2020年高中数学第五章数系的扩充与复数章末检测湘教版选修2-2 4页

第五章 数系的扩充与复数 章末检测 一、选择题 ‎1．i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则 ‎(　　)‎ A．i∈S B．i2∈S C．i3∈S D.∈S 答案　B ‎2．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝‎1”‎是“z1＝z‎2”‎的 ‎(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　A 解析　因为z1＝z2，所以，解得m＝1或m＝－2，‎ 所以m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．‎ ‎3．(2013·天津改编)已知i是虚数单位，m，n∈R，且m＋i＝1＋ni，则＝‎ ‎(　　)‎ A．－1 B．‎1 ‎‎ C．－i D．i 答案　D 解析　由m＋i＝1＋ni(m，n∈R)，∴m＝1且n＝1.则＝＝＝i.‎ ‎4．已知a是实数，是纯虚数，则a等于 ‎(　　)‎ A．1 B．－‎1 ‎‎ C. D．－ 答案　A 解析　＝＝是纯虚数，则a－1＝0，a＋1≠0，解得a＝1.‎ ‎5．若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi等于 ‎(　　)‎ 4‎ A．－2＋i B．2＋i C．1－2i D．1＋2i 答案　B 解析　∵(x－i)i＝y＋2i，xi－i2＝y＋2i，‎ ‎∴y＝1，x＝2，∴x＋yi＝2＋i.‎ ‎6．已知2＋ai，b＋i是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，则p，q的值为 ‎(　　)‎ A．p＝－4，q＝5 B．p＝4，q＝5‎ C．p＝4，q＝－5 D．p＝－4，q＝－5‎ 答案　A 解析　由条件知2＋ai，b＋i是共轭复数，则a＝－1，b＝2，即实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根是2±i，所以p＝－[(2＋i)＋(2－i)]＝－4，‎ q＝(2＋i)(2－i)＝5.‎ ‎7．(2013·新课标Ⅰ)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为 ‎(　　)‎ A．－4 B．－ C．4 D. 答案　D 解析　因为复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，所以z＝＝＝ ‎＝＋i，故z的虚部等于，故选D.‎ ‎8．i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则ab的值是 ‎(　　)‎ A．－15 B．‎3 C．－3 D．15‎ 答案　C 解析　＝＝－1＋3i，∴a＝－1，b＝3，ab＝－3.‎ ‎9．(2013·广东)若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是(　　)‎ A．(2,4) B．(2，－4) C．(4，－2) D．(4,2)‎ 答案　C 解析　z＝＝4－2i对应的点的坐标是(4，－2)，故选C.‎ ‎10．已知f(n)＝in－i－n(n∈N*)，则集合{f(n)}的元素个数是 ‎(　　)‎ A．2 B．‎3 ‎‎ C．4 D．无数个 4‎ 答案　B 解析　f(n)有三个值0,2i，－2i.‎ 二、填空题 ‎11．复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是________．‎ 答案　(3,4)‎ 解析　∵z＝m2－‎4m＋(m2－m－6)i所对应的点在第二象限，∴，解得31＋i；‎ ‎③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；‎ ‎④若一个数是实数，则其虚部不存在；‎ ‎⑤若z＝，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限．‎ 答案　⑤‎ 解析　由y∈∁CR，知y是虚数，则不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，故④错误；⑤中z3＋1＝＋1＝i＋1，对应点在第一象限，故⑤正确．‎ 三、解答题 ‎15．设复数z＝lg(m2－‎2m－2)＋(m2＋‎3m＋2)i，当m为何值时，‎ ‎(1)z是实数？(2)z是纯虚数？‎ 解　(1)要使复数z为实数，需满足解得m＝－2或－1.即当m＝－2或－1时，z是实数．‎ 4‎ ‎(2)要使复数z为纯虚数，需满足 解得m＝3.即当m＝3时，z是纯虚数．‎ ‎16．设f(n)＝n＋n(n∈N)，求集合{x|x＝f(n)}中元素的个数．‎ 解　∵＝i，＝－i，∴f(n)＝in＋(－i)n.设k∈N.‎ 当n＝4k时，f(n)＝2，‎ 当n＝4k＋1时，f(n)＝i4k·i＋(－i)4k·(－i)＝0，‎ 当n＝4k＋2时，f(n)＝i4k·i2＋(－i)4k·(－i)2＝－2，‎ 当n＝4k＋3时，f(n)＝i4k·i3＋(－i)4k·(－i)3＝0，‎ ‎∴{x|x＝f(n)}中有三个元素．‎ ‎17．(2013·山东德州期中)已知z＝1＋i，a，b为实数．‎ ‎(1)若ω＝z2＋3－4，求|ω|；‎ ‎(2)若＝1－i，求a，b的值．‎ 解　(1)因为ω＝z2＋3－4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i，‎ ‎|ω|＝＝.‎ ‎(2)由条件＝1－i，得＝‎ ‎1－i.即＝1－i ‎∴(a＋b)＋(a＋2)i＝1＋i，∴，解得.‎ ‎18．设z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1.‎ ‎(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；‎ ‎(2)若ω＝，求证：ω为纯虚数．‎ ‎(1)解　设z1＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则z2＝z1＋＝a＋bi＋＝＋i.‎ 因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，还可得z2＝‎2a.‎ 由－1≤z2≤1，得－1≤‎2a≤1，解得－≤a≤，即z1的实部的取值范围是.‎ ‎(2)证明　ω＝＝＝＝‎ ‎－i.因为a∈[－，]，b≠0，所以ω为纯虚数．‎ 4‎