2020-2021学年北师大版数学必修4课时作业：第一章　三角函数 单元质量评估2 10页

第一章单元质量评估(二) 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题(本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分，在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．已知角 x的终边上一点坐标为(sin5π 6 ，cos5π 6 )，则 tanx的值为 ( B ) A. 3 B．－ 3 C. 3 3 D．－ 3 3 解析：∵sin5π 6 ＝sin(π－π 6 )＝sinπ 6 ＝ 1 2 ，cos5π 6 ＝cos(π－π 6 )＝－cosπ 6 ＝ － 3 2 ，∴角 x的终边经过点(1 2 ，－ 3 2 )，根据正切函数的定义可知 tanx ＝－ 3. 2．在下列给出的函数中，以π为周期且在 0，π 2 内是增函数的是 ( D ) A．y＝sinx 2 B．y＝cos2x C．y＝sin 2x＋π 4 D．y＝tan x－π 4 解析：由函数周期为π可排除 A.x∈ 0，π 2 时，2x∈(0，π)，2x＋ π 4 ∈ π 4 ， 5 4 π ，此时 B、C中函数均不是增函数．故选 D. 3．为了得到函数 y＝sin(2x－π 3 )的图像，只需把函数 y＝sin2x的 图像上所有的点( D ) A．向左平行移动 π 3 个单位长度 B．向右平行移动 π 3 个单位长度 C．向左平行移动 π 6 个单位长度 D．向右平行移动 π 6 个单位长度 解析：由题意，为了得到函数 y＝sin(2x－π 3 )＝sin[2(x－π 6 )]的图像， 只需把函数 y＝sin2x的图像上所有的点向右平行移动 π 6 个单位长度． 4．若函数 y＝2cos(2x＋φ)是奇函数，且在 0，π 4 上是增函数，则 实数φ可能是( A ) A．－ π 2 B．0 C.π 2 D．π 解析：∵函数 y＝2cos(2x＋φ)是奇函数，∴φ＝kπ＋π 2 ，k∈Z， 又∵函数 y＝2cos(2x＋φ)在 0，π 4 上是增函数，∴取 φ，π 2 ＋φ ⊆ [－π，0]，可得φ＝－ π 2 ，故应选 A. 5.已知ω>0，|φ|<π 2 ，函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图像如图所示， 为了得到函数 g(x)＝sinωx的图像，只要将 f(x)的图像( B ) A．向右平移 π 4 个单位长度 B．向右平移 π 8 个单位长度 C．向左平移 π 4 个单位长度 D．向左平移 π 8 个单位长度 解析：由图像知函数 f(x)的周期 T＝4 5π 8 － 3π 8 ＝π，所以 2π ω ＝ π(ω>0)，解得ω＝2.因为函数 f(x)过点 5π 8 ，－1 ，所以 sin 2×5π 8 ＋φ ＝ －1.因为|φ|<π 2 ，所以φ＝π 4 ，即函数 f(x)＝sin 2x＋π 4 .要得到函数 g(x) ＝sin2x，只需将函数 f(x)的图像向右平移 π 8 个单位长度．故选 B. 6．设 x1，x2为函数 f(x)＝sin(ωx－π 6 )(ω>0)的两个零点，且|x2－x1| 的最小值为 1，则ω＝( A ) A．π B.π 2 C.π 3 D．π 4 解析：设函数 f(x)的最小正周期为 T，则由题意得 T 2 ＝1，解得 T ＝2，∴ 2π ω ＝2，解得ω＝π. 7．若函数 f(x)＝2cosωx在区间[0，2π 3 ]上递减，且有最小值 1， 则ω的值可以是( B ) A．2 B.1 2 C．3 D．1 3 解析：因为函数 f(x)＝2cosωx在区间[0，2π 3 ]上递减，且有最小值 1，所以 f(2π 3 )＝1，即 2cos2π 3 ω＝1，cos2π 3 ω＝1 2 ，逐一检验各选项只有 B符合． 8．若 sinα－2cosα＝ 5，则 tanα＝( C ) A.1 2 B．2 C．－ 1 2 D．－2 解析：∵ sinα－2cosα＝ 5，∴ sinα>2cosα且 sin2α＋4cos2α－ 4sinαcosα＝5，即得 sin2α＋4cos2α－4sinαcosα sin2α＋cos2α ＝5，∴tan2α－4tanα＋4 tan2α＋1 ＝ 5，整理可得 4tan2α＋4tanα＋1＝0，解得 tanα＝－ 1 2 ，故应选 C. 9．定义新运算“*”：a*b＝ aa≤b， ba>b， 例如 1]( A ) A．[－1， 2 2 ] B．[0， 2 2 ] C．[－1， 2] D．[－ 2 2 ， 2 2 ] 解析：由题意知 f(x)＝ sinxsinx≤cosx， cosxsinx>cosx， 画出函数在一个周期 上的图像如图，可知 A正确． 10．定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝f(x＋2)，当 x∈[1,3]时，f(x) ＝2－|x－2|，则( B ) A．f sinπ 3 >f sinπ 6 B．f sin2π 3 sin π 3 >sin π 6 >0 知 f sinπ 3 f cosπ 4 ， 0f tanπ 4 .由于 f 3 2 0， 解得 2kπ＋π 6 0 时， f(x)max＝2a＋b＝1， f(x)min＝－ 3a＋b＝－5.由 2a＋b＝1， － 3a＋b＝－5， 解得 a＝12－6 3， b＝－23＋12 3. 当 a<0 时， f(x)max＝－ 3a＋b＝1， f(x)min＝2a＋b＝－5.由 － 3a＋b＝1， 2a＋b＝－5， 解得 a＝－12＋6 3， b＝19－12 3. 18．(本小题 12分)已知函数 f(x)＝3sin ωx＋π 4 (ω>0，x∈R)的最 小正周期为 2π 3 . (1)求 f(x)的解析式； (2)已知 f 2 3 α＋ π 12 ＝－ 3 2 2，0<α<π 2 ，求角α的大小． 解：(1)∵函数 f(x)＝3sin(ωx＋π 4 )的最小正周期为 2π 3 ，∴ω＝3.∴f(x) ＝3sin 3x＋π 4 . (2)∵ f 2 3 α＋ π 12 ＝－ 3 2 2，则由 (1)知 3sin 3 2 3 α＋ π 12 ＋ π 4 ＝ 3sin 2α＋π 2 ＝3cos2α＝－ 3 2 2，∴cos2α＝－ 2 2 ， 又∵0<α<π 2 ，∴0<2α<π，∴2α＝3 4 π.∴α＝3 8 π. 19．(本小题 12分)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π 2 ) 的部分图像如图所示． (1)试确定 f(x)的解析式； (2)若 f( α 2π )＝1 2 ，求 cos(2π 3 ＋ α 2 )的值． 解：(1)由题图可知 A＝2，T 4 ＝ 5 6 － 1 3 ＝ 1 2 ，则 T＝2，ω＝2π T ＝π. 将点(1 3 ，2)代入 f(x)＝2sin(πx＋φ)，得 sin(π 3 ＋φ)＝1，又|φ|<π 2 ，所 以φ＝π 6 .故 f(x)的解析式为 f(x)＝2sin(πx＋π 6 )(x∈R)． (2)因为 f( α 2π )＝1 2 ，即 2sin(α 2 ＋ π 6 )＝1 2 ，即 sin(α 2 ＋ π 6 )＝1 4 ，所以 cos(2π 3 ＋ α 2 )＝cos(π 2 ＋ π 6 ＋ α 2 )＝－sin(π 6 ＋ α 2 )＝－ 1 4 . 20．(本小题 13分)如果关于 x的方程 sin2x－(2＋a)·sinx＋2a＝0 在 x∈ － π 6 ， 5π 6 上有两个实数根，求实数 a的取值范围． 解：sin2x－(2＋a)sinx＋2a＝0，即(sinx－2)(sinx－a)＝0.∵sinx－ 2≠0，∴sinx＝a，即求在 x∈ － π 6 ， 5π 6 上 sinx＝a有两根时 a的范围．由 y＝sinx，x∈ － π 6 ， 5π 6 与 y＝a的图像知 1 2 ≤a<1.故实数 a的取值范围 是 1 2 ，1 . 21．(本小题 14分)已知函数 f(x)＝ 2cos(2x－π 4 )，x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数 f(x)在区间[－π 8 ， π 2 ]上的最小值和最大值，并求出取得 最值时自变量 x的值． 解：(1)因为 f(x)＝ 2cos(2x－π 4 )，所以函数 f(x)的最小正周期为 T ＝ 2π 2 ＝π.由－π＋2kπ≤2x－π 4 ≤2kπ(k∈Z)，得－ 3π 8 ＋kπ≤x≤π 8 ＋kπ(k ∈Z)，故函数 f(x)的单调递增区间为[－3π 8 ＋kπ，π 8 ＋kπ](k∈Z)． (2)因为 f(x)＝ 2cos(2x－π 4 )在区间[－π 8 ， π 8 ]上为增函数，在区间[π 8 ， π 2 ]上为减函数，又 f(－π 8 )＝0，f(π 8 )＝ 2，f(π 2 )＝ 2cos(π－π 4 )＝－ 2cosπ 4 ＝－1，故函数 f(x)在区间[－π 8 ， π 2 ]上的最大值为 2，此时 x＝π 8 ；最小 值为－1，此时 x＝π 2 .