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  • 2021-06-17 发布

2020年高中数学第三 两条直线平行与垂直的判定

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‎3.1.2‎‎ 两条直线平行与垂直的判定 ‎[课时作业]‎ ‎[A组 基础巩固]‎ ‎1.设点P(-4,2),Q(6,-4),R(12,6),S(2,12),下面四个结论:‎ ‎①PQ∥SR;②PQ⊥PS;③PS∥QS;④RP⊥QS.‎ 正确的个数是(  )‎ A.1   B.‎2 ‎   C.3    D.4‎ 解析:由斜率公式知 kPQ==-,kSR==-,‎ kPS==,kQS==-4,‎ kPR==,∴PQ∥SR,PS⊥PQ,RP⊥QS.‎ 而kPS≠kQS,所以PS与QS不平行,故①②④正确,选C.‎ 答案:C ‎2.给定三点A(1,0)、B(-1, 0)、C(1,2),则过A点且与直线BC垂直的直线经过点(  )‎ A.(0,1) B.(0,0) C.(-1,0) D.(0,-1)‎ 解析:∵kBC==1,‎ ‎∴过A点且与直线BC垂直的直线的斜率为-1.‎ 又∵k==-1,∴直线过点(0,1).‎ 答案:A ‎3.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是(  )‎ A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.以A点为直角顶点的直角三角形 D.以B点为直角顶点的直角三角形 解析:如图所示,‎ 易知kAB==-,‎ kAC==,‎ 5‎ 由kAB·kAC=-1知三角形是以A点为直角顶点的直角三角形.‎ 答案:C ‎4.若直线l1的斜率k1=,直线l2经过点A(‎3a,-2),B(0,a2+1),且l1⊥l 2,则实数a的值为(  )‎ A.1 B.‎3 C.0或1 D.1或3‎ 解析:∵l1⊥l2,∴k1·k2=-1,‎ 即×=-1,解得a=1或a=3.‎ 答案:D ‎5.已知点A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以A,B,C,D为顶点的四边形是(  )‎ A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 解析:如图所示,易知kAB=-,kBC=0,kCD=-,kAD=0,kBD=-,kAC=,所以 kAB=kCD,kBC=kAD,kAB·kAD=0,kAC·kBD=-,故AD∥BC,AB∥CD,AB与AD不垂直,BD与AC不垂直,所以四边形ABCD为平行四边形.‎ 答案:B ‎6.已知直线l1的斜率为3,直线l2经过点A(1,2),B(2,a),若直线l1∥l2,则a=__________;若直线l1⊥l2,则a=__________.‎ 解析:l1∥l2时,=3,则a=5;l1⊥l2时,=-,则a=.‎ 答案:5  ‎7.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-4k+m=0的两根,若l1⊥l2,则m=________.若l1∥l2,则m=________.‎ 解析:由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2=,‎ 若l1⊥l2,则=-1,∴m=-2.‎ 若l1∥l2则k1=k2,即关于k的二次方程 ‎2k2-4k+m=0有两个相等的实根,‎ ‎∴Δ=(-4)2-4×2×m=0,∴m=2.‎ 答案:-2 2‎ ‎8.已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点,若点D使直线BC∥AD,直线AB⊥CD,则点D 5‎ 的坐标是________.‎ 解析:设D(x,y),由BC∥AD,得=,①‎ 由AB⊥CD,得×=-1,②‎ ‎∴由①②解得x=0,y=1.‎ 答案:(0,1)‎ ‎9.已知A(-m-3,2),B(-‎2m-4,4),C(-m,m),D(3,‎3m+2),若直线AB⊥CD,求m的值.‎ 解析:因为A,B两点的纵坐标不相等,‎ 所以AB与x轴不平行.‎ 因为AB⊥CD,所以CD与x轴不垂直,‎ 所以-m≠3,即m≠-3.‎ 当AB与x轴垂直时,-m-3=-‎2m-4,解得m=-1.‎ 当m=-1时,C,D两点的纵坐标均为-1,‎ 则CD∥x轴,此时AB⊥CD,满足题意.‎ 当AB与x轴不垂直时,由斜率公式,得 kAB==,‎ kCD==.‎ 因为AB⊥CD,所以kAB·kCD=-1,‎ 即·=-1,解得m=1.‎ 综上,m的值为1或-1.‎ ‎10.已知△ABC的顶点分别为A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC为直角三角形,求m的值.‎ 解析:若∠A为直角,则AC⊥AB,‎ ‎∴kAC·kAB=-1,即×=-1,解得m=-7;‎ 若∠B为直角,则AB⊥BC,‎ ‎∴kAB·kBC=-1,即×=-1,‎ 解得m=3;‎ 若∠C为直角,则AC⊥BC,‎ ‎∴kAC·kBC=-1,即×=-1,解得m=±2.‎ 5‎ 综上,m的值为-7,-2,2或3.‎ ‎[B组 能力提升]‎ ‎1.已知直线l1和l2互相垂直且都过点A(1,1),若l1过原点O(0,0),则l2与y轴交点的坐标为(  )‎ A.(2,0) B.(0,2) C.(0,1) D.(1,0)‎ 解析:l1的斜率为k1=1,设l2与y轴的交点为(0,y),‎ ‎∴l2的斜率k2==-1,‎ ‎∴y=2,∴l2与y轴的交点为(0,2).‎ 答案:B ‎2.过点A,B(7,0)的直线l1与过点C(2,1),D(3,k+1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数k等于(  )‎ A.-3 B.‎3 C.-6 D.6‎ 解析:如图所示,∵圆的内接四边形对角互补,‎ ‎∴l1和l2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则l1⊥l2,∴k1k2=-1.‎ ‎∵k1==-,‎ k2==k,∴k=3.‎ 答案:B ‎3.点A是x轴上的动点,一条直线过点M(2,3),垂直于MA,交y轴于点B,过点A,B分别作x轴、y轴的垂线交于点P,则点P的坐标(x,y)满足的关系式是________.‎ 解析:∵PA⊥x轴,PB⊥y轴,P(x,y),∴A(x,0),B(0,y).由MA⊥MB,∴kMA·kMB=-1,即·=-1(x≠2),化简,得2x+3y-13=0.当x=2时,点P与点M重合,点P(2,3)的坐标也满足方程2x+3y-13=0,所以P(x,y)满足的关系式为2x+3y-13=0.‎ 答案:2x+3y-13=0‎ ‎4.已知l1的斜率是2,l2过点A(-1,-2),B(x,6),且l1∥l2,则=________.‎ 解析:因为l1∥l2,所以=2,解得x=3.‎ 所以=-.‎ 答案:- 5‎ ‎5.在平面直角坐标系xOy中,四边形OPQR的顶点坐标分别为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.‎ 解析:由斜率公式,得kOP==t,‎ kQR===t,‎ kOR==-,‎ kPQ===-.‎ ‎∴kOP=kQR,kOR=kPQ,‎ ‎∴OP∥QR,OR∥PQ,‎ ‎∴四边形OPQR为平行四边形.‎ 又kOP·kOR=-1,∴OP⊥OR,‎ ‎∴四边形OPQR为矩形.‎ ‎6.直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),试求m的值.‎ 解析:如图,直线l1的倾斜角为30°+30°=60°,‎ ‎∴直线l1的斜率k1=tan 60°=.‎ 当m=1时,直线AB的斜率不存在,此时l2的斜率为0,不满足l1∥l2.当m≠1时,直线AB的斜率kAB==,‎ ‎∴线段AB的垂直平分线l2的斜率为k2=.‎ ‎∵l1与l2平行,‎ ‎∴k1=k2,即=,解得m=4+.‎ 5‎