2019-2020学年高中数学课时作业16平摆线和渐开线北师大版选修4-4 13页

课时作业(十六)‎ ‎1．关于渐开线和平摆线的叙述，正确的是(　　)‎ A．只有圆才有渐开线 B．渐开线和平摆线的概念是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形 C．正方形也可以有渐开线 D．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 答案　C 解析　不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形等也有渐开线，选项A错误；渐开线和平摆线的概念上虽有相似之处，但它们的实质是完全不同的，因此得到的图形也不相同，选项B错误；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同，选项D错误，只有选项C正确．故选C.‎ ‎2．已知圆的渐开线(φ为参数)上有一点的坐标为(3，0)，则渐开线对应的基圆的面积为(　　)‎ A．π　　　　　　　　　　　 B．2π C．4π D．9π 答案　D 解析　把已知点(3，0)代入参数方程得 ‎①×cosφ＋②×sinφ得r＝3cosφ，又tanφ＝＝＝0，‎ 所以cosφ＝1，即r＝3，所以基圆的面积为9π.选D.‎ ‎3．半径为2的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，则其横坐标可能是(　　)‎ A．π B．2π C．4π D．6π 答案　C 解析　半径为2的圆的平摆线的参数方程为 (φ为参数)，‎ 把y＝0代入参数方程得φ＝2kπ，k∈Z，‎ 所以x＝4kπ，k∈Z，‎ 当k＝1时，x＝4π.选C.‎ ‎4．已知一个圆的参数方程是(θ为参数)，那么圆的平摆线方程中参数φ＝ 13‎ 对应的点的坐标与点(，2)之间的距离为(　　)‎ A.－1 B. C. D. 答案　C 解析　根据圆的参数方程可知圆的半径是3.那么其对应的平摆线的参数方程为(φ为参数)，‎ 把φ＝代入参数方程，得 所以φ＝对应的点的坐标为(3(－1)，3)．‎ 代入距离公式，可得距离为＝.故选C.‎ ‎5．半径为3的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是(　　)‎ A．π B．2π C．12π D．14π 答案　C 解析　根据条件可知圆的摆线的参数方程为(φ为参数)，把y＝0代入，‎ 得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．‎ 而x＝3φ－3sinφ＝6kπ(k∈Z)，根据选项可知选C.‎ ‎6．圆的渐开线方程为(θ为参数)，当θ＝，时，渐开线上对应的点为A、B，则A、B间的距离为(　　)‎ A. B. C. D．π 答案　A 解析　由渐开线的形成过程知，A、B两点间的距离就是基圆上A、B两点对应的弧长，由于基圆半径为1，故由弧长公式得|AB|＝.‎ ‎7．半径为5的圆沿地平面内一定直线作无滑动的滚动，圆与该直线的切点为A，则A相邻两次着地点间的距离为________．‎ 答案　10π 13‎ 解析　取A的初时位置为坐标原点，定直线为x轴，滚动方向为正方向建立直角坐标系，‎ 则A的轨迹方程为 令y＝0得cosα＝1，取α1＝0，α2＝2π，‎ 则x1＝0，x2＝10π，x2－x1＝10π.‎ ‎8．已知某渐开线的参数方程为(φ为参数)，根据参数方程可以得出该渐开线的基圆半径为________，当φ＝时，对应的曲线上的点的坐标为________．‎ 答案　　(，)‎ 解析　基圆半径为r的渐开线的参数方程为(φ为参数)，‎ 与题中所给参数方程对照可知 r＝，φ＝时对应的点为(，)．‎ ‎9．如图所示，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，求曲线AEFGH的长．‎ 解析　根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为；继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.‎ ‎10．已知圆C的参数方程是(α为参数)和直线l对应的普通方程是x－y－6＝0.‎ ‎(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线l满足什么关系？‎ ‎(2)写出平移后圆的平摆线方程．‎ 解析　(1)圆C平移后圆心为O(0，0)，‎ 它到直线x－y－6＝0的距离d＝＝6，‎ 恰好等于圆的半径，‎ 13‎ 所以直线l和圆是相切的．‎ ‎(2)由于圆的半径是6，‎ 所以可得平摆线方程是(φ为参数)．‎ 13‎ ‎1．(2010·湖南)极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是(　　)‎ A．圆、直线　　　　　　　 B．直线、圆 C．圆、圆 D．直线、直线 答案　A 解析　∵ρ＝cosθ，∴x2＋y2＝x表示圆．‎ ‎∵∴y＋3x＝－1表示直线．‎ ‎2．(2012·湖南)在极坐标系中，曲线C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)有一个交点在极轴上，则a＝________．‎ 答案　 解析　把曲线C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝1化成直角坐标方程，得x＋y＝1.‎ 把曲线C2：ρ＝a(a>0)化成直角坐标方程，得x2＋y2＝a2.‎ ‎∵C1与C2的一个交点在极轴上，‎ ‎∴x＋y＝1与x轴交点(，0)在C2上，‎ 即()2＋0＝a2.又∵a>0，∴a＝.‎ ‎3．(2012·广东)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．‎ 答案　(1，1)‎ 解析　由C1得y＝，即y2＝x(y≥0)．①‎ 由C2得x2＋y2＝2.②‎ 由①②联立得 ‎4．(2012·广东)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(θ为参数，0≤θ≤)和(t为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．‎ 答案　(2，1)‎ 13‎ 解析　由C1得x2＋y2＝5　①，且 由C2得x＝1＋y　②.‎ ‎∴由①②联立得得 ‎5．(2012·安徽)在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直线θ＝(ρ∈R)的距离是________．‎ 答案　 解析　由极坐标下圆的方程ρ＝4sinθ，可得ρ2＝4ρsinθ，所以x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，表示以(0，2)为圆心，2为半径的圆．又θ＝(ρ∈R)表示直线y＝x，∴由点到直线的距离公式可得d＝＝.‎ ‎6．(2012·北京)直线(t是参数)与曲线(α为参数)的交点个数为________．‎ 答案　2‎ 解析　由题意知直线与曲线的参数方程可分别化为x＋y－1＝0，x2＋y2＝9，进而求出圆心(0，0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝<3，∴交点个数为2.‎ ‎7．(2012·天津)已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p>0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________．‎ 答案　2‎ 解析　由参数方程 ‎(t为参数)，p>0，可得曲线方程为y2＝2px(p>0)．‎ ‎∵|EF|＝|MF|，且|MF|＝|ME|(抛物线定义)，‎ ‎∴△MEF为等边三角形．‎ 又∵E的横坐标为－，M的横坐标为3，‎ ‎∴EM中点的横坐标为，与F的横坐标相同．‎ 13‎ ‎∴＝，∴p＝2.‎ ‎8．(2012·湖南)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝________．‎ 答案　 解析　∵C1：∴C1的方程为2x＋y－3＝0.‎ ‎∵C2：∴C2的方程为＋＝1.‎ ‎∵C1与C2有一个公共点在x轴上，且a>0，‎ ‎∴C1与x轴的交点(，0)在C1上，代入解得a＝.‎ ‎9．(2012·江西)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．‎ 答案　ρ＝2cosθ ‎10．(2012·陕西)直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为________．‎ 答案　 解析　直线2ρcosθ＝1，即2x＝1，且ρ＝2cosθ，即为(x－1)2＋y2＝1，如图可得弦长为.‎ ‎11．(2012·湖北)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知射线θ＝与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．‎ 答案　 解析　由极坐标方程可知，θ＝表示直线y＝x，而表示y＝(x－2)2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)．联立可得x2－5x＋4＝0，可得x1＋x2＝5.即x0＝y0＝＝，故M(，)．‎ ‎12．(2012·上海)如图，在极坐标系中，过点M(2，0)的直线l与极轴的夹角α＝.若将l的极坐标方程写成ρ＝f(θ)的形式，则f(θ)＝________．‎ 13‎ 答案　 解析　如图所示，根据正弦定理，有＝，∴ρ＝.‎ ‎13．(2011·广东)已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)，(t∈R)，它们的交点坐标为________．‎ 答案　(1，)‎ 解析　由两曲线参数方程消去x，y，t，得cosθ＝sin2θ，由此得5cos2θ＋4cosθ－5＝0.又∵0≤θ≤π，解得cosθ＝.‎ ‎∴sinθ＝＝.‎ ‎∴故交点坐标为(1，)．‎ ‎14．(2011·湖南)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，在极坐标系(与直线坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为原点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，则C1与C2的交点个数为________．‎ 答案　2‎ 解析　由C1：得曲线C1：x2＋(y－1)2＝1.‎ 由C2：ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，得曲线C2：x－y＋1＝0.‎ 方法一：(几何法)圆心(0，1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝0<1，‎ ‎∴C1与C2有2个交点．‎ 方法二：(代数法)联立得2y2－4y＋1＝0，‎ Δ＝16－4×2＝8>0，∴C1与C2有2个交点．‎ 13‎ ‎15．(2011·江西)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．‎ 答案　x2＋y2－4x－2y＝0‎ 解析　∵ρ＝2sinθ＋4cosθ，∴ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ.将ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y，ρcosθ＝x代入，有x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－4x－2y＝0.‎ ‎16．(2010·广东)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ≤2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．‎ 答案　(，)‎ 解析　由ρ＝2sinθ，ρcosθ＝－1，得2sinθcosθ＝－1，即sin2θ＝－1，2θ＝，θ＝，ρ＝.‎ 所以交点极坐标为(，)．‎ ‎17．(2010·广东)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ≤2π)中，曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1与ρ(sinθ－cosθ)＝1的交点的极坐标为________．‎ 答案　(1，)‎ 解析　由ρ(cosθ＋sinθ)＝1，ρ(sinθ－cosθ)＝1，‎ 得又因ρ≠0，所以即 所以交点极坐标为(1，)．‎ ‎18．(2010·陕西)已知圆C的参数方程为(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为________．‎ 答案　(－1，1)，(1，1)‎ 解析　ρsinθ＝1⇒y＝1，圆方程为x2＋(y－1)2＝1，联立，得到所求交点坐标为(－1，1)，(1，1)．‎ ‎19．(2012·福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2，0)，，圆C的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；‎ 13‎ ‎(2)判断直线l与圆C的位置关系．‎ 解析　(1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2，0)，.‎ 又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为，‎ 故直线OP的平面直角坐标方程为y＝x.‎ ‎(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2，0)，，所以直线l的平面直角坐标方程为x＋3y－2＝0.‎ 又圆C的圆心坐标为(2，－)，半径r＝2，‎ 圆心到直线l的距离d＝＝0，‎ 故可设t1，t2是上述方程的两实根．‎ 所以 又直线l过点P(3，)，‎ 故由上式及t的几何意义，得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.‎ ‎25．(2014·新课标全国Ⅰ)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；‎ ‎(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．‎ 解析　(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．‎ 直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.‎ ‎(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝|4cosθ＋3sinθ－6|，‎ 则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝.‎ 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.‎ 当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.‎ ‎26．(2014·新课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈[0，]．‎ 13‎ ‎(1)求C的参数方程；‎ ‎(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．‎ 解析　(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．‎ 可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．‎ ‎(2)设D(1＋cost，sint)．由(1)知C是以C(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直．所以直线CD与l的斜率相同，tant＝，t＝.‎ 故D的直角坐标为(1＋cos，sin)，即(，)．‎ 13‎