高考数学专题复习练习第2讲 导数的应用 6页

第2讲 导数的应用(一)‎ 一、选择题 ‎1．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是(　　)．‎ A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0‎ C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0‎ 解析　设切点坐标为(x0，x)，则切线斜率为2x0，‎ 由2x0＝2得x0＝1，故切线方程为y－1＝2(x－1)，‎ 即2x－y－1＝0.‎ 答案　D ‎2．若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是 (　　)．‎ A．(－2，＋∞) B．(2，＋∞)‎ C．(－∞，－2) D．(－∞，2)‎ 解析　由条件得h′(x)＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈(－2，＋∞)．‎ 答案　A ‎3．函数f(x)＝(4－x)ex的单调递减区间是 (　　)．‎ A．(－∞，4) B．(－∞，3)‎ C．(4，＋∞) D．(3，＋∞)‎ 解析　f′(x)＝ex＋(4－x)·ex＝ex(3－x)，令f′(x)<0，由于ex>0，∴3－x<0，解得x>3.‎ 答案　D ‎4．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝处有极值，则ab的值为(　　)‎ A．2 B．－‎2 C．3 D．－3‎ 解析 f′(x)＝3ax2＋b，由f′＝‎3a2＋b＝0，可得ab＝－3.故选D.‎ 答案 D ‎ ‎5．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有(　　)．‎ A．f(0)＋f(2)<‎2f(1) B．f(0)＋f(2)≤‎2f(1)‎ C．f(0)＋f(2)≥‎2f(1) D．f(0)＋f(2)>‎2f(1)‎ 解析　不等式(x－1)f′(x)≥0等价于或 可知f(x)在(－∞，1)上递减，(1，＋∞)上递增，或者f(x)为常数函数，因此f(0)＋f(2)≥‎2f(1)．‎ 答案　C ‎6．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．‎ 下列关于函数f(x)的命题：‎ ‎①函数y＝f(x)是周期函数；‎ ‎②函数f(x)在[0,2]上是减函数；‎ ‎③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；‎ ‎④当10，‎ 当x∈(0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，显然当x＝2时f(x)取极小值．‎ 答案 2‎ ‎9．若曲线f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．‎ 解析　∵f′(x)＝5ax4＋，x∈(0，＋∞)，‎ ‎∴由题意知5ax4＋＝0在(0，＋∞)上有解．‎ 即a＝－在(0，＋∞)上有解．‎ ‎∵x∈(0，＋∞)，∴－∈(－∞，0)．∴a∈(－∞，0)．‎ 答案　(－∞，0)‎ ‎10．已知函数y＝－x3＋bx2－(2b＋3)x＋2－b在R上不是单调减函数，则b的取值范围是________．‎ 解析　y′＝－x2＋2bx－(2b＋3)，要使原函数在R上单调递减，应有y′≤0恒成立，∴Δ＝4b2－4(2b＋3)＝4(b2－2b－3)≤0，∴－1≤b≤3，故使该函数在R上不是单调减函数的b的取值范围是b<－1或b>3.‎ 答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞)‎ 三、解答题 ‎11．设函数f(x)＝ax3－3x2，(a∈R)，且x＝2是y＝f(x)的极值点，求函数g(x)＝ex·f(x)的单调区间．‎ 解　f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)．‎ 因为x＝2是函数y＝f(x)的极值点．‎ 所以f′(2)＝0，即6(‎2a－2)＝0，因此a＝1，‎ 经验证，当a＝1时，x＝2是函数f(x)的极值点，‎ 所以g(x)＝ex(x3－3x2)，‎ g′(x)＝ex(x3－3x2＋3x2－6x)‎ ‎＝ex(x3－6x)＝x(x＋)(x－)ex.‎ 因为ex>0，所以y＝g(x)的单调增区间是(－，0)和(，＋∞)；单调减区间是(－∞，－)和(0，)．‎ ‎12．已知函数f(x)＝x3－ax－1‎ ‎(1)若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在试说明理由．‎ 解 (1)f′(x)＝3x2－a 由Δ≤0，即‎12a≤0，解得a≤0，‎ 因此当f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增时，a的取值范围是(－∞，0]．‎ ‎(2)若f(x)在(－1,1)上单调递减，‎ 则对于任意x∈(－1,1)不等式f′(x)＝3x2－a≤0恒成立 即a≥3x2，又x∈(－1,1)，则3x2<3因此a≥3‎ 函数f(x)在(－1,1)上单调递减，实数a的取值范围是[3，＋∞)．‎ ‎13．已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围．‎ 解　(1)根据题意知，f′(x)＝(x＞0)，‎ 当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)；‎ 当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；当a ‎＝0 时，f(x)不是单调函数．‎ ‎(2)∵f′(2)＝－＝1，∴a＝－2，‎ ‎∴f(x)＝－2ln x＋2x－3.‎ ‎∴g(x)＝x3＋x2－2x，‎ ‎∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.‎ ‎∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g′(0)＝－2，‎ ‎∴ 由题意知：对于任意的t∈[1,2]，g′(t)＜0恒成立，‎ ‎∴∴－＜m＜－9.‎ ‎14．设函数f(x)＝ln x＋在内有极值．‎ ‎(1)求实数a的取值范围；‎ ‎(2)若x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)．求证：f(x2)－f(x1)>e＋2－.注：e是自然对数的底数．‎ ‎(1)解　易知函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，‎ f′(x)＝－＝＝.‎ 由函数f(x)在内有极值，可知方程f′(x)＝0在内有解，令g(x)＝x2－(a＋2)x＋1＝(x－α)(x－β)．‎ 不妨设0<α<，则β>e，又g(0)＝1>0，‎ 所以g＝－＋1<0，解得a>e＋－2.‎ ‎(2)证明　由(1)知f′(x)>0⇔0β，‎ f′(x)<0⇔αe)，‎ 则h′(β)＝＋1＋＝2>0，‎ 所以函数h(β)在(e，＋∞)上单调递增，‎ 所以f(x2)－f(x1)≥h(β)>h(e)＝2＋e－.‎