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- 2021-06-17 发布
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3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1.设点P(-4,2),Q(6,-4),R(12,6),S(2,12),下面四个结论:
①PQ∥SR;②PQ⊥PS;③PS∥QS;④RP⊥QS.
正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:由斜率公式知
kPQ==-,kSR==-,
kPS==,kQS==-4,
kPR==,∴PQ∥SR,PS⊥PQ,RP⊥QS.
而kPS≠kQS,所以PS与QS不平行,故①②④正确,选C.
答案:C
2.给定三点A(1,0)、B(-1, 0)、C(1,2),则过A点且与直线BC垂直的直线经过点( )
A.(0,1) B.(0,0) C.(-1,0) D.(0,-1)
解析:∵kBC==1,
∴过A点且与直线BC垂直的直线的斜率为-1.
又∵k==-1,∴直线过点(0,1).
答案:A
3.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.以A点为直角顶点的直角三角形
D.以B点为直角顶点的直角三角形
解析:如图所示,
易知kAB==-,
kAC==,
5
由kAB·kAC=-1知三角形是以A点为直角顶点的直角三角形.
答案:C
4.若直线l1的斜率k1=,直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a2+1),且l1⊥l 2,则实数a的值为( )
A.1 B.3 C.0或1 D.1或3
解析:∵l1⊥l2,∴k1·k2=-1,
即×=-1,解得a=1或a=3.
答案:D
5.已知点A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以A,B,C,D为顶点的四边形是( )
A.梯形 B.平行四边形
C.菱形 D.矩形
解析:如图所示,易知kAB=-,kBC=0,kCD=-,kAD=0,kBD=-,kAC=,所以 kAB=kCD,kBC=kAD,kAB·kAD=0,kAC·kBD=-,故AD∥BC,AB∥CD,AB与AD不垂直,BD与AC不垂直,所以四边形ABCD为平行四边形.
答案:B
6.已知直线l1的斜率为3,直线l2经过点A(1,2),B(2,a),若直线l1∥l2,则a=__________;若直线l1⊥l2,则a=__________.
解析:l1∥l2时,=3,则a=5;l1⊥l2时,=-,则a=.
答案:5
7.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-4k+m=0的两根,若l1⊥l2,则m=________.若l1∥l2,则m=________.
解析:由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2=,
若l1⊥l2,则=-1,∴m=-2.
若l1∥l2则k1=k2,即关于k的二次方程
2k2-4k+m=0有两个相等的实根,
∴Δ=(-4)2-4×2×m=0,∴m=2.
答案:-2 2
8.已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点,若点D使直线BC∥AD,直线AB⊥CD,则点D
5
的坐标是________.
解析:设D(x,y),由BC∥AD,得=,①
由AB⊥CD,得×=-1,②
∴由①②解得x=0,y=1.
答案:(0,1)
9.已知A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2),若直线AB⊥CD,求m的值.
解析:因为A,B两点的纵坐标不相等,
所以AB与x轴不平行.
因为AB⊥CD,所以CD与x轴不垂直,
所以-m≠3,即m≠-3.
当AB与x轴垂直时,-m-3=-2m-4,解得m=-1.
当m=-1时,C,D两点的纵坐标均为-1,
则CD∥x轴,此时AB⊥CD,满足题意.
当AB与x轴不垂直时,由斜率公式,得
kAB==,
kCD==.
因为AB⊥CD,所以kAB·kCD=-1,
即·=-1,解得m=1.
综上,m的值为1或-1.
10.已知△ABC的顶点分别为A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC为直角三角形,求m的值.
解析:若∠A为直角,则AC⊥AB,
∴kAC·kAB=-1,即×=-1,解得m=-7;
若∠B为直角,则AB⊥BC,
∴kAB·kBC=-1,即×=-1,
解得m=3;
若∠C为直角,则AC⊥BC,
∴kAC·kBC=-1,即×=-1,解得m=±2.
5
综上,m的值为-7,-2,2或3.
[B组 能力提升]
1.已知直线l1和l2互相垂直且都过点A(1,1),若l1过原点O(0,0),则l2与y轴交点的坐标为( )
A.(2,0) B.(0,2) C.(0,1) D.(1,0)
解析:l1的斜率为k1=1,设l2与y轴的交点为(0,y),
∴l2的斜率k2==-1,
∴y=2,∴l2与y轴的交点为(0,2).
答案:B
2.过点A,B(7,0)的直线l1与过点C(2,1),D(3,k+1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数k等于( )
A.-3 B.3 C.-6 D.6
解析:如图所示,∵圆的内接四边形对角互补,
∴l1和l2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则l1⊥l2,∴k1k2=-1.
∵k1==-,
k2==k,∴k=3.
答案:B
3.点A是x轴上的动点,一条直线过点M(2,3),垂直于MA,交y轴于点B,过点A,B分别作x轴、y轴的垂线交于点P,则点P的坐标(x,y)满足的关系式是________.
解析:∵PA⊥x轴,PB⊥y轴,P(x,y),∴A(x,0),B(0,y).由MA⊥MB,∴kMA·kMB=-1,即·=-1(x≠2),化简,得2x+3y-13=0.当x=2时,点P与点M重合,点P(2,3)的坐标也满足方程2x+3y-13=0,所以P(x,y)满足的关系式为2x+3y-13=0.
答案:2x+3y-13=0
4.已知l1的斜率是2,l2过点A(-1,-2),B(x,6),且l1∥l2,则=________.
解析:因为l1∥l2,所以=2,解得x=3.
所以=-.
答案:-
5
5.在平面直角坐标系xOy中,四边形OPQR的顶点坐标分别为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.
解析:由斜率公式,得kOP==t,
kQR===t,
kOR==-,
kPQ===-.
∴kOP=kQR,kOR=kPQ,
∴OP∥QR,OR∥PQ,
∴四边形OPQR为平行四边形.
又kOP·kOR=-1,∴OP⊥OR,
∴四边形OPQR为矩形.
6.直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),试求m的值.
解析:如图,直线l1的倾斜角为30°+30°=60°,
∴直线l1的斜率k1=tan 60°=.
当m=1时,直线AB的斜率不存在,此时l2的斜率为0,不满足l1∥l2.当m≠1时,直线AB的斜率kAB==,
∴线段AB的垂直平分线l2的斜率为k2=.
∵l1与l2平行,
∴k1=k2,即=,解得m=4+.
5
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