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  • 2021-06-16 发布

山东省淄博市2020-2021学年高一上学期期末数学试题

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参照秘密级管理★启用前 普通高中高一期未质量检测 数学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效. 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 13 , { 3, 2, 1,0,1,2}3 xA x B          ,则  RC A B  ( ) A.{ 3, 2}  B.{ 3, 2, 1}   C.{0,1,2} D.{ 1,0,1,2} 2.已知扇形的周长为 8,扇形圆心角的弧度数是 2,则扇形的面积为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 3.下列函数是偶函数且在 (0, ) 上单调递增的是( ) A. 1 2( )f x x  B. ( ) 3 xf x  C. 2( ) log | |f x x D. 4 1( )f x x  4.用二分法求方程 2log 2x x  的近似解时,可以取的一个区间是( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 5.已知 11 32 52 , 3 , ln 2a b c   ,则( ) A.b c a  B. a c b  C.b a c  D. a b c  6.函数 2( ) 1 xf x x   的图像大致是( ) A. B. C. D. 7.已知实数 3x  ,则 94 3x x   的最小值是( ) A.24 B.12 C.6 D.3 8.我们知道: ( )y f x 的图像关于原点成中心对称图形的充要条件是 ( )y f x 为奇函数,有同学发现可 以将其推广为: ( )y f x 的图像关于 ( , )a b 成中心对称图形的充要条件是 ( )y f x a b   为奇函数.若 3 2( ) 3f x x x  的对称中心为 ( , )m n ,则 (2019) (2017) (2015) (3) (1) ( 3) ( 5) ( 2017) ( 2019) ( 2021)f f f f f f f f f f                  ( ) A.8080 B.4040 C.2020 D.1010 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多 项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分. 9.下列命题是真命题的有( ) A. 1lg2 lg 3lg5 34    B.命题“ 0,2 1xx   ”的否定为“ 0,2 1xx   ” C.“  ”是“sin sin  ”成立的充分不必要条件 D.若幂函数 ( ) ( )f x x  R 经过点 1 ,28      ,则 3   10.若角 为钝角,且 1sin cos 5     ,则下列选项中正确的有( ) A. 4sin 5   B. 4cos 5    C. 4tan 3    D. 12sin cos 25     11.设 0, 0a b c   ,则下列不等式成立的是( ) A. a c b c   B. 2 2c c a b  C. a a c b b c   D. 1 1a ba b    12.三元均值不等式:“当 , ,a b c 均为正实数时, 3 3 a b c abc   ,即三个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数,当且仅当 a b c  时等号成立.”利用上面结论,判断下列不等式成立的有( ) A.若 0x  ,则 2 2 3x x   B.若 0 1x  ,则 2 1(1 ) 9x x  C.若 0x  ,则 2 12 3x x   D.若 0 1x  ,则 2 1(1 ) 9x x  三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.函数 211( ) 2 x f x      的值域为___________. 14.已知函数 2 2 3 , 0,( ) log , 0, x x xf x x x      若 ( ) 4f a  ,则实数 a  ___________; 15.若 1sin 3 5       ,则 2sin 3       ___________, 5cos 6       _________(第一空 2 分,第 二空 3 分); 16.已知函数 2 2( ) 2 ( 0), ( ) 4 1xf x ax a g x x x      .若对任意 1 [ 1,2]x   ,总存在 2 [ 1,2]x   ,使 得    1 2f x g x ,则实数 a 的取值范围是__________. 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)已知角 终边上一点 (1,2)P . (1)求 sin 2cos sin cos       的值; (2)求 11 9cos sin2 2               的值. 18.(12 分)已知集合  2{ ( )( 1) 0}( ), 1 log 1A x x a x a B x x        R∣ ∣ . (1)当 1a  时,求 A B ; (2)是否存在实数 a ,使得________成立? 请在① A B B  ,② A B   ,③  RB A ð 这三个条件中任选一个,补充在上面的问题中;若问题 中的实数 a 存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由. 19.(12 分)已知函数 ( ) sin 2 ( 0, )6g x a x b a b        R .若函数 ( )g x 在区间 0, 2      上的最大值为 3,最小值为 0. (1)求函数 ( )g x 的解析式; (2)求出 ( )g x 在 (0, ) 上的单调递增区间. 20.(12 分)某乡镇为打造成“生态农业特色乡镇”,决定种植某种水果,该水果单株产量 ( )M x (单位:千 克)与施用肥料 x (单位:千克)满足如下关系:  25 3 , 0 2 ( ) 50 5 , 2 51 3 x x M x x xx          ,单株成本投入(含施肥、人工等)为 30x 元.已知这种水果的市场售价 为 15 元/千克,且销路畅通供不应求,记该水果树的单株利润为 ( )f x (单位:元). (1)求 ( )f x 的函数关系式; (2)当施用肥料为多少千克时,该水果树的单株利润最大?最大利润是多少? 21.(12 分)已知一元二次函数 2( ) 1 ( 0)f x ax x a    . (1)若 0 1a  ,证明函数 ( )f x 在区间 1, 2     上单调递减; (2)若函数 ( )f x 在区间[1,4] 上的最小值为 2 ,求实数 a 的值. 22.(12 分)函数 ( )f x 的定义域为 D ,若 0x D ,满足  0 0f x x ,则称 0x 为 ( )f x 的不动点. 已知函数 3 3 3 , 0 1( ) , ( ) ( ( ))log ,1 3 x xf x g x f f xx x       . (1)试判断 ( )g x 不动点的个数,并给予证明; (2)若“ 3 3 20, , ( ) 1 log (1 ) log ( )3x g x x x k         ”是真命题,求实数 k 的取值范围. 普通高中高一期未质量检测数学参考答案 一、单项选择题 1.D;2.B;3.C;4.B;5.C;6.A;7.A;8.B; 二、多项选择题: 9.AC;10.BD;11.AD;12.AC; 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 1 ,2    ;14. 1 或 16;15. 1 1,5 5  ;16. 10, 2      . 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解:(1)因为 终边上一点 (1,2)P ,所以 tan 2y x    , 2 分 且 sin 2cos tan 2 4sin cos tan 1           . 5 分 (2)已知角 终边上一点 (1,2)P ,则 2 2| | 1 2 5r OP    , 6 分 所以 2 2sin 555 y r     , 7 分 1 5cos 55 x r     , 8 分 11 9 5cos sin sin cos2 2 5                      . 10 分 18.解:(1)若 1a  ,则 { ( 1)( 1) 0} ( , 1) (1, )A x x x        ∣ , 解不等式 21 log 1x   ,得 1 12, ,22 2x B        , 所以 (1,2]A B  ; 4 分 (2)显然 1 ,22B      ,若选① A B B  ,则 B A ,当 1a   时,集合 ( , 1) ( , )A a     , 要使 B A ,则需 1 2a  ,所以 11 2a   ; 7 分 当 1a   时,集合 ( , ) ( 1, )A a     ,此时 B A 10 分 所以若选①,则实数 a 的取值范围为 1 2a  ; 12 分 若选② A B  ,当 1a   时,集合 ( , 1) ( , )A a     , 要使 A B   ,则需 2a  ,所以 2a  ; 7 分 当 1a   时,集合 ( , ) ( 1, )A a     ,此时 ,B A A B B     10 分 所以若选②,则实数 a 的取值范围为 2a  ; 12 分 若选③  R 1, ,22B A B      ð ,当 1a   时,集合 R( , 1) ( , ), [ 1, ]A a C A a       , 要使  B A Rð ,则需 2a  ,所以 2a  ; 6 分 当 1a   时,集合 ( , 1) ( 1, )A       ,此时  { 1}RC A   ,不满足题意; 8 分 当 1a   时,集合 ( , ) ( 1, )A a     ,此时  R R[ , 1],C A a B A    ð 10 分 所以若选③,则实数 a 的取值范围为 2a  ; 12 分 19.解:(1)由题意知,若 0, 2x     ,则 726 6 6x     , 所以 1sin 2 ,16 2x             , 2 分 又因为 0a  ,所以 3 1 02 a b a b     ,得 2 1 a b    ; 4 分 所以 ( ) 2sin 2 16g x x       ; 6 分 (2)因为 (0, )x  ,所以 1326 6 6x     , 8 分 正弦函数 siny x 在区间 13,6 6       上的单调递增区间为 ,6 2       和 3 13,2 6      , 10 分 此时即 26 6 2x     或 3 1322 6 6x     , 得 0 6x   或 2 3 x   ,所以 ( )g x 在 (0, ) 上的递增区间为 0, 6      和 2 ,3      12 分 另解:当 2 2 2 ,2 6 2k x k k        Z ,得到 ,3 6k x k k      Z 7 分 当 0k  时, 3 6x    ; 8 分 当 1k  时, 2 7 3 6x   , 9 分 所以 ( )g x 在 (0, ) 上的递增区间为 0, 6      和 2 ,3      12 分 20.解:(1)由题意得: ( ) 15 ( ) 30f x M x x  ,  2 215 5 3 30 ,0 2 75 30 225,0 2 ( ) 75050 30 25, 2 515 30 25, 2 5 11 x x x x x x f x xx x xx x xx                         (每段解析式正确 2 分) 4 分 (2)由(1)中 275 30 225,0 2, ( ) 750 30 25, 2 5.1 x x x f x x x xx            得 2175 222,0 2,5( ) 25805 30 (1 ) , 2 5.1 x x f x x xx                      6 分 (i)当 0 2x  时, max( ) (2) 465f x f  ; 8 分 (ii)当 2 5x  时, 25 25( ) 805 30 (1 ) 805 30 2 (1 ) 5051 1f x x xx x               11 分 当且仅当 25 11 xx   时,即 4x  时等号成立. 因为 465 505 ,所以当 4x  时, max( ) 505f x  , 所以当施用肥料为 4 千克时,种植该果树获得的最大利润是 505 元 12 分 21.解:(1)设 1 2 1 2x x  , 则            2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 21 1 1f x f x ax x ax x x x a x x             , 3 分 因为 1 2x x ,得 1 2 0x x  ;因为 1 2 1 1,2 2x x  ,得 1 2 1x x  , 且 0 1a  ,得  1 2 1a x x a   ,即  1 2 1 0a x x   ; 所以    1 2 0f x f x  成立,即    1 2f x f x ; 函数 ( )f x 在区间 1, 2     上单调递减; 6 分 (2)当 0a  时,二次函数的对称轴为 1 2x a  ,且 1 02a  , 函数 2( ) 1f x ax x   在区间[1,4] 上单调递减, 此时 min( ) (4) 16 3 2f x f a     ,得 1 16a  ,不符合题意; 7 分 当 10 8a  时,二次函数的对称轴为 1 2x a  ,且 1 42a  , 函数 2( ) 1f x ax x   在区间[1,4] 上单调递减, 此时 min( ) (4) 16 3 2f x f a     ,得 1 16a  ,符合题意; 8 分 当 1 1 8 2a  时,二次函数的对称轴为 1 2x a  ,且 11 42a   , 函数 2( ) 1f x ax x   的最小值为 min 4 1( ) 24 af x a    , 得 1 12a  ,不符合题意; 9 分 当 1 2a  时,二次函数的对称轴为 1 2x a  ,且 10 12a   , 函数在区间[1,4] 上单调递增, min( ) (1) 2f x f a    ,不符合题意; 10 分 所以当函数 ( )f x 在区间[1,4] 上的最小值为 2 时,实数 1 16a  . 12 分 另解:若函数 ( )f x 在区间[1,4] 上的最小值为 2 , 即不等式 2 1 2ax x    在区间[1,4] 上恰好成立(能取到等号), 等价于不等式 21 13a x x       在区间[1,4] 上恰好成立, 8 分 构造函数 2 1 1( ) 3 ,14g t t t t x            不等式成立只需要 a 等于函数 2( ) 3g t t t   在区间 1 ,14      上的最大值; 显然函数 2( ) 3g t t t   在区间 1 ,14      上的最大值为 1 1 4 16g      , 10 分 所以实数 1 16a  . 12 分 22.解:(1) ( ) ( ( ))g x f f x , 若 20 3x  ,则1 3 3 3x   ,所以 3( ) log (3 3 )g x x  , 3 3( ) log (3 3 ) 1 log (1 )g x x x x x x        , 因为函数 3( ) log (1 ) 1h x x x    在 20, 3     是单调递增的, 3 3 3 1 1 1 1 2 3(0) 1 0, log 1 1 log 2 1 log 02 2 2 2 3h h                      , 所以 ( )h x 在 20, 3     内存在唯一零点; 2 分 若 2 13 x  ,则 0 3 3 1x   ,所以 ( ) 3 3(3 3 ) 9 6g x x x     , ( ) 9 6g x x x x    ,解得 3 4x  ; 3 分 若1 3x  ,则 30 log 1x  ,所以 3( ) 3 3logg x x  , 3( ) 3 3logg x x x x    ; 3( ) 3log 3x x x    在 (1,3] 是单调递增的, 3 3 4 4 5 14(3) 3 0, 3log log 64 03 3 3 3             , 所以 3( ) 3log 3x x x    在 (1,3] 内有唯一零点; 5 分 综上所述, ( )g x 有 3 个不动点. 6 分 (2)由(1)可知,当 3 20, , ( ) ( ( )) log (3 3 )3x g x f f x x      , 若“ 3 3 20, , ( ) 1 log (1 ) log ( )3x g x x x k         ”是真命题 就是 20, 3x      ,使不等式 3 3( ) 1 log (1 ) log ( )g x x x k     成立 等价于 3 3 2 10, , log log ( )3 1 xx k xx        成立, 即 20, 3x      ,不等式组 1 1 0 x k xx x k        成立, 2(1 ) (1 ) 2 0 0 x k x x k          , 解得 2 28 81 12 2 k k k kx x k                , 8 分 因为 20, 3x     ,保证 0x k  ,所以 2 3k   因为 2 28 2 81 02 2 k k k kk                , 2 28 2 81 ( ) 02 2 k k k kk           , 所以 2 81 2 k kk x        10 分 所以 2 81 02 2 3 k k k         ,解得: 2 13 k   . 所以实数 k 的取值范围是 2 ,13     12 分 解法 2:由(1)可知,当 3 20, , ( ) ( ( )) log (3 3 )3x g x f f x x      , 若“ 3 3 20, , ( ) 1 log (1 ) log ( )3x g x x x k         ”是真命题 就是 20, 3x      ,使不等式 3 3( ) 1 log (1 ) log ( )g x x x k     成立 等价于 3 3 2 10, , log log ( )3 1 xx k xx        成立, 等价于 20, 3x      ,使 1 1 x k xx    成立, 且 0x k  也成立 8 分 1 2 (1 )1 1 x k x x kx x         ,设 2 (1 )1y xx    , 20, 3x      ,使 1 1 x k xx    成立 只要 maxy k 即可,函数 2 (1 )1y xx    在 20, 3     上单调递减, 所以 max 1y  ,所以1 k , 10 分 20, 3x      ,使 0x k  在区间 20, 3     成立,只需要 max( ) 0x k  即可,即 2 203 3k k     所以实数 k 的取值范围是 2 ,13     12 分 解法 3:由(1)可知,当 3 20, , ( ) ( ( )) log (3 3 )3x g x f f x x      若“ 3 3 20, , ( ) 1 log (1 ) log ( )3x g x x x k         ”是真命题 就是 20, 3x      ,使不等式 3 3( ) 1 log (1 ) log ( )g x x x k     成立 等价于 3 3 2 10, , log log ( )3 1 xx k xx        成立, 它的否定是: 3 3 2 10, ,log log ( )3 1 xx k xx        恒成立, 或 20, , 03x x k      ,(原不等式不存在.......)注意:命题否定的意义 即 3 3 1log log ( )1 x k xx    在 20, 3     上恒成立,或者 0x k  在 20, 3     上恒成立, 8 分 若 3 3 1log log ( )1 x k xx    在 20, 3     上恒成立 则 2 (1 )1 0 x kx x k         在 20, 3     上恒成立,设 2 (1 )1y xx    , 只需要 maxy k 且 min( ) 0x k  即可,所以 1k  , 10 分 若 0x k  在 20, 3     上恒成立,则 2 3k   , 所以, 1k  或 2 3k   , 11 分 所以当 2 13 k   时,所以 20, 3x      ,使不等式 3 3( ) 1 log (1 ) log ( )g x x x k     成立 实数 k 的取值范围是 2 ,13     12 分