高考数学一轮复习第八章数列8-1数列（含函数特性）练习理北师大版 10页

‎8.1 数列（含函数特性）‎ 核心考点·精准研析 考点一　数列的有关概念及通项公式 ‎ ‎1.数列{an}中,a1=1,当n≥2且n∈N*时,an=,则a3+a5= (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知数列{an}的通项公式为an=n2-8n+15,则3 (　　)‎ A.不是数列{an}中的项 B.只是数列{an}中的第2项 C.只是数列{an}中的第6项 D.是数列{an}中的第2项或第6项 ‎3.数列,-,,-,…的一个通项公式为 (　　)‎ A.an=(-1)n· B.an=(-1)n·‎ C.an=(-1)n+1· D.an=(-1)n+1·‎ ‎4.若数列{an}满足a1=1,且对于任意的n∈N*都有an+1=an+n+1,则++…+等于 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎5.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则an=(　　)‎ A.2+ln n B.2+(n-1)ln n C.2+nln n D.1+n+ln n - 10 -‎ ‎【解析】1.选D.因为an=(n≥2),所以a3=,a5=,所以a3+a5=+=+=.‎ ‎2.选D.令an=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或6,故3是数列{an}中的第2项或第6项.‎ ‎3.选D.该数列是分数形式,分子为奇数2n+1,分母是指数2n,各项的符号由(-1)n+1来确定,所以D选项正确.‎ ‎4.选D.由an+1=an+n+1,得an+1-an=n+1,则a2-a1=1+1,a3-a2=2+1,a4-a3=3+1,…,‎ an-an-1=(n-1)+1,以上等式相加,得an-a1=2+3+…+(n-1)+n,把a1=1代入上式得an=1+2+3+…+(n-1)+n=,‎ 所以==2,‎ 则++…+=2=‎ ‎2=.‎ ‎5.选A.因为an+1=an+ln,‎ 所以an-an-1=ln=ln(n≥2),‎ 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1‎ ‎=ln+ln+…+ln+ln 2+2‎ ‎=2+ln=2+ln n(n≥2).‎ 又a1=2适合上式,故an=2+ln n(n∈N*).‎ - 10 -‎ 将T3改为已知数列的前4项为2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项不可能是 ‎(　　)‎ A.an=(-1)n-1+1 B.an=‎ C.an=2sin D.an=cos(n-1)π+1‎ ‎【解析】选C.对n=1,2,3,4进行验证,an=2sin不合题意.‎ ‎1.由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略 ‎(1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.‎ ‎(2)具体策略:①分式中分子、分母的特征;‎ ‎②相邻项的变化特征;‎ ‎③各项的符号特征和绝对值特征;‎ ‎④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;‎ ‎⑤对于符号交替出现的情况,可用(-1)k或(-1)k+1,k∈N*处理.‎ ‎2.递推公式推导通项公式的方法 ‎(1)累加法:an+1-an=f(n).‎ ‎(2)累乘法: =f(n).‎ ‎(3)待定系数法:an+1=pan+q(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0).把原递推公式转化为:an+1-t=p(an-t),其中t=,再利用换元法转化为等比数列求解.‎ ‎【秒杀绝招】‎ ‎1.代入法解T2根据选项可直接把n=2或n=6代入检验.‎ ‎2.特值检验法解T3先利用排除法排除A、B,然后可直接把n=3代入检验排除C.‎ 考点二　an与Sn的关系及其应用 ‎ ‎【典例】1.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1)(n∈N*),则an= (　　)‎ - 10 -‎ A.2n B.2n-1 C.2n D.2n-1‎ ‎2.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,求an. ‎ ‎【解题导思】‎ 序号 联想解题 ‎1‎ ‎(1)看到an与Sn的关系,想到利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为an与an-1的关系 ‎(2)也可以先检验n=1,n=2,n=3进行排除 ‎2‎ ‎(1)利用an+1=Sn+1-Sn转化为Sn+1与Sn的关系 ‎(2)求得Sn,代入an=Sn-Sn-1(n≥2)得an,并检验n=1是否成立 ‎【解析】1.选C.当n=1时,a1=S1=2(a1-1),可得a1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,‎ 所以an=2an-1,‎ 所以数列{an}为首项为2,公比为2的等比数列,‎ 所以an=2n.‎ ‎【一题多解】选C.利用递推关系求出a1=2,a2=4,a3=8,易确定C.‎ ‎2.由已知得an+1=Sn+1-Sn=Sn+1Sn,两边同时除以Sn+1Sn,‎ 得-=-1,‎ 故数列是以-1为首项,-1为公差的等差数列,则=-1-(n-1)=-n,所以Sn=-.‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-+=,‎ 故an=‎ ‎【答题模板微课】本例题2的模板化过程:‎ 建模板:当n=1时,a1=S1=-1, …………求首项 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-+=, …………作差求通项 经检验a1=-1不适合an=, …………检验 - 10 -‎ 故an= …………结论 套模板:已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+1,则an=________. ‎ ‎【解析】当n=1时,a1=S1=1+2+1=4, …………求首项 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1, …………作差求通项 经检验a1=4不适合an=2n+1, …………检验 故an= …………结论 答案:‎ ‎1.已知Sn求an的三个步骤 ‎(1)先利用a1=S1求出a1.‎ ‎(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式.‎ ‎(3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并.‎ ‎2.Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化.‎ ‎(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解.‎ ‎(2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.‎ ‎1.已知数列{an}的前n项和Sn=2n-3,则数列{an}的通项公式是________. ‎ ‎【解析】当n=1时,a1=S1=2-3=-1;‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n-3)-(2n-1-3)=‎ ‎2n-2n-1=2n-1.当n=1时不满足,故an= ‎ 答案:an= ‎ ‎2.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn= (　　)‎ - 10 -‎ A.2n-1 B.‎ C. D.‎ ‎【解析】选B.由已知Sn=2an+1得Sn=2(Sn+1-Sn),即2Sn+1=3Sn,=,而S1=a1=1,所以Sn=.‎ ‎【变式备选】‎ 已知数列{an}的前n项和为Sn,求{an}的通项公式.‎ ‎(1)Sn=2n2-3n.(2)Sn=3n+b.‎ ‎【解析】(1)当n=1时,a1=S1=2-3=-1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5.由于a1也适合此等式,所以an=4n-5.‎ ‎(2)a1=S1=3+b,‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=2·3n-1.当b=-1时,a1适合此等式;当b≠-1时,a1不适合此等式.所以当b=-1时,an=2·3n-1;当b≠-1时,an=‎ 考点三　数列的性质及其应用 ‎ 命 题 精 解 读 ‎1.考什么:考查数列的单调性、周期性、最值问题 ‎2.怎么考:因为数列可以看作是一类特殊的函数值,所以数列也具备函数应具备的性质,因此常常以数列为载体,考查单调性、周期性以及最值等问题.解题过程中常常渗透逻辑推理的核心素养.‎ ‎3.新趋势:由递推关系求通项公式考查求通项公式的方法成为考试的新趋势 学 霸 好 方 法 ‎1.解决数列单调性问题的三种方法 ‎(1)作差比较法 ‎(2)作商比较法 ‎(3)结合相应函数的图像直观判断.‎ ‎2.解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.‎ - 10 -‎ ‎3.求数列最大项或最小项的方法 ‎(1)利用不等式组(n≥2)找到数列的最大项;‎ ‎(2)利用不等式组(n≥2)找到数列的最小项.‎ ‎4.交汇问题 数列的函数特性可利用数形结合、分类讨论进行解题 数列的单调性 ‎【典例】已知递增数列{an},an≥0,a1=0.对于任意的正整数n,不等式t2--3t-3an≤0恒成立,则正数t的最大值为 (　　)‎ A.1　 B.2 C.3 D.6‎ ‎【解析】选C.因为数列{an}是递增数列,‎ 又t2--3t-3an=(t-an-3)(t+an)≤0,‎ t+an>0,所以t≤an+3恒成立,‎ t≤(an+3)min=a1+3=3,所以tmax=3.‎ 在数列的恒成立问题中,若涉及求参数的最值问题时,如何进行合理地转化?‎ 提示:在涉及求参数的最值问题时,常常与已知数列的单调性有关,因此解决这类问题,需要先判断该数列的单调性.‎ 数列的周期性 ‎【典例】若数列{an}满足a1=2,an+1=,则a2 022的值为 (　　)‎ A.2 B.-3 C.- D.‎ ‎【解析】选B.因为a1=2,an+1=,所以a2==-3,同理可得:‎ - 10 -‎ a3=-,a4=,a5=2,a6=-3,a7=-,a8=,…,可得an+4=an,则a2 022=a505×4+2=a2=-3.‎ 在求数列中某一项的值,特别是该项的序号较大时,应该考虑如何求解?‎ 提示:在求数列中某一项的值,特别是该项的序号较大时,应该考虑该数列是否具有周期性,利用周期性即可求出该数列中的某一项.‎ 数列中的最值 ‎【典例】数列{an}的通项为an=(n∈N*),若a5是{an}中的最大值,则a的取值范围是________. ‎ ‎【解析】当n≤4时,an=2n-1单调递增,因此n=4时取最大值,a4=24-1=15.当n≥5时,an=-n2+(a-1)n=-+.‎ 因为a5是{an}中的最大值,‎ 所以 解得9≤a≤12.所以a的取值范围是[9,12].‎ 答案:[9,12]‎ 当数列涉及最大项或最小项问题时,除了用不等式组求解,还可以考虑什么方法?‎ 提示:解决数列的最值问题,除了用不等式组求解,还可以将数列看作某个函数,利用求函数的最值的方法求数列的最值.‎ ‎1.在数列中,a1=2,an+1=-,则a2 020等于(　　)‎ A.2 B.- C.- D.1‎ - 10 -‎ ‎【解析】选A.因为a2=-=-,a3=-=-,a4=-=2,所以a3n+1=2,a3n+2=-,a3n+3=-,所以a2 020=a3×673+1=2.‎ ‎2.已知数列{an}满足an=(n∈N*),则数列{an}的最小项是第______项. ‎ ‎【解析】因为an=,所以数列{an}的最小项必为an<0,即<0,3n-16<0,从而n<.又n∈N*,所以当n=5时,an的值最小.‎ 答案:5‎ ‎3.已知数列{an}中,an=n2+λn,且{an}为递增数列,求实数λ的取值范围.‎ ‎【解析】因为an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+λ+1,所以由{an}为递增数列可得2n+λ+1>0,即λ>-2n-1对一切n∈N*恒成立.因为n=1时,-2n-1取得最大值-3,所以λ>-3,即λ∈(-3,+∞).‎ ‎【一题多解】函数f(n)=n2+λn的图像的对称轴是n=-,如图,只需要-<,则λ>-3,即λ∈(-3,+∞).‎ ‎1.(2020·石家庄模拟)已知在正项等比数列中,a2 020=4a2 018,a2+a4=20,则a2 020的个位数字是 (　　)‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎【解析】选C.设公比为q(q>0),依题意得 解得a1=q=2,故a2 020=2×22 019=22 020,注意到21个位数字是2,22个位数字是4,23个位数字是8,24的个位数字是6,25的个位数字是2,26的个位数字是4,…,故2n的个位数字的周期为4,而22 020=2505×4,故其个位数字为6.‎ ‎2.数列{an}的通项公式为an=,则数列{an}中的最大项是 (　　)‎ - 10 -‎ A.3 B.19 C. D.‎ ‎【解析】选C.令f(x)=x+(x>0),运用基本不等式得f(x)≥2,当且仅当x=3时,等号成立.因为an=,所以≤,由于n∈N*,故当n=9或n=10时,an=最大.‎ - 10 -‎