高二数学下学期期中试题 文（含解析）2 17页

‎【2019最新】精选高二数学下学期期中试题 文（含解析）2‎ 第I卷（选择题）‎ 一、单选题(每小题5分，共60分)‎ ‎1.1.设全集，集合，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数的单调性求得集合，然后再求出即可．‎ ‎【详解】由题意得，，‎ 所以．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查指数不等式的解法和补集的求法，考查运算能力，属于容易题．‎ ‎2.2.复数的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将复数化为的形式后再求出其虚部．‎ 17 / 17‎ ‎【详解】由题意得，‎ 所以复数的虚部为．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】解答本题时容易出现的错误是认为复数的虚部是，而复数的虚部是．‎ ‎3.3.已知，,如果∥，则实数的值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，即.‎ 考点：向量平行的充要条件.‎ ‎4.4.命题：使；命题：都有.下列结论正确的是（ ）‎ A. 命题是真命题 B. 命题是真命题 C. 命题是真命题 D. 命题是假命题 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 命题：，故不存在使，命题为假命题 命题：，故命题为真命题 故命题是真命题 故选 ‎5.5.已知椭圆的右焦点，则（ ）‎ 17 / 17‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 椭圆的，‎ 由题意可得，又 解得 故选 ‎6.6.执行如图的程序框图,如果输入的.则输出的=（ ）‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ 详解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；‎ 再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；‎ 再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；‎ 再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；‎ 再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；‎ 再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；‎ 再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；‎ 17 / 17‎ 故输出的n值为7．‎ 故选：B．‎ 点睛：本题的实质是累加满足条件的数据，可利用循环语句来实现数值的累加（乘）常分以下步骤：‎ ‎（1）观察S的表达式分析，确定循环的初值、终值、步长；‎ ‎（2）观察每次累加的值的通项公式；‎ ‎（3）在循环前给累加器和循环变量赋初值，累加器的初值为0，累乘器的初值为1，环变量的初值同累加（乘）第一项的相关初值；‎ ‎（4）在循环体中要先计算累加（乘）值，如果累加（乘）值比较简单可以省略此步，累加（乘），给循环变量加步长；‎ ‎（5）输出累加（乘）值．‎ ‎7.7.设实数，满足，则的最小值为（ ）‎ A. B. 1 C. -2 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最小值为,故选C.‎ ‎8.8.将函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为(　　)‎ A. y＝sin B. y＝－cos 2x C. y＝cos 2x D. y＝sin 17 / 17‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 依题意得，y＝sin＝sin＝sin.‎ 故选：A ‎9.9.《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”.意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等”，则其中分得的钱数最多的是（ ）‎ A. 钱 B. 1钱 C. 钱 D. 钱 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设5人所得钱数分别为，则成等差数列，令其公差为，‎ 由题意得，即，解得．‎ 所以数列为递减数列，最大．‎ 即分得的钱数最多的是钱．选D．‎ ‎10.10.若的内角满足,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 的内角满足 17 / 17‎ 由于，‎ ‎，‎ 故选 ‎11.11.已知点F是双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率是（ ）‎ A. 3 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵AB⊥x轴，又已知△ABE是直角三角形，且必有AE＝BE，‎ ‎∴△ABE是等腰直角三角形，所以∠AEB＝90°，∠AEF＝45°，于是AF＝EF 不妨设A点在x轴上方，则A（－c，），故＝a＋c 即b2＝a（a＋c），得c2－ac－2a2＝0‎ 即e2－e－2＝0，得e＝2（e＝－1舍去）‎ 考点：双曲线标准方程，双曲线的性质，直线与双曲线位置关系 ‎12.12.已知定义在实数集上的偶函数满足，且当时，，则关于的方程在上根的个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 17 / 17‎ 试题分析：由题意可得，．即函数为周期为的周期函数，又是偶函数，‎ 所以，在同一坐标系内，画出函数，的图象，观察它们在区间的交点个数，就是方程在上根的个数，结合函数图象可知，共有个交点，故选．‎ 考点：函数的奇偶性、周期性，函数的图象，函数的零点．‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题(每小题5分，共20分)‎ ‎13.13.已知幂函数的图象过点，则　　　.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：依题意，得，.‎ 考点：1.幂函数的性质；2.指数的运算；3.对数运算.‎ ‎14.14.已知正数x、y满足，则的最小值是 ‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：均值不等式求最值 ‎15.15.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 17 / 17‎ 由三视图得到几何体的直观图，然后再求出该几何体的体积即可．‎ ‎【详解】由三视图可得，该几何体为棱长为2的正方体挖去了两个底面为半径是1、高为2的四分之一圆柱而成的，‎ 所以该几何体的体积为．‎ ‎【点睛】以三视图为载体考查几何体的表面积和体积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后再结合题意求解．‎ ‎16.16.设抛物线，过焦点的直线交抛物线于两点，线段的中点的横坐标为，则=_____________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由抛物线方程可知其准线方程为，设，则，即。由抛物线的定义可知，所以。‎ 考点：抛物线的定义。‎ 三、解答题 ‎17.17.在△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C所对的三边，‎ ‎（I）求角A；‎ ‎（II）若，求b的值.‎ ‎【答案】(1);(2)1.‎ ‎【解析】‎ 17 / 17‎ 试题分析：（I）利用余弦定理表示出cosA，将已知的等式变形后代入，求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（II）根据正弦定理得到sinC的值为1，根据C为三角形的内角，可得C为直角，利用三角形的内角和定理求出B的度数，进而确定出sinB的值，由=c得到b=csinB，将c及sinB的值代入即可求出b的值．‎ 详解：（I）由a2﹣（b﹣c）2=bc得：a2﹣b2﹣c2+2bc=bc，即b2+c2﹣a2=bc，‎ ‎∴cosA==，又0＜A＜π，‎ ‎∴A=； ‎ ‎（II）由正弦定理得：=，又=c，‎ ‎∴sinC=1，又C为三角形的内角，‎ ‎∴C=， ‎ ‎∴B=π﹣（A+C）=，‎ ‎∵，‎ ‎∴b=csinB=2sinB=2×=1．‎ 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎18.18.已知数列{an}的通项公式为an=2n﹣1‎ ‎（1）求证：{an}是等差数列；‎ 17 / 17‎ ‎（2）求{an}的前n项和Sn ‎（3）设，试求++…+．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）n2（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用定义只要证明当n≥2时，an﹣an﹣1为常数即可．‎ ‎（2）由等差数列的前n项和公式求出即可．‎ ‎（3）因为bn=n，所以由裂项求和即可．‎ 解：（1）a1=2×1﹣1=1；当n≥2时，an﹣an﹣1=2n﹣1﹣[2（n﹣1）﹣1]=2为常数，∴数列{an}是以a1=2×1﹣1=1为首项，2为公差的等差数列．‎ ‎（2）根据等差数列的前n项和公式得=n2．‎ ‎（3）∵==n，∴==，‎ ‎∴++…+=+…+=1﹣=．‎ 考点：数列的求和；等差关系的确定．‎ ‎19.19.如图，在四棱锥中，平面，，平分，为的中点，，.‎ ‎（1）证明：平面.‎ ‎（2）证明：平面.‎ ‎（3）求直线与平面所成的角的正切值.‎ 17 / 17‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见解析（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（I）设，连结，由三角形中位线定理得．由此能证明． （II）由线面垂直得，由（I）得，，由此能证明． （Ⅲ）由知，为直线与平面所成的角．由此能求出直线与平面所成的角的正切值． ‎ 试题解析：‎ ‎（1）设，连接，在中，因为，且平分，所以为的中点，又由题设，知为的中点，故，又平面，且平面，所以 平面.‎ ‎（2）证明：因为平面，平面，所以，由（1）可得，，又，故平面.‎ ‎（3）由平面可知，为在平面内的射影，所以为直线与平面所成的角，由，，‎ ‎，可得，.‎ 在中，.‎ 所以直线与平面所成的角的正切值为.‎ 点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ 17 / 17‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎20.20.已知动点到定点和的距离之和为.‎ ‎(1)求动点轨迹的方程；‎ ‎(2)设，过点作直线，交椭圆于不同于的两点，直线，的斜率分别为，，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明过程详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题考查椭圆的基本量间的关系及韦达定理的应用.第一问是考查椭圆的基本量间的关系，比较简单；第二问是直线与椭圆相交于两点，先设出两点坐标，本题的突破口是在消参后的方程中找出两根之和、两根之积，整理斜率的表达式，但是在本问中需考虑直线的斜率是否存在，此题中蕴含了分类讨论的思想的应用.‎ 试题解析：（Ⅰ）由椭圆定义，可知点的轨迹是以为焦点，以为长轴长的椭圆．‎ 由，得．故曲线的方程为． 5分 ‎（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设其方程为，‎ 由，得． 7分 设，，，．‎ 从而． 11分 当直线的斜率不存在时，得，‎ 17 / 17‎ 得．‎ 综上，恒有． 12分 考点：1.三角形面积公式；2.余弦定理；3.韦达定理；4.椭圆的定义.‎ ‎21.21.某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间如下:‎ 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 ‎[50,60)‎ ‎[60,70)‎ ‎[70,80)‎ ‎[80,90)‎ ‎[90,100]‎ ‎(1)求图中a的值;‎ ‎(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分;‎ ‎(3)现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生,将该样本看成一个总体,从中随机抽取2名,求其中恰有1人的分数不低于90分的概率.‎ ‎【答案】(1) a=0.005;(2) 74.5;(3)见解析.‎ ‎【解析】‎ 17 / 17‎ 试题分析：（1）由频率分布图中小矩形面积和为1，能求出a的值 （2）由频率分布直方图，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表即可估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分． （Ⅲ）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，则第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人，由此利用对立事件概率计算公式能求出从中随机抽取2名，第4组的至少有一位同学入选的概率． ‎ 试题解析：（1）由题意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005．‎ ‎（2）由直方图分数在[50，60]的频率为0.05，[60，70]的频率为0.35，[70，80]的频率为0.30，‎ ‎[80，90]的频率为0.20，[90，100]的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5‎ ‎（3）由直方图，得：‎ 第3组人数为0.3×100=30。‎ 第4组人数为0.2×100=20人，‎ 第5组人数为0.1×100=10人．‎ 所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，‎ 每组分别为：‎ 第3组：人，‎ 第4组：人，‎ 第5组： =1人．‎ 所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．…‎ 17 / 17‎ 设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：‎ ‎（A1，A2），（A1，A3），（B1，B2），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），‎ 其中恰有1人的分数不低于90（分）的情形有：（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共5种．…‎ 所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为 ‎ ‎22.22.已知圆锥曲线的两个焦点坐标是，且离心率为；‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）设曲线表示曲线的轴左边部分，若直线与曲线相交于两点，求的取值范围；‎ ‎（3）在条件（2）下，如果，且曲线上存在点，使，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 17 / 17‎ ‎（1）根据离心率可得曲线为双曲线，然后根据焦点及离心率可得，进而得到曲线方程．（2）将直线方程代入双曲线方程得到二次方程，根据题意可得该二次方程有两个负数根，结合根与系数的关系可得所求．（3）由弦长公式及（2）中实数的取值范围可得，于是可得直线AB的方程．设C（x0，y0），由条件可得，再根据点在双曲线上可求得．‎ ‎【详解】（1）由e=知，曲线E是以F1（﹣，0），F2（，0）为焦点的双曲线，‎ 且c=，，‎ 解得，‎ ‎∴b2=2﹣1=1，‎ 故双曲线E的方程是x2﹣y2=1． ‎ ‎（2）由消去整理得 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由题意可得方程有两个负数根，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ ‎（3）由题意及（2）得 ‎6=||=|x1﹣x2|=•=，‎ 整理得28k4﹣55k2+25=0，‎ 解得或，‎ 又﹣，‎ ‎∴k=﹣，‎ 故直线AB的方程为．‎ 设C（x0，y0），由=m，得（x1，y1）+（x2，y2）=（mx0，my0），‎ 17 / 17‎ 又=﹣4，y1+y2=k（x1+x2）﹣2=8，‎ ‎∴．‎ ‎∵点在曲线E上，‎ ‎∴，解得m=±4，‎ 当m=﹣4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，‎ ‎∴m=4为所求．‎ ‎【点睛】（1）直线与圆锥曲线位置关系的问题可通过代数法求解，即将直线方程与曲线方程联立消元后得到一元二次方程，根据二次方程根的情况可得直线与圆锥曲线的位置关系．‎ ‎（2）圆锥曲线中的向量问题，可根据向量的相关知识将其转化为点的坐标间的关系，然后根据点的位置进行求解．‎ 17 / 17‎