【数学】2020届一轮复习北师大版复数课时作业 6页

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由ab＝0，得a＝0，b≠0或a≠0，b＝0或a＝0，b＝0，a＋＝a－bi不一定为纯虚数；若a＋＝a－bi为纯虚数，则有a＝0且b≠0，这时有ab＝0.综上，可知选B.‎ ‎2．若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝(　　)‎ A．2－3i B．2＋3i C．3＋2i D．3－2i 答案　A 解析　因为z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，所以＝2－3i.‎ ‎3．若a为实数，且(2＋ai)·(a－2i)＝－4i，则a＝(　　)‎ A．－1 B．0 C．1 D．2‎ 答案　B 解析　∵(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，‎ ‎∴解之得a＝0.‎ ‎4．如果复数z＝，则(　　)‎ A．|z|＝2‎ B．z的实部为1‎ C．z的虚部为－1‎ D．z的共轭复数为1＋i 答案　C 解析　因为z＝＝＝－1－i，所以|z|＝，z的实部为－1，虚部为－1，共轭复数为－1＋i，因此选C.‎ ‎5．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝(　　)‎ A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i 答案　A 解析　由题意知z2＝－2＋i，‎ 所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.‎ ‎6．对于下列四个命题：‎ ‎①任何复数的绝对值都是非负数；‎ ‎②如果复数z1＝i，z2＝－i，z3＝－i，z4＝2－i，那么这些复数的对应点共圆；‎ ‎③|cosθ＋isinθ|的最大值是，最小值为0；‎ ‎④x轴是复平面的实轴，y轴是虚轴．‎ 其中正确的有(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案　D 解析　①正确．因为若z∈R，则|z|≥0，若z＝a＋bi(b≠0，a，b∈R)，则|z|＝>0.②正确．因为|z1|＝，|z2|＝＝，|z3|＝，|z4|＝，这些复数的对应点均在以原点为圆心，为半径的圆上．③错误．因为|cosθ＋isinθ|＝＝1为定值，最大、最小值相等都是1.④正确．故应选D.‎ ‎7．复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　z＝＝＝＝－－i，则＝－＋i在复平面内对应的点在第二象限，故选B.‎ ‎8．复数z1＝2，z2＝2－i3分别对应复平面内的点P，Q，则向量对应的复数是(　　)‎ A. B．－3－i C．1＋i D．3＋i 答案　D 解析　∵z1＝(－i)2＝－1，z2＝2＋i，∴对应的复数是z2－z1＝2＋i－(－1)＝3＋i.故选D.‎ ‎9．若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝(　　)‎ A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i 答案　B 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.故2z＋＝2(a＋bi)＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i，所以解得所以z＝1－2i.故选B.‎ ‎10．若复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是(　　)‎ A．一个圆 B．线段 C．两个点 D．两个圆 答案　A 解析　由|z|2－2|z|－3＝0，得(|z|－3)(|z|＋1)＝0.‎ ‎∵|z|＋1>0，‎ ‎∴|z|－3＝0，即|z|＝3.‎ ‎∴复数z对应点的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆，故选A.‎ ‎11．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的(　　)‎ A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 答案　A 解析　设复数z与复平面内的点Z相对应，由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3及|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z即为△ABC的外心．‎ ‎12．若复数z1z2≠0，则z1z2＝|z1z2|是z2＝1成立的(　　)‎ A．充要条件 B．既不充分又不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 答案　D 解析　z1，z2都是复数，复数z1z2≠0成立，则z1，z2是非零复数，此时当z2＝1时，表明两复数z1，z2是一对共轭复数，故z1z2＝|z1|2，|z1z2|＝|z2|2，能得出z1z2＝|z1z2|成立；反之，若z1z2＝|z1z2|成立，则z1z2是正实数，故不一定得出z2＝1.‎ 故可得出z1z2＝|z1z2|是z2＝1成立的必要不充分条件．故选D.‎ 第Ⅱ卷　(非选择题，共90分)‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝，且|ω|＝5，则ω＝________.‎ 答案　±(7－i)‎ 解析　由题意，设(1＋3i)z＝ki(k≠0且k∈R)，‎ 则ω＝＝.‎ ‎∵|ω|＝5，∴k＝±50，故ω＝±(7－i)．‎ ‎14．下面四个命题：①0比－i大；②两个复数当且仅当其和为实数时，互为共轭复数；③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；④任何纯虚数的平方都是负实数．其中错误命题的序号是________．‎ 答案　①②③‎ 解析　①实数与虚数不能比较大小；②两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数；③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1是错误的，因为没有表明x，y是否是实数；④若z＝bi(b≠0)为纯虚数，则z2＝－b2＜0，故①②③均是错误命题，④是正确的．‎ ‎15．若＝1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________.‎ 答案　 解析　∵a，b∈R，且＝1－bi，则a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i，∴∴∴|a＋bi|＝|2－i|＝＝.‎ ‎16．已知z0＝2＋2i，|z＋z0|＝，当z＝________时，|z|有最小值，最小值为________．‎ 答案　－1－i　 解析　因为|z＋z0|＝，所以复数z所对应的点Z在以C(－2，－2)为圆心，半径为的圆上，由几何图形知|z|的最小值为－＝，此时，点Z是线段OC与圆的交点，线段OC的方程是y＝x(－2≤x≤0)，圆的方程是(x＋2)2＋(y＋2)2＝2，‎ 联立方程组解得 所以复数z＝－1－i.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分)‎ ‎17．(本小题满分10分)已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i，求满足下列条件的实数m的值或取值范围．‎ ‎(1)复数z与复数2－12i相等；‎ ‎(2)复数z与复数12＋16i互为共轭复数；‎ ‎(3)复数z在复平面内对应的点在x轴上方．‎ 解　(1)根据复数相等的充要条件，得 解得m＝－1.‎ ‎(2)根据共轭复数的定义，得 解得m＝1.‎ ‎(3)由题意，知m2－2m－15＞0，解得m＜－3或m＞5，‎ 故实数m的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．‎ ‎18．(本小题满分12分)设复数z＝(a2＋a－2)＋(a2－7a＋6)i，其中a∈R，当a取何值时，(1)z∈R；(2)z是纯虚数；(3)z是零．‎ 解　(1)z∈R，只需a2－7a＋6＝0，‎ 所以a＝1或a＝6.‎ ‎(2)z是纯虚数，只需所以a＝－2.‎ ‎(3)因为z＝0，所以所以a＝1.‎ ‎19．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝1＋3i－z，求的值．‎ 解　设z＝a＋bi(a，b∈R)．‎ ‎∵|z|＝1＋3i－z，‎ ‎∴－1－3i＋a＋bi＝0，‎ 即 解得∴z＝－4＋3i，‎ ‎∴＝＝＝3＋4i.‎ ‎20．(本小题满分12分)已知z＝1＋i，若＝1－i，求实数a，b的值．‎ 解　∵z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b ‎＝a＋b＋(2＋a)i，‎ z2－z＋1＝(1＋i)2－(1＋i)＋1＝i，‎ ‎∴＝(2＋a)－(a＋b)i＝1－i.‎ ‎∴解得 ‎21．(本小题满分12分)已知x2－(3－2i)x－6i＝0.‎ ‎(1)若x∈R，求x的值；‎ ‎(2)若x∈C，求x的值．‎ 解　(1)x∈R时，由方程得 ‎(x2－3x)＋(2x－6)i＝0.‎ 则得x＝3.‎ ‎(2)x∈C时，设x＝a＋bi(a、b∈R)代入方程整理，得(a2－b2－3a－2b)＋(2ab－3b＋2a－6)i＝0.‎ 则 得或 故x＝3或x＝－2i.‎ ‎22．(本小题满分12分)已知z＝m＋3＋3i，其中m∈C，且为纯虚数．‎ ‎(1)求m对应点的轨迹；‎ ‎(2)求|z|的最大值、最小值．‎ 解　(1)设m＝x＋yi(x，y∈R)，则 ＝＝，‎ ‎∵为纯虚数，∴ 即 ‎∴m对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为3的圆，除去(－3,0)，(3,0)两点．‎ ‎(2)由(1)知|m|＝3，由已知m＝z－(3＋3i)，‎ ‎∴|z－(3＋3i)|＝3.‎ ‎∴z所对应的点Z在以(3,3)为圆心，以3为半径的圆上．‎ 由图形可知|z|的最大值为|3＋3i|＋3＝9；‎ 最小值为|3＋3i|－3＝3.‎