高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三) 8页

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三) 明目标、知重点 1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅 限于形如 f(ax＋b)的导数)． 1．概念 一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么 称这个函数为 y＝f(u)和 u＝g(x)的复合函数，记作 y＝f(g(x))． 2．复合函数的求导法则 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′.即 y 对 x 的导数是 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积． 探究点一 复合函数的定义 思考 1 观察函数 y＝2xcos x 及 y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数 组成的？ 答 y＝2xcos x是由u＝2x及v＝cos x 相乘得到的；而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln u(x> －2)经过“复合”得到的，即 y 可以通过中间变量 u 表示为自变量 x 的函数．所以它们称为 复合函数． 思考 2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？ 答 复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里出 发，先根据最外层的主体函数结构找出 y＝f(u)；再根据内层的主体函数结构找出函数 u＝ g(x)，函数 y＝f(u)和 u＝g(x)复合而成函数 y＝f(g(x))． 思考 3 在复合函数中，内层函数的值域 A 与外层函数的定义域 B 有何关系？ 答 A⊆B. 小结 要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量， 将其分拆成几个基本初等函数的方法． 例 1 指出下列函数是怎样复合而成的： (1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)； (3)y＝cos 3x. 解 (1)y＝(3＋5x)2 是由函数 y＝u2，u＝3＋5x 复合而成的； (2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数 y＝log3u，u＝x2－2x＋5 复合而成的； (3)y＝cos 3x 是由函数 y＝cos u，u＝3x 复合而成的． 小结 分析函数的复合过程主要是设出中间变量 u，分别找出 y 和 u 的函数关系，u 和 x 的函 数关系． 跟踪训练 1 指出下列函数由哪些函数复合而成： (1)y＝ln x；(2)y＝esin x；(3)y＝cos ( 3x＋1)． 解 (1)y＝ln u，u＝ x； (2)y＝eu，u＝sin x； (3)y＝cos u，u＝ 3x＋1. 探究点二 复合函数的导数 思考 如何求复合函数的导数？ 答 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合 关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将 中间变量换成自变量．注意不要漏掉第(3)步回代的过程． 例 2 求下列函数的导数： (1)y＝(2x－1)4；(2)y＝ 1 1－2x ； (3)y＝sin(－2x＋π 3 )；(4)y＝102x＋3. 解 (1)原函数可看作 y＝u4，u＝2x－1 的复合函数，则 yx′＝yu′·ux′＝(u4)′·(2x－1)′ ＝4u3·2＝8(2x－1)3. (2)y＝ 1 1－2x ＝(1－2x)－1 2 可看作 y＝u－1 2 ，u＝1－2x 的复合函数，则 yx′＝yu′·ux′＝(－ 1 2 )u－3 2 ·(－2)＝(1－2x)－3 2 ＝ 1 1－2x 1－2x ； (3)原函数可看作 y＝sin u，u＝－2x＋π 3 的复合函数， 则 yx′＝yu′·ux′＝cos u·(－2)＝－2cos(－2x＋π 3 ) ＝－2cos(2x－π 3 )． (4)原函数可看作 y＝10u，u＝2x＋3 的复合函数， 则 yx′＝yu′·ux′＝102x＋3·ln 10·2＝(ln 100)102x＋3. 反思与感悟 分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子 暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数． 复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式， 从外层开始由外及内逐层求导． 跟踪训练 2 求下列函数的导数． (1)y＝(2x＋3)3； (2)y＝e－0.05x＋1； (3)y＝sin(πx＋φ)． 解 (1)函数 y＝(2x＋3)2 可以看成函数 y＝u2，u＝2x＋3 的复合函数． ∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(2x＋3)′＝2u·2＝4(2x＋3)＝8x＋12. (2)函数 y＝e－0.05x＋1 可以看成函数 y＝eu 和函数 u＝－0.05x＋1 的复合函数． ∴yx′＝yu′·ux′＝(eu)′·(－0.05x＋1)′＝－0.05eu＝－0.05 e－0.05x＋1. (3)函数 y＝sin(πx＋φ)可以看成函数 y＝sin u，u＝πx＋φ的复合函数． ∴yx′＝yu′·ux′＝(sin u)′·(πx＋φ)′＝cos u·π ＝π cos(πx＋φ)． 探究点三 导数的应用 例 3 求曲线 y＝e2x＋1 在点(－1 2 ，1)处的切线方程． 解 ∵y′＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1， ∴y′| 1 2x ＝2， ∴曲线 y＝e2x＋1 在点(－1 2 ，1)处的切线方程为 y－1＝2(x＋1 2 )， 即 2x－y＋2＝0. 反思与感悟 求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意“在某点处的切线”与 “过某点的切线”两种不同的说法． 跟踪训练 3 曲线 y＝esin x 在(0,1)处的切线与直线 l 平行，且与 l 的距离为 2，求直线 l 的 方程． 解 设 u＝sin x，则 y′＝(esin x)′＝(eu)′(sin x)′. ＝cos xesin x. y′|x＝0＝1. 则切线方程为 y－1＝x－0， 即 x－y＋1＝0. 若直线 l 与切线平行可设直线 l 的方程为 x－y＋c＝0. 两平行线间的距离 d＝|c－1| 2 ＝ 2⇒c＝3 或 c＝－1. 故直线 l 的方程为 x－y＋3＝0 或 x－y－1＝0. 1．函数 y＝(3x－2)2 的导数为( ) A．2(3x－2) B．6x C．6x(3x－2) D．6(3x－2) 答案 D 解析 y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)． 2．若函数 y＝sin2x，则 y′等于( ) A．sin 2x B．2sin x C．sin xcos x D．cos2x 答案 A 解析 y′＝2sin x·(sin x)′ ＝2sin x·cos x＝sin 2x. 3．若 y＝f(x2)，则 y′等于( ) A．2xf′(x2) B．2xf′(x) C．4x2f(x) D．f′(x2) 答案 A 解析 设 x2＝u，则 y′＝f′(u)·ux′ ＝f′(x2)·(x2)′＝2xf′(x2)． 4．设曲线 y＝eax 在点(0,1)处的切线与直线 x＋2y＋1＝0 垂直，则 a＝________. 答案 2 解析 由题意知 y′|x＝0＝aeax|x＝0＝a＝2. 呈重点、现规律] 求简单复合函数 f(ax＋b)的导数 求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数 y＝f(u)， u＝ax＋b 的形式，然后再分别对 y＝f(u)与 u＝ax＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应 用整体思想把函数化为 y＝f(u)，u＝ax＋b 的形式是关键. 一、基础过关 1．下列函数不是复合函数的是( ) A．y＝－x3－1 x ＋1 B．y＝cos(x＋π 4 ) C．y＝ 1 ln x D．y＝(2x＋3)4 答案 A 解析 A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数 u＝x＋π 4 ，y＝cos u 的复合函 数，C 中的函数可看作函数 u＝ln x，y＝1 u 的复合函数，D 中的函数可看作函数 u＝2x＋3，y ＝u4 的复合函数，故选 A. 2．函数 y＝ 1 3x－12的导数是( ) A. 6 3x－13 B. 6 3x－12 C．－ 6 3x－13 D．－ 6 3x－12 答案 C 解析 y′＝ 1 3x－12]′＝ －2 3x－13·(3x－1)′＝ －6 3x－13，故选 C. 3．若 f(x)＝log3(x－1)，则 f′(2)＝________. 答案 1 ln 3 解析 f′(x)＝log3(x－1)]′＝ 1 x－1ln 3 ， ∴f′(2)＝ 1 ln 3 . 4．函数 y＝x2cos 2x 的导数为( ) A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x 答案 B 解析 y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′ ＝2xcos 2x＋x2·(－2sin 2x) ＝2xcos 2x－2x2sin 2x. 5．函数 y＝(2 015－8x)3 的导数 y′＝________. 答案 －24(2 015－8x)2 解析 y′＝3(2 015－8x)2×(2 015－8x)′＝3(2 015－8x)2×(－8)＝－24(2 015－8x)2. 6．曲线 y＝cos(2x＋π 6 )在 x＝π 6 处切线的斜率为______． 答案 －2 解析 ∵y′＝－2sin(2x＋π 6 )， ∴切线的斜率 k＝－2sin(2×π 6 ＋π 6 )＝－2. 7．函数 y＝x(1－ax)2(a>0)，且 y′|x＝2＝5，则实数 a 的值为________． 答案 1 解析 y′＝(1－ax)2＋x(1－ax)2]′ ＝(1－ax)2＋x2(1－ax)(－a)] ＝(1－ax)2－2ax(1－ax)． 由 y′|x＝2＝(1－2a)2－4a(1－2a) ＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得 a＝1. 二、能力提升 8．已知直线 y＝x＋1 与曲线 y＝ln(x＋a)相切，则 a 的值为( ) A．1 B．2 C．－1 D．－2 答案 B 解析 设直线 y＝x＋1 切曲线 y＝ln(x＋a)于点(x0，y0)，则 y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)， 又 y′＝ 1 x＋a ，∴y′|x＝x0＝ 1 x0＋a ＝1， 即 x0＋a＝1. 又 y0＝ln(x0＋a)， ∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2. 9．曲线 y＝ 1 2e x 在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.9 2 e2 B．4e2 C．2e2 D．e2 答案 D 解析 ∵y′＝ 1 2e x ·1 2 ，∴y′|x＝4＝1 2 e2. ∴曲线在点(4，e2)处的切线方程为 y－e2＝1 2 e2(x－4)， 切线与坐标轴的交点分别是(0，－e2)，(2,0)， 则切线与坐标轴围成的三角形面积 S＝1 2 |－e2||2|＝e2. 10．若 f(x)＝(2x＋a)2，且 f′(2)＝20，则 a＝________. 答案 1 解析 f′(x)＝2(2x＋a)·2＝4(2x＋a)，f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1. 11．已知 a>0，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，l 是曲线 y＝f(x)在点 P(0，f(0))处的切线．求 切线 l 的方程． 解 f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，f(0)＝1. ∴f′(x)＝2ax－2＋ 1 x＋1 ＝2ax2＋2a－2x－1 x＋1 ， f′(0)＝－1， ∴切点 P 的坐标为(0,1)，l 的斜率为－1， ∴切线 l 的方程为 x＋y－1＝0. 12．有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离 s(单位：m)关于时间 t(单位： s)的函数为 s＝s(t)＝5－ 25－9t2.求函数在 t＝ 7 15 s 时的导数，并解释它的实际意义． 解 函数 s＝5－ 25－9t2可以看作函数 s＝5－ x和 x＝25－9t2 的复合函数，其中 x 是中间变 量． 由导数公式表可得 sx′＝－1 2 1 2x  ，xt′＝－18t. 故由复合函数求导法则得 st′＝sx′·xt′ ＝(－1 2 1 2x  )·(－18t)＝ 9t 25－9t2 ， 将 t＝ 7 15 代入 s′(t)，得 s′( 7 15 )＝0.875 (m/s)． 它表示当 t＝ 7 15 s 时，梯子上端下滑的速度为 0.875 m/s. 三、探究与拓展 13．曲线 y＝e2x·cos 3x 在(0,1)处的切线与直线 l 的距离为 5，求直线 l 的方程． 解 y′＝(e2x)′·cos 3x＋e2x·(cos 3x)′ ＝2e2x·cos 3x－3e2x·sin 3x， ∴y′|x＝0＝2. ∴经过点(0,1)的切线方程为 y－1＝2(x－0)， 即 y＝2x＋1. 设适合题意的直线方程为 y＝2x＋b， 根据题意，得 5＝|b－1| 5 ， ∴b＝6 或－4. ∴适合题意的直线方程为 y＝2x＋6 或 y＝2x－4.