2009年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（北京卷） 13页

‎2009年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷）‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷（选择题 共40分）‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答第I卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。‎ ‎ 2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。‎ 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 ‎ ‎1．在复平面内，复数对应的点位于 （ ）‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查.‎ ‎ ∵，∴复数所对应的点为，故选B.‎ ‎2．已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么 （ ）‎ ‎ A．且c与d同向 B．且c与d反向 ‎ C．且c与d同向 D．且c与d反向 ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ 取a，b，若，则cab，dab，‎ ‎ 显然，a与b不平行，排除A、B. ‎ ‎ 若，则cab，dab，‎ 即cd且c与d反向，排除C，故选D.‎ ‎3．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点 （ ）‎ ‎ A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 ‎ B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 ‎ C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 ‎ D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. ‎ ‎ A．，‎ B．，‎ C．，‎ D．.‎ 故应选C.‎ ‎4．若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60°角，则 到底面的距离为 （ ）‎ ‎ A． B．1‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、‎ 直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. （第4题解答图）‎ 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ 依题意，，如图，‎ ‎，故选D.‎ ‎5．“”是“”的 （ ）‎ ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ 当时，，‎ ‎ 反之，当时，有，‎ ‎ 或，故应选A.‎ ‎6．若为有理数），则 （ ）‎ ‎ A．45 B．‎55 ‎‎ C．70 D．80‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ ∵‎ ‎ ， ‎ ‎ 由已知，得，∴.故选C.‎ ‎7．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）‎ ‎ A．324 B．‎328 ‎‎ C．360 D．648‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ 首先应考虑“‎0”‎是特殊元素，当0排在末位时，有（个），‎ ‎ 当0不排在末位时，有（个），‎ ‎ 于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有（个）.故选B.‎ ‎8．点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且 ‎，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ）‎ ‎ A．直线上的所有点都是“点”‎ ‎ B．直线上仅有有限个点是“点”‎ ‎ C．直线上的所有点都不是“点”‎ ‎ D．直线上有无穷多个点（但不是所有的点）是“点”‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.‎ ‎ 本题采作数形结合法易于求解，如图，‎ 设，‎ 则，‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 消去n,整理得关于x的方程 （1）‎ ‎∵恒成立，‎ ‎∴方程（1）恒有实数解，∴应选A.‎ ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试 ‎ 数学（理工农医类）（北京卷）‎ 第Ⅱ卷（共110分）‎ 注意事项：‎ ‎1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。‎ ‎2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。‎ 题号 二 三 总分 ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 分数 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。‎ ‎9．_________.‎ W【答案】‎ ‎【解析】本题主要考极限的基本运算，其中重点考查如何约去“零因子”. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ ，故应填.‎ ‎10．若实数满足则的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ 如图，当时，‎ 为最小值.‎ 故应填.‎ ‎11．设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在处的切线的斜率为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于基础知识、基本运算 的考查.‎ 取，如图，采用数形结合法，‎ 易得该曲线在处的切线的斜率为.‎ 故应填.‎ ‎12．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则_________；的小大为__________. ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属 于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ ∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴，‎ 又由余弦定理，得，‎ ‎∴，故应填. ‎ ‎13．若函数 则不等式的解集为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ （1）由.‎ ‎ （2）由.‎ ‎ ∴不等式的解集为，∴应填.‎ ‎14．已知数列满足：则________；‎ ‎=_________.‎ ‎【答案】1，0‎ ‎【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.‎ 依题意，得，.‎ ‎ ∴应填1，0.‎ 三 、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎15．（本小题共13分）‎ ‎ 在中，角的对边分别为，. ‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的面积.‎ ‎【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．‎ ‎（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ‎ ‎ 又∵，‎ ‎∴在△ABC中，由正弦定理，得 ‎∴.‎ ‎∴△ABC的面积.‎ ‎ 16．（本小题共14分）‎ ‎ 如图，在三棱锥中，底面，‎ 点，分别在棱上，且 ‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；‎ ‎（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.‎ ‎【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．‎ ‎（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.‎ 又，∴AC⊥BC.‎ ‎∴BC⊥平面PAC.‎ ‎（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，‎ ‎∴，‎ 又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，‎ ‎∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.‎ ‎∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，‎ ‎∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，‎ ‎∴△ABP为等腰直角三角形，∴，‎ ‎∴在Rt△ABC中，，∴.‎ ‎∴在Rt△ADE中，，‎ ‎∴与平面所成的角的大小为.‎ ‎（Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，‎ 又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，‎ ‎∴∠AEP为二面角的平面角，‎ ‎∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴. ‎ ‎∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，‎ 故存在点E使得二面角是直二面角.‎ ‎【解法2】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，‎ ‎ 设，由已知可得 ‎ .‎ ‎ （Ⅰ）∵， ‎ ‎∴，∴BC⊥AP.‎ 又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.‎ ‎（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.‎ ‎∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴与平面所成的角的大小为.‎ ‎（Ⅲ）同解法1.‎ ‎17．（本小题共13分）‎ 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.‎ ‎（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； ‎ ‎（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.‎ ‎【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.‎ ‎（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为.‎ ‎（Ⅱ）由题意可得，可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）. ‎ 事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”（0，1，2，3，4），‎ ‎∴， ‎ ‎∴即的分布列是 ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎∴的期望是.‎ ‎18．（本小题共13分）‎ 设函数 ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间； ‎ ‎（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.‎ ‎ 【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．‎ ‎（Ⅰ）,‎ ‎ 曲线在点处的切线方程为 ‎（Ⅱ）由，得，‎ ‎ 若，则当时，，函数单调递减，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 若，则当时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减， ‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，即时，函数在内单调递增；‎ 若，则当且仅当，即时，函数在内单调递增， 综上可知，函数在区间内单调递增时，的取值范围是.‎ ‎19．（本小题共14分）‎ 已知双曲线的离心率为，右准线方程为 ‎（Ⅰ）求双曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值. ‎ ‎【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．‎ ‎（Ⅰ）由题意，得，‎ 解得，‎ ‎∴，‎ ‎∴所求双曲线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）点在圆上，‎ 圆在点处的切线方程为，‎ 化简得 由 及得，‎ ‎∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，‎ ‎∴，且，‎ 设A、B两点的坐标分别为，‎ 则，‎ ‎∵，‎ 且，‎ ‎.‎ ‎∴ 的大小为..w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解法2】‎ ‎（Ⅰ）同解法1‎ ‎（Ⅱ）点在圆上，‎ 圆在点处的切线方程为，‎ 化简得.‎ 由 及得 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，∴，‎ 设A、B两点的坐标分别为，‎ 则，‎ ‎∴，‎ ‎∴ 的大小为.‎ ‎（∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）.‎ ‎20．（本小题共13分）‎ 已知数集具有性质：对任意的，与两数中至少有一个属于.‎ ‎（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）证明：，且；‎ ‎（Ⅲ）证明：当时，成等比数列..k.s.5. ‎ ‎【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.‎ ‎（Ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P.‎ 由于都属于数集，‎ ‎∴该数集具有性质P.‎ ‎（Ⅱ）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，‎ 由于，∴，故.‎ 从而，∴‎ ‎∵， ∴，故.‎ 由A具有性质P可知.‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ 从而，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有，即，‎ ‎∵，‎ ‎∴，∴，‎ 由A具有性质P可知.‎ 由，得，且，∴，‎ ‎∴，‎ 即是首项为1，公比为成等比数列.‎