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- 2021-06-17 发布
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1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
学习目标:1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系,培养学生的观察力和归纳推理能力.(重点)2.理解和掌握二项式系数的性质,并会简单应用.(难点)3.理解和初步掌握赋值法及其应用.(重点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1.杨辉三角的特点
(1)在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等.
(2)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,即C=C+C.
2.二项式系数的性质
(1)对称性:在(a+b)n的展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即C=C,C=C,…,C=C.
(2)增减性与最大值:当k<时,二项式系数是逐渐增大的.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值.当n是偶数时,中间一项的二项式系数C取得最大值;当n是奇数时,中间两项的二项式系数C与C相等,且同时取得最大值.
3.各二项式系数的和
(1)C+C+C+…+C=2n;
(2)C+C+C+…=C+C+C+…=2n-1.
[基础自测]
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列. ( )
(2)二项展开式的二项式系数和为C+C+…+C. ( )
(3)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同. ( )
[解析] (1)√ 由杨辉三角可知每一斜行数字的差成一个等差数列,故正确.
(2)× 二项展开式的二项式系数的和应为C+C+C+…+C=2n.
(3)× 二项式系数最大项不一定是二项式系数最大的项,只有当二项式系数与各项系数相等时,二者才一致.
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2.(1-2x)15的展开式中的各项系数和是( )
【导学号:95032084】
A.1 B.-1
C.215 D.315
B [令x=1即得各项系数和,∴和为-1.]
7
3.在(a+b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是( )
A.第8项 B.第7项
C.第9项 D.第10项
C [由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等.]
4.(1-x)4的展开式中各项的二项式系数分别是( )
【导学号:95032085】
A.1,4,6,4,1
B.1,-4,6,-4,1
C.(-1)rC(r=0,1,2,3)
D.(-1)rC(r=0,1,2,3,4)
A [杨辉三角第4行的数字即为二项式系数.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
“杨辉三角”的应用
如图131,在“杨辉三角”中斜线AB的上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,….记其前n项和为Sn,求S19的值.
图131
[思路探究] 由图知,数列中的首项是C,第2项是C,第3项是C,第4项是C,…,第17项是C,第18项是C,第19项是C.
[解] S19=(C+C)+(C+C)+(C+C)+…+(C+C)+C=(C+C+C+…+C)+(C+C+…+C+C)=(2+3+4+…+10)+C=+220=274.
[规律方法] “杨辉三角”问题解决的一般方法
观察—分析;试验—猜想;结论—证明,要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律,取决于我们的观察能力,观察能力有:横看、竖看、斜看、连续看、隔行看,从多角度观察.如表所示:
7
[跟踪训练]
1.将全体正整数排成一个三角形数阵:
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……
按照以上排列的规律,第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________.
[前n-1行共有正整数[1+2+…+(n-1)]个,即个,因此第n行第3个数是全体正整数中第个,即为.]
求展开式的系数和
设(1-2x)2 018=a0+a1x+a2x2+…+a2 018·x2 018(x∈R).
(1)求a0+a1+a2+…+a2 018的值;
(2)求a1+a3+a5+…+a2 017的值;
(3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 018|的值.
【导学号:95032086】
[思路探究] 先观察所求式子与展开式各项的特点,利用赋值法求解.
[解] (1)令x=1,得
a0+a1+a2+…+a2 018=(-1)2 018=1. ①
(2)令x=-1,得a0-a1+a2-…-a2 017+a2 018=32 018. ②
①-②得
2(a1+a3+…+a2 017)=1-32 018,
7
∴a1+a3+a5+…+a2 017=.
(3)∵Tr+1=C(-2x)r=(-1)r·C ·(2x)r,
∴a2k-1<0(k∈N*),a2k>0(k∈N).
∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2 017|
=a0-a1+a2-a3+…-a2 017+a2018=32 018.
[规律方法]
1.解决二项式系数和问题思维流程.
2.对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
3.一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),
奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,
偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.
[跟踪训练]
2.已知(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,求:
(1)a0+a1+a2+a3+a4;
(2)(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2.
[解] (1)由(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,
令x=1得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4,
所以a0+a1+a2+a3+a4=1.
(2)在(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中,
令x=1得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4, ①
令x=-1得(-2-3)4=a0-a1+a2-a3+a4. ②
所以(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2
=(a0-a1+a2-a3+a4)(a0+a1+a2+a3+a4)
=(-2-3)4(2-3)4=(2+3)4(2-3)4=625.
7
二项式系数性质的应用
[探究问题]
1.根据杨辉三角的特点,在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等,你可以得到二项式系数的什么性质?
[提示] 对称性,因为C=C,也可以从f(r)=C的图象中得到.
2.计算,并说明你得到的结论.
[提示] =.
当k<时,>1,说明二项式系数逐渐增大;
同理,当k>时,二项式系数逐渐减小.
3.二项式系数何时取得最大值?
[提示] 当n是偶数时,中间的一项取得最大值;当n是奇数时,中间的两项C,C相等,且同时取得最大值.
已知f(x)=(+3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中系数最大的项.
【导学号:95032087】
[思路探究] 求二项式系数最大的项,利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项;求展开式中系数最大的项,必须将x,y的系数均考虑进去,包括“+”“-”号.
[解] 令x=1,则二项式各项系数的和为f(1)=(1+3)n=4n,又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知,4n-2n=992.
∴(2n)2-2n-992=0,
∴(2n+31)(2n-32)=0,
∴2n=-31(舍去)或2n=32,∴n=5.
(1)由于n=5为奇数,∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项,它们分别是
T3=C(x)3(3x2)2=90x6,
T4=C(x)2(3x2)3=270x.
(2)展开式的通项公式为Tr+1=C3r·x.
假设Tr+1项系数最大,
7
则有
∴
∴
∴≤r≤,∵r∈N,∴r=4.
∴展开式中系数最大的项为T5=Cx(3x2)4=405x.
[规律方法]
1.求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.
2.求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况,一般采用列不等式组,解不等式的方法求得.
[跟踪训练]
3.(1+2x)n的展开式中第6项和第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
[解] T6=C(2x)5,T7=C(2x)6,
依题意有C25=C·26⇒n=8,
∴(1+2x)8的展开式中,二项式系数最大的项为
T5=C·(2x)4=1 120x4.
设第r+1项系数最大,则有
∵r∈{0,1,2,…,8},
∴r=5或r=6.
∴系数最大的项为T6=1 792x5,T7=1 792x6.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1.已知(a+b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n等于( )
A.11 B.10
C.9 D.8
D [第5项的二项式系数最大,故展开式为9项,∴n=8.]
2.在(x+y)n展开式中第4项与第8项的系数相等,则展开式中系数最大的项是( )
【导学号:95032088】
A.第6项 B.第5项
C.第5、6项 D.第6、7项
A [因为C=C,所以n=10,系数最大的项即为二项式系数最大的项.]
7
3.若(x+3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a+b)10的展开式中二项式系数的和,则n的值为________.
5 [(7a+b)10的展开式中二项式系数的和为C+C+…+C=210,令(x+3y)n中x=y=1,则由题设知,4n=210,即22n=210,解得n=5.]
4.(2x-1)6展开式中各项系数的和为________;各项的二项式系数和为________.
【导学号:95032089】
1 64 [在二项式中,令x=1,得各项系数和为1;各项的二项式系数之和为26=64.]
5.已知(a-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,若a2=80,求a0+a1+a2+…+a5的值.
[解] (a-x)5展开式的通项为Tk+1=
(-1)kCa5-kxk,令k=2,得a2=(-1)2Ca3=80,
解得a=2,即(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,
令x=1,得a0+a1+a2+…+a5=1.
所以a0+a1+a2+…+a5=1.
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