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- 2021-06-16 发布
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3.1随机事件的概率(二)
问题提出
1. 概率的定义是什么?
对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率,简称为A的概率.
2. 频率与概率有什么区别和联系?
① 频率是随机的,在实验之前不能确定;
② 概率是一个确定的数,与每次实验无关;
③ 随着实验次数的增加,频率会越来越接近概率;
④频率是概率的近似值,概率是用来度量事件发生可能性的大小.
探究(一): 概率的正确理解
思考1:连续两次抛掷一枚硬币,可能会出现哪几种结果?
“两次正面朝上”,“两次反面朝上”,
“一次正面朝上,一次反面朝上”.
思考2:抛掷—枚质地均匀的硬币,出现正、反面的概率都是0.5,那么连续两次抛掷一枚硬币,一定是出现一次正面和一次反面吗?
答:这种说法是错误的,抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5,它是大量试验得出的一种规律性结果,对具体的几次试验来讲不一定能体现出这种规律性,在连续抛掷一枚硬币两次的试验中,可能两次均正面向上,也可能两次均反面向上,也可能一次正面向上,一次反面向上.
思考3:试验:全班同学各取一枚同样的硬币,连续抛掷两次,观察它落地后的朝向.将全班同学的试验结果汇总,计算三种结果发生的频率.你有什么发现?随着试验次数的增多,三种结果发生的频率会有什么变化规律?
“两次正面朝上”的频率约为0.25,“两次反面朝上” 的频率约为0.25,“一次正面朝上,一次反面朝上” 的频率约为0.5.
思考4:若某种彩票准备发行1000万张,其中有1万张可以中奖,则买一张这种彩票的中奖概率是多少?买1000张的话是否一定会中奖?
答:不一定中奖,因为买彩票是随机的,每张彩票都可能中奖也可能不中奖.买彩票中奖的概率为1/1000,是指试验次数相当大,即随着购买彩票的张数的增加,大约有1/1000的彩票中奖.
思考5:围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子,每次从中随机摸出1枚棋子后再放回,一共摸10次,你认为一定有一次会摸到黑子吗?说明你的理由.
不一定.摸10次棋子相当于做10次重复试验,因为每次试验的结果都是随机的,所以摸10次棋子的结果也是随机的.可能有两次或两次以上摸到黑子,也可能没有一次摸到黑子,摸到黑子的概率为1-0.910≈0.6513.
归 纳:
随机事件在一次实验中发生与否是随机的,但随机性中含有规律性:
即随着实验次数的增加,该随机事件发生的频率会越来越接近于该事件发生的概率.
探究(二):概率思想的实际应用
思考1:在一场乒乓球比赛前,必须要决定由谁先发球,并保证具有公平性,你知道裁判员常用什么方法确定发球权吗?其公平性是如何体现出来的?
思考2:某中学高一年级有12个班,要从中选2个班代表学校参加某项活动,由于某种原因,1班必须参加,另外再从2至12
班中选一个班,有人提议用如下方法:掷两个骰子得到的点数和是几,就选几班,你认为这种方法公平吗?
不公平,因为各班被选中的概率不全相等,七班被选中的概率最大.
思考3:如果连续10次掷一枚骰子,结果都是出现1点,你认为这枚骰子的质地是均匀的,还是不均匀的?如何解释这种现象?
这枚骰子的质地不均匀,标有6点的那面比较重,会使出现1点的概率最大,更有可能连续10次都出现1点. 如果这枚骰子的质地均匀,那么抛掷一次出现1点的概率为,连续10次都出现1点的概率为这是一个小概率事件,几乎不可能发生.
如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务,那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则,这种判断问题的方法称为极大似然法.
如果我们的判断结论能够使得样本出现的可能性最大,那么判断正确的可能性也最大,这种判断问题的方法在统计学中被称为似然法.
思考4:某地气象局预报说,明天本地降水概率为70%,能否认为明天本地有70%的区域下雨,30%的区域不下雨?你认为应如何理解?
降水概率≠降水区域;明天本地下雨的可能性为70%.
思考5:天气预报说昨天的降水概率为 90%,结果昨天根本没下雨,能否认为这次天气预报不准确?如何根据频率与概率的关系判断这个天气预报是否正确?
不能,概率为90%的事件发生的可能性很大,但“明天下雨”是随即事件,也有可能不发生.收集近50年同日的天气情况,考察这一天下雨的频率是否为90%左右.
思考6:奥地利遗传学家孟德尔从1856年开始用豌豆作试验,他把黄色和绿色的豌豆杂交,第一年收获的豌豆都是黄色的.第二年,他把第一年收获的黄色豌豆再种下,收获的豌豆既有黄色的又有绿色的.同样他把圆形和皱皮豌豆杂交,第一年收获的豌豆都是圆形的.第二年,他把第一年收获的圆形豌豆再种下,收获的豌豆却既有圆形豌豆,又有皱皮豌豆.类似地,他把长茎的豌豆与短茎的豌豆杂交,第一年长出来的都是长茎的豌豆. 第二年,他把这种杂交长茎豌豆再种下,得到的却既有长茎豌豆,又有短茎豌豆.试验的具体数据如下:
豌豆杂交试验的子二代结果
你能从这些数据中发现什么规律吗?
孟德尔的豌豆实验表明,外表完全相同的豌豆会长出不同的后代,并且每次试验的显性与隐性之比都接近3︰1,这种现象是偶然的,还是必然的?我们希望用概率思想作出合理解释.
思考7:在遗传学中有下列原理:
(1)纯黄色和纯绿色的豌豆均由两个特征因子组成,下一代是从父母辈中各随机地选取一个特征组成自己的两个特征.
(2)用符号AA代表纯黄色豌豆的两个特征,符号BB代表纯绿色豌豆的两个特征.
(3)当这两种豌豆杂交时,第一年收获的豌豆特征为:AB.把第一代杂交豌豆再种下时,第二年收获的豌豆特征为: AA,AB,BB.
(4)对于豌豆的颜色来说.A是显性因子,B是隐性因子.当显性因子与隐性因子组合时,表现显性因子的特性,即AA,AB都呈黄色;当两个隐性因子组合时才表现隐性因子的特性,即BB呈绿色.在第二代中AA,AB,BB出现的概率分别是多少?黄色豌豆与绿色豌豆的数量比约为多少?
黄色豌豆(AA,AB)︰绿色豌豆(BB)≈3︰1
(1)概率与公平性的关系:
利用概率解释游戏规则的公平性,判断实际生活中的一些现象是否合理.
(2)概率与决策的关系:
在“风险与决策”中经常会用到统计中的极大似然法:在一次实验中,概率大的事件发生的可能性大.
(3)概率与预报的关系:
在对各种自然现象、灾害的研究过程中经常会用到概率的思想来进行预测.
课堂小结
1. 概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量,即使是大概率事件,也不能肯定事件一定会发生,只是认为事件发生的可能性大.
2. 孟德尔通过试验、观察、猜想、论证,从豌豆实验中发现遗传规律是一种统计规律,这是一种科学的研究方法,我们应认真体会和借鉴.
3. 利用概率思想正确处理和解释实际问题,是一种科学的理性思维,在实践中要不断巩固和应用,提升自己的数学素养.
作业:
<习案>作业三十.
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