高中数学必修3教案：1_1_1 算法的概念（教、学案） 5页

‎1. 1.1‎‎ 算法的概念 ‎【教学目标】‎ ‎1.了解算法的含义，体会算法的思想。‎ ‎2.能够用自然语言叙述算法。‎ ‎3.掌握正确的算法应满足的要求。‎ ‎【重点与难点】‎ 教学重点：算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。‎ 教学难点：把自然语言转化为算法语言。‎ ‎【教学过程】‎ ‎1.情境导入：‎ 算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等。因此，算法其实是重要的数学对象。‎ ‎2.探索研究 ‎ 算法(algorithm)一词源于算术(algorism)，即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。‎ 广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，等等。‎ ‎3.例题分析 例1. 任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定。‎ 解析：根据质数的定义判断 解：算法如下：‎ 第一步：判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2，则执行第二步。‎ 第二步：依次从2至（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数。‎ 这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法。‎ 点评：通过例1明确算法具有两个主要特点：有限性和确定性。‎ 变式训练1：一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容纳一个人和两只动物．没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊．请设计过河的算法。‎ 解：算法或步骤如下：‎ S1 人带两只狼过河；‎ S2 人自己返回；‎ S3 人带一只羚羊过河；‎ S4 人带两只狼返回；‎ S5 人带两只羚羊过河；‎ S6 人自己返回；‎ S7 人带两只狼过河；‎ S8 人自己返回；‎ S9 人带一只狼过河．‎ 例2 给出求解方程组的一个算法．‎ 解析：解线性方程组的常用方法是加减消元法和代入消元法，这两种方法没有本质的差别，为了适用于解一般的线性方程组，以便于在计算机上实现，我们用高斯消元法（即先将方程组化为一个三角形方程组，在通过回代过程求出方程组的解）解线性方程组．‎ 解：用消元法解这个方程组，步骤是：‎ 第一步：方程①不动，将方程②中的系数除以方程①中的系数，得到乘数；‎ 第二步：方程②减去乘以方程①，消去方程②中的项，得到 ‎；‎ 第三步：将上面的方程组自下而上回代求解，得到，．‎ 所以原方程组的解为．‎ 点评：通过例2再次明确算法特点：有限性和确定性 变式训练2：写出求过两点M(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法。‎ 解：算法：第一步：取x1=-2，y1=-1，x2=2，y2=3；‎ 第二步：计算；‎ 第三步：在第二步结果中令x=0得到y的值m，得直线与y轴交点(0,m)；‎ 第四步：在第二步结果中令y=0得到x的值n，得直线与x轴交点(n,0)；‎ 第五步：计算S=；‎ 第六步：输出运算结果 例3 用二分法设计一个求解方程x2–2=0的近似根的算法。‎ 算法分析：回顾二分法解方程的过程，并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过0.005，则不难设计出以下步骤：‎ 第一步：令f(x)=x2–2。因为f(1)<0，f(2)>0，所以设x1=1，x2=2。‎ 第二步：令m=(x1+x2)/2，判断f(m)是否为0，若则，则m为所长；若否，则继续判断f(x1)·f(m)大于0还是小于0。‎ 第三步：若f(x1)·f(m)>0，则令x1=m；否则，令x2=m。‎ 第四步：判断|x1–x2|<0.005是否成立？若是，则x1、x2之间的任意取值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二 点评：渗透循环的思想，为后面教学做铺垫。‎ 变式训练3 给出求1+2+3+4+5的一个算法．‎ 解： 算法1 按照逐一相加的程序进行．‎ 第一步：计算1+2，得到3；‎ 第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6；‎ ‎ 第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10；‎ ‎ 第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15．‎ ‎ 算法2 运用公式直接计算．‎ ‎ 第一步：取=5；‎ 第二步：计算；‎ ‎ 第三步：输出运算结果．‎ 算法3 用循环方法求和．‎ 第一步：使，； ‎ 第二步：使；‎ ‎ 第三步：使；‎ 第四步：使；‎ 第五步：如果，则返回第三步，否则输出．‎ 点评：一个问题的算法可能不唯一．‎ ‎4．回顾小结 ‎1．算法的概念：对一类问题的机械的、统一的求解方法．算法是由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者是按照要求设计好的有限的计算序列，并且这样的步骤或序列能解决一类问题．‎ ‎2．算法的重要特征：‎ ‎（1）有限性：一个算法在执行有限步后必须结束；‎ ‎（2）确定性：算法的每一个步骤和次序必须是确定的；‎ ‎（3）输入：一个算法有0个或多个输入，以刻划运算对象的初始条件．所谓0个输入是指算法本身定出了初始条件．‎ ‎（4）输出：一个算法有1个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果．没有输出的 算法是毫无意义的．‎ ‎5．课后作业 写出求的一个算法 解：第一步：使，； ‎ 第二步：使；‎ ‎ 第三步：使；‎ 第四步：使；‎ 第五步：使；‎ 第六步：如果，则返回第三步，否则输出．‎ ‎1.1.1‎‎. 算法的概念 课前预习学案 一、预习目标：了解算法的含义，体会算法的思想。‎ 二、预习内容：‎ ‎1.算法的概念及其特点 ‎2.判断一个数为质数的算法设计 三、提出疑惑：如何快速准确的写出一个问题的算法？‎ 课内探究学案 一、学习目标：‎ ‎1.了解算法的含义，体会算法的思想；‎ ‎2.能够用自然语言叙述算法；‎ ‎3.知道算法应满足的要求。‎ 二、学习重点：算法的含义、判断一个数为质数的算法设计。‎ 学习难点：把自然语言转化为算法语言。‎ ‎ 三、学习过程：‎ ‎（一）、自主学习：‎ ‎1．算法的概念 ‎2．算法的重要特征：‎ ‎（二）、例题分析：‎ 例1. 任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定 变式训练1：一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容纳一个人和两只动物．没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊．请设计过河的算法。‎ 例2 给出求解方程组的一个算法．‎ 变式训练2：写出求过两点M(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法。‎ 例3 用二分法设计一个求解方程x2–2=0的近似根的算法。‎ 变式训练3 给出求1+2+3+4+5的一个算法 ‎（三）、回顾小结：‎ ‎（1）算法的概念 ‎（2）算法的重要特征 ‎（四）、当堂检测：‎ 写出求的一个算法 解：第一步：使，； ‎ 第二步：使；‎ ‎ 第三步：使；‎ 第四步：使；‎ 第五步：使；‎ 第六步：如果，则返回第三步，否则输出．‎ 课后练习与提高：‎ ‎1. 下列关于算法的说法中，正确的是（         ）.‎ ‎　　　A． 算法就是某个问题的解题过程 B． 算法执行后可以不产生确定的结果 ‎　　　C． 解决某类问题的算法不是惟一的 D． 算法可以无限地操作下去不停止 ‎2.有一堆形状大小相同的珠子，其中只有一粒质量比其他的轻，某同学利用科学的算法，两次利用天平找出这粒最轻的珠子，则这堆珠子最多有多少粒（ ）‎ A. 4 B‎.5 C.7 D.9‎ ‎3下列各式中的S值不可以用算法求解的是（ ）‎ A.S=1+2+3+4‎ B.S=1+2+3+4+….‎ C.S=‎ D.S=1+2+3+4+…+100‎ ‎4.已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99。求它的总分和平均分的一个算法为：‎ 第一步：取A=89，B=99;‎ 第二步：‎ 第三步：‎ 第四步：输出计算结果。‎ ‎5.写出解方程2x+3=0的算法。‎ 第一步：‎ 第二步：‎ 第三步：‎ ‎6. 给出一个判断点P是否在直线y=x-1上的一个算法。‎ ‎ ‎