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- 2021-06-17 发布
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备课资料
一、正、余弦定理的边角互换功能
对于正、余弦定理,同学们已经开始熟悉,在解三角形的问题中常会用到它,其实,在涉及到三角形的其他问题中,也常会用到它们.两个定理的特殊功能是边角互换,即利用它们可以把边的关系转化为角的关系,也可以把角的关系转化为边的关系,从而使许多问题得以解决.
【例1】已知A、B为△ABC的边,A、B分别是A、B的对角,且求的值.
解:∵,
∴.
又 (这是角的关系),
∴ (这是边的关系).于是,由合比定理得
.
【例2】已知△ABC中,三边A、B、C所对的角分别是A、B、C,且a、b、c成等差数列.
求证:sinA+sinC=2sinB.
证明:∵a、b、c成等差数列,
∴a+c=2B(这是边的关系).①
又,
∴,②
.③
将②③代入①,得=2B.
整理得sinA+sinC=2sinB(这是角的关系).
二、正、余弦定理的巧用
某些三角习题的化简和求解,若能巧用正、余弦定理,则可避免许多繁杂的运算,从而使问题较轻松地获得解决,现举例说明如下:
【例3】求sin220°+cos280°+sin20°cos80°的值.
解:原式=sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°,
∵20°+10°+150°=180°,
∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角.
设这三个内角所对的边依次是A、B、C,由余弦定理得a2+b2-2abcos150°=C2.(*)
而由正弦定理知A=2Rsin20°,B=2Rsin10°,C=2Rsin150°,
代入(*)式得sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°=sin2150°=.
∴原式=.
三、构造正三角
通常,我们使用标尺作正三角形.以标尺作正三角形,只需相异两点A、B,再配合工具即可.分别以A、B点为圆心,AB长为半径作圆,两圆相交于C点,△ABC就是正三角形了.因为,圆A中,AB=AC(半径);而且圆B中,BA=BC(半径),所以AB=BA=AC.(参见上图)
如果没了圆规,我们要如何作出正三角形呢?再者连标尺也没了,那么万能的双手又要如何作出正三角形呢?这时我们可以考虑折纸来协助完成.取适当大小的矩形纸张,先对折,取得一边的中垂线;再以A点为基点,将此边向内翻折,并使得顶点落在中垂线上B点;最后再将B点和A、C点连成三角形(参见右图),就是正三角形了.因为,AC=AB,又B点在中垂线上,所以,BA=BC,因此,AB=BC=CA.
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