2020高中数学 第1章 点、直线、面的位置关系11 面面垂直的判定学案 苏教版必修2 4页

面面垂直的判定 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 面面垂直的判定 ‎1. 理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角；‎ ‎2. 掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角；‎ ‎3. 掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直。‎ 选择题 填空题 解答题 面面垂直的定义及判定定理，是前面知识的巩固升华，又是后面研究线面、面面垂直性质的基础。所以，本节课的内容及思想方法，在整个立体几何里，有非常重要的作用。‎ 二、重难点提示 重点：平面和平面垂直的判定。‎ 难点：二面角的理解及度量。‎ 考点一：二面角 ‎1. 半平面 平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面。‎ ‎2. 二面角 ‎（1）定义：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。‎ ‎（2）画法：‎ 直立式　平卧式 ‎（3）记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.‎ ‎（4）二面角的平面角：‎ 如图：二面角α－l－β 若有①O∈l；②OA∈α，OB∈β；③OA⊥l，OB⊥l，‎ 4‎ 则二面角α－l－β的平面角是∠AOB。‎ 考点二：两个平面垂直的判定 ‎1. 直二面角及两平面垂直的概念 平面角是直角的二面角叫做直二面角，这时我们说这两个平面互相垂直，记作α⊥β。‎ ‎2. 平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。‎ 其图形语言和符号语言如下：‎ ‎ ‎ 例题1 （用判定定理证明面面垂直）‎ 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC。‎ 思路分析：由C是圆周上异于A，B的点―→AC⊥BC―→由PA垂直于⊙O所在的平面―→PA⊥BC―→BC⊥平面PAC―→平面PAC⊥平面PBC。‎ 答案：证明：连接AC，BC，则BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，‎ ‎∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A，‎ ‎∴BC⊥平面PAC，‎ 又BC⊂平面PBC，∴平面PAC⊥面PBC。‎ 技巧点拨：证明面面垂直的方法有：面面垂直的定义和面面垂直的判定定理，而本题二面角A—PC—B的平面角不好找，故用判定定理，而用判定定理证面面垂直的关键是在其中一个平面内找（作）一条直线与另一个平面垂直。‎ 例题2 （用定义法求二面角） ‎ 如图，已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD。‎ 4‎ ‎（1）求二面角B－PA－D平面角的度数；‎ ‎（2）求二面角B－PA－C平面角的度数。‎ 思路分析：先依据二面角的定义找相应二面角的平面角，然后借助三角形的边角关系求二面角的平面角的某一三角函数值，最后求出二面角的平面角的大小。‎ 答案：（1）∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA，‎ ‎∴∠BAD为二面角B－PA－D的平面角，‎ 又由题意∠BAD＝90°，‎ ‎∴二面角B－PA－D平面角的度数为90°；‎ ‎（2）∵PA⊥平面ABCD，‎ ‎∴AB⊥PA，AC⊥PA，‎ ‎∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角，‎ 又四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴∠BAC＝45°，‎ 即二面角B－PA－C平面角的度数为45°。‎ 技巧点拨：求二面角的步骤 简称为“一作二证三求”。‎ 转化思想在线面、面面垂直中的应用 ‎【满分训练】（杭州）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，求证：‎ ‎（1）PD⊥平面ABCD；‎ ‎（2）平面PAC⊥平面PBD；‎ ‎（3）二面角P－BC－D是45°的二面角。‎ 思路分析：解答本题第（1）（2）问可先根据需证问题寻找相关元素，再由判定定理进行判定；第（3）问可先找出二面角的平面角，再证明平面角等于45°。‎ 答案：证明：（1）∵PD＝a，DC＝a，PC＝a，‎ 4‎ ‎∴PC2＝PD2＋DC2，‎ 则PD⊥DC，‎ 同理可证PD⊥AD，‎ 又∵AD∩DC＝D，且AD，DC⊂平面ABCD，‎ ‎∴PD⊥平面ABCD；‎ ‎（2）由（1）知PD⊥平面ABCD，‎ 又∵AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AC⊥BD，‎ 又∵BD∩PD＝D，且PD，BD⊂平面PBD，‎ ‎∴AC⊥平面PBD，‎ 又∵AC⊂平面PAC，‎ ‎∴平面PAC⊥平面PBD；‎ ‎（3）由（1）知PD⊥BC，‎ 又∵BC⊥DC，且PD，DC为平面PDC内两条相交直线，‎ ‎∴BC⊥平面PDC，‎ ‎∵PC⊂平面PDC，∴BC⊥PC，‎ 则∠PCD为二面角P－BC－D的平面角，‎ 在Rt△PDC中，∵PD＝DC＝a，‎ ‎∴∠PCD＝45°，‎ 即二面角P－BC－D是45°的二面角。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 本题（1）（2）问涉及线面垂直和面面垂直，求解的关键是转化思想的应用，即“线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直”。‎ ‎2. 突出二面角求解过程中的“作—证—解—答”的思想。‎ 4‎