当 a b c 时等号成立.”利用上面结论,判断下列不等式成立的有( )
A.若 0x ,则 2 2 3x x
B.若 0 1x ,则 2 1(1 ) 9x x
C.若 0x ,则 2
12 3x x
D.若 0 1x ,则 2 1(1 ) 9x x
三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.函数
211( ) 2
x
f x
的值域为___________.
14.已知函数
2
2
3 , 0,( )
log , 0,
x x xf x
x x
若 ( ) 4f a ,则实数 a ___________;
15.若 1sin 3 5
,则 2sin 3
___________, 5cos 6
_________(第一空 2 分,第
二空 3 分);
16.已知函数 2 2( ) 2 ( 0), ( ) 4 1xf x ax a g x x x .若对任意 1 [ 1,2]x ,总存在 2 [ 1,2]x ,使
得 1 2f x g x ,则实数 a 的取值范围是__________.
四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10 分)已知角 终边上一点 (1,2)P .
(1)求 sin 2cos
sin cos
的值;
(2)求 11 9cos sin2 2
的值.
18.(12 分)已知集合 2{ ( )( 1) 0}( ), 1 log 1A x x a x a B x x R∣ ∣ .
(1)当 1a 时,求 A B ;
(2)是否存在实数 a ,使得________成立?
请在① A B B ,② A B ,③ RB A ð 这三个条件中任选一个,补充在上面的问题中;若问题
中的实数 a 存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由.
19.(12 分)已知函数 ( ) sin 2 ( 0, )6g x a x b a b R .若函数 ( )g x 在区间 0, 2
上的最大值为
3,最小值为 0.
(1)求函数 ( )g x 的解析式;
(2)求出 ( )g x 在 (0, ) 上的单调递增区间.
20.(12 分)某乡镇为打造成“生态农业特色乡镇”,决定种植某种水果,该水果单株产量 ( )M x (单位:千
克)与施用肥料 x (单位:千克)满足如下关系:
25 3 , 0 2
( ) 50 5 , 2 51 3
x x
M x x xx
,单株成本投入(含施肥、人工等)为 30x 元.已知这种水果的市场售价
为 15 元/千克,且销路畅通供不应求,记该水果树的单株利润为 ( )f x (单位:元).
(1)求 ( )f x 的函数关系式;
(2)当施用肥料为多少千克时,该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?
21.(12 分)已知一元二次函数 2( ) 1 ( 0)f x ax x a .
(1)若 0 1a ,证明函数 ( )f x 在区间 1, 2
上单调递减;
(2)若函数 ( )f x 在区间[1,4] 上的最小值为 2 ,求实数 a 的值.
22.(12 分)函数 ( )f x 的定义域为 D ,若 0x D ,满足 0 0f x x ,则称 0x 为 ( )f x 的不动点.
已知函数
3
3 3 , 0 1( ) , ( ) ( ( ))log ,1 3
x xf x g x f f xx x
.
(1)试判断 ( )g x 不动点的个数,并给予证明;
(2)若“ 3 3
20, , ( ) 1 log (1 ) log ( )3x g x x x k ”是真命题,求实数 k 的取值范围.
普通高中高一期未质量检测数学参考答案
一、单项选择题
1.D;2.B;3.C;4.B;5.C;6.A;7.A;8.B;
二、多项选择题:
9.AC;10.BD;11.AD;12.AC;
三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 1 ,2
;14. 1 或 16;15. 1 1,5 5
;16. 10, 2
.
四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解:(1)因为 终边上一点 (1,2)P ,所以 tan 2y
x
, 2 分
且 sin 2cos tan 2 4sin cos tan 1
. 5 分
(2)已知角 终边上一点 (1,2)P ,则 2 2| | 1 2 5r OP , 6 分
所以 2 2sin 555
y
r
, 7 分
1 5cos 55
x
r
, 8 分
11 9 5cos sin sin cos2 2 5
. 10 分
18.解:(1)若 1a ,则 { ( 1)( 1) 0} ( , 1) (1, )A x x x ∣ ,
解不等式 21 log 1x ,得 1 12, ,22 2x B
,
所以 (1,2]A B ; 4 分
(2)显然 1 ,22B
,若选① A B B ,则 B A ,当 1a 时,集合 ( , 1) ( , )A a ,
要使 B A ,则需 1
2a ,所以 11 2a ; 7 分
当 1a 时,集合 ( , ) ( 1, )A a ,此时 B A 10 分
所以若选①,则实数 a 的取值范围为 1
2a ; 12 分
若选② A B ,当 1a 时,集合 ( , 1) ( , )A a ,
要使 A B ,则需 2a ,所以 2a ; 7 分
当 1a 时,集合 ( , ) ( 1, )A a ,此时 ,B A A B B 10 分
所以若选②,则实数 a 的取值范围为 2a ; 12 分
若选③ R
1, ,22B A B ð ,当 1a 时,集合 R( , 1) ( , ), [ 1, ]A a C A a ,
要使 B A Rð ,则需 2a ,所以 2a ; 6 分
当 1a 时,集合 ( , 1) ( 1, )A ,此时 { 1}RC A ,不满足题意; 8 分
当 1a 时,集合 ( , ) ( 1, )A a ,此时 R R[ , 1],C A a B A ð 10 分
所以若选③,则实数 a 的取值范围为 2a ; 12 分
19.解:(1)由题意知,若 0, 2x
,则 726 6 6x ,
所以 1sin 2 ,16 2x
, 2 分
又因为 0a ,所以
3
1 02
a b
a b
,得 2
1
a
b
; 4 分
所以 ( ) 2sin 2 16g x x
; 6 分
(2)因为 (0, )x ,所以 1326 6 6x , 8 分
正弦函数 siny x 在区间 13,6 6
上的单调递增区间为 ,6 2
和 3 13,2 6
, 10 分
此时即 26 6 2x 或 3 1322 6 6x ,
得 0 6x 或 2
3 x ,所以 ( )g x 在 (0, ) 上的递增区间为 0, 6
和 2 ,3
12 分
另解:当 2 2 2 ,2 6 2k x k k Z ,得到 ,3 6k x k k Z 7 分
当 0k 时,
3 6x ; 8 分
当 1k 时, 2 7
3 6x , 9 分
所以 ( )g x 在 (0, ) 上的递增区间为 0, 6
和 2 ,3
12 分
20.解:(1)由题意得: ( ) 15 ( ) 30f x M x x ,
2 215 5 3 30 ,0 2 75 30 225,0 2
( ) 75050 30 25, 2 515 30 25, 2 5 11
x x x x x x
f x xx x xx x xx
(每段解析式正确 2 分) 4 分
(2)由(1)中
275 30 225,0 2,
( ) 750 30 25, 2 5.1
x x x
f x x x xx
得
2175 222,0 2,5( )
25805 30 (1 ) , 2 5.1
x x
f x
x xx
6 分
(i)当 0 2x 时, max( ) (2) 465f x f ; 8 分
(ii)当 2 5x 时, 25 25( ) 805 30 (1 ) 805 30 2 (1 ) 5051 1f x x xx x
11 分
当且仅当 25 11 xx
时,即 4x 时等号成立.
因为 465 505 ,所以当 4x 时, max( ) 505f x ,
所以当施用肥料为 4 千克时,种植该果树获得的最大利润是 505 元 12 分
21.解:(1)设 1 2
1
2x x ,
则 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 21 1 1f x f x ax x ax x x x a x x , 3 分
因为 1 2x x ,得 1 2 0x x ;因为 1 2
1 1,2 2x x ,得 1 2 1x x ,
且 0 1a ,得 1 2 1a x x a ,即 1 2 1 0a x x ;
所以 1 2 0f x f x 成立,即 1 2f x f x ;
函数 ( )f x 在区间 1, 2
上单调递减; 6 分
(2)当 0a 时,二次函数的对称轴为 1
2x a
,且 1 02a
,
函数 2( ) 1f x ax x 在区间[1,4] 上单调递减,
此时 min( ) (4) 16 3 2f x f a ,得 1
16a ,不符合题意; 7 分
当 10 8a 时,二次函数的对称轴为 1
2x a
,且 1 42a
,
函数 2( ) 1f x ax x 在区间[1,4] 上单调递减,
此时 min( ) (4) 16 3 2f x f a ,得 1
16a ,符合题意; 8 分
当 1 1
8 2a 时,二次函数的对称轴为 1
2x a
,且 11 42a
,
函数 2( ) 1f x ax x 的最小值为 min
4 1( ) 24
af x a
,
得 1
12a ,不符合题意; 9 分
当 1
2a 时,二次函数的对称轴为 1
2x a
,且 10 12a
,
函数在区间[1,4] 上单调递增,
min( ) (1) 2f x f a ,不符合题意; 10 分
所以当函数 ( )f x 在区间[1,4] 上的最小值为 2 时,实数 1
16a . 12 分
另解:若函数 ( )f x 在区间[1,4] 上的最小值为 2 ,
即不等式 2 1 2ax x 在区间[1,4] 上恰好成立(能取到等号),
等价于不等式
21 13a x x
在区间[1,4] 上恰好成立, 8 分
构造函数 2 1 1( ) 3 ,14g t t t t x
不等式成立只需要 a 等于函数 2( ) 3g t t t 在区间 1 ,14
上的最大值;
显然函数 2( ) 3g t t t 在区间 1 ,14
上的最大值为 1 1
4 16g
, 10 分
所以实数 1
16a . 12 分
22.解:(1) ( ) ( ( ))g x f f x ,
若 20 3x ,则1 3 3 3x ,所以 3( ) log (3 3 )g x x ,
3 3( ) log (3 3 ) 1 log (1 )g x x x x x x ,
因为函数 3( ) log (1 ) 1h x x x 在 20, 3
是单调递增的,
3 3 3
1 1 1 1 2 3(0) 1 0, log 1 1 log 2 1 log 02 2 2 2 3h h
,
所以 ( )h x 在 20, 3
内存在唯一零点; 2 分
若 2 13 x ,则 0 3 3 1x ,所以 ( ) 3 3(3 3 ) 9 6g x x x ,
( ) 9 6g x x x x ,解得 3
4x ; 3 分
若1 3x ,则 30 log 1x ,所以 3( ) 3 3logg x x ,
3( ) 3 3logg x x x x ; 3( ) 3log 3x x x 在 (1,3] 是单调递增的,
3 3
4 4 5 14(3) 3 0, 3log log 64 03 3 3 3
,
所以 3( ) 3log 3x x x 在 (1,3] 内有唯一零点; 5 分
综上所述, ( )g x 有 3 个不动点. 6 分
(2)由(1)可知,当 3
20, , ( ) ( ( )) log (3 3 )3x g x f f x x
,
若“ 3 3
20, , ( ) 1 log (1 ) log ( )3x g x x x k ”是真命题
就是 20, 3x
,使不等式 3 3( ) 1 log (1 ) log ( )g x x x k 成立
等价于 3 3
2 10, , log log ( )3 1
xx k xx
成立,
即 20, 3x
,不等式组
1
1
0
x k xx
x k
成立,
2(1 ) (1 ) 2 0
0
x k x
x k
,
解得
2 28 81 12 2
k k k kx
x k
, 8 分
因为 20, 3x
,保证 0x k ,所以 2
3k
因为
2 28 2 81 02 2
k k k kk
,
2 28 2 81 ( ) 02 2
k k k kk ,
所以
2 81 2
k kk x 10 分
所以
2 81 02
2
3
k k
k
,解得: 2 13 k .
所以实数 k 的取值范围是 2 ,13
12 分
解法 2:由(1)可知,当 3
20, , ( ) ( ( )) log (3 3 )3x g x f f x x
,
若“ 3 3
20, , ( ) 1 log (1 ) log ( )3x g x x x k ”是真命题
就是 20, 3x
,使不等式 3 3( ) 1 log (1 ) log ( )g x x x k 成立
等价于 3 3
2 10, , log log ( )3 1
xx k xx
成立,
等价于 20, 3x
,使 1
1
x k xx
成立,
且 0x k 也成立 8 分
1 2 (1 )1 1
x k x x kx x
,设 2 (1 )1y xx
,
20, 3x
,使 1
1
x k xx
成立
只要 maxy k 即可,函数 2 (1 )1y xx
在 20, 3
上单调递减,
所以 max 1y ,所以1 k , 10 分
20, 3x
,使 0x k 在区间 20, 3
成立,只需要 max( ) 0x k 即可,即 2 203 3k k
所以实数 k 的取值范围是 2 ,13
12 分
解法 3:由(1)可知,当 3
20, , ( ) ( ( )) log (3 3 )3x g x f f x x
若“ 3 3
20, , ( ) 1 log (1 ) log ( )3x g x x x k ”是真命题
就是 20, 3x
,使不等式 3 3( ) 1 log (1 ) log ( )g x x x k 成立
等价于 3 3
2 10, , log log ( )3 1
xx k xx
成立,
它的否定是: 3 3
2 10, ,log log ( )3 1
xx k xx
恒成立,
或 20, , 03x x k
,(原不等式不存在.......)注意:命题否定的意义
即 3 3
1log log ( )1
x k xx
在 20, 3
上恒成立,或者 0x k 在 20, 3
上恒成立, 8 分
若 3 3
1log log ( )1
x k xx
在 20, 3
上恒成立
则
2 (1 )1
0
x kx
x k
在 20, 3
上恒成立,设 2 (1 )1y xx
,
只需要 maxy k 且 min( ) 0x k 即可,所以 1k , 10 分
若 0x k 在 20, 3
上恒成立,则 2
3k ,
所以, 1k 或 2
3k , 11 分
所以当 2 13 k 时,所以 20, 3x
,使不等式 3 3( ) 1 log (1 ) log ( )g x x x k 成立
实数 k 的取值范围是 2 ,13
12 分
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