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- 2021-06-19 发布
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第3课时 三角形中的几何计算
课后篇巩固探究
A组
1.在△ABC中,AB=2,BC=5,△ABC的面积为4,则cos∠ABC等于( )
A. B.± C.- D.±
解析由S=AB·BC·sin∠ABC,得4=×2×5sin∠ABC,解得sin∠ABC=,从而cos∠ABC=±.
答案B
2.
某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境.已知这种草皮的价格为a元/m2,则购买这种草皮需要( )
A.450a元 B.225a元 C.150a元 D.300a元
解析由已知可求得草皮的面积为S=×20×30sin 150°=150(m2),则购买草皮的费用为150a元.
答案C
3.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若2b=a+c,B=30°,△ABC的面积为,则b等于( )
A.1+ B. C. D.2+
解析由acsin 30°=,得ac=6.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos 30°=(a+c)2-2ac-ac=4b2-12-6,得b=+1.
答案A
4.在△ABC中,若AC=BC,C=,S△ABC=sin2A,则S△ABC=( )
A. B. C. D.2
解析因为AB2=BC2+3BC2-2×BC×BC×=BC2,所以A=C=,所以S△ABC=sin2A=,故选A.
答案A
5.若△ABC的周长等于20,面积是10,B=60°,则边AC的长是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
解析在△ABC中,设A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°,由题意,得
7
解得b=7,故边AC的长为7.
答案C
6.已知△ABC的三边分别为a,b,c,且面积S=,则角C= .
解析在△ABC中,S△ABC=,
而S△ABC=absin C,∴absin C.
由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C,
∴cos C=sin C,∴C=45°.
答案45°
7.已知三角形的面积为,其外接圆面积为π,则这个三角形的三边之积等于 .
解析设三角形的外接圆半径为R,则由πR2=π,得R=1.由S=absin C=,故abc=1.
答案1
8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,求证:=c.
证明由余弦定理的推论得cos B=,
cos A=,代入等式右边,得
右边=c
==左边,
故原式得证.
9.
7
如图,在△ABC中,BC=5,AC=4,cos∠CAD=,且AD=BD,求△ABC的面积.
解设CD=x,则AD=BD=5-x.
在△CAD中,由余弦定理,得
cos∠CAD=,解得x=1.
∴CD=1,AD=BD=4.
在△CAD中,由正弦定理,得,
则sin C==4.
∴S△ABC=AC·BC·sin C=×4×5×,故△ABC的面积为.
10.导学号04994016若△ABC的三边长分别为a,b,c,面积为S,且S=c2-(a-b)2,a+b=2,求面积S的最大值.
解S=c2-(a-b)2=c2-a2-b2+2ab=2ab-(a2+b2-c2).
由余弦定理,得a2+b2-c2=2abcos C,
∴c2-(a-b)2=2ab(1-cos C),
即S=2ab(1-cos C).
∵S=absin C,∴sin C=4(1-cos C).
又sin2C+cos2C=1,∴17cos2C-32cos C+15=0,
解得cos C=或cos C=1(舍去).
∴sin C=,
∴S=absin C=a(2-a)=-( a-1)2+.
∵a+b=2,∴0C,C为锐角,且cos C=.由c2=a2+b2-2abcos C,得b2-11b+24=0,解得b=3或b=8.当b=8时,角B是钝角,cos B=>0,∴b=8舍去.同理验证可知b=3符合条件.∴S△ABC=absin C=×7×3×.
答案C
2.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3acos C=4csin A,若△ABC的面积S=10,b=4,则a的值为( )
A. B. C. D.
解析由3acos C=4csin A,得.又由正弦定理,得,∴tan C=,∴sin C=.又S=bcsin A=10,b=4,∴csin A=5.根据正弦定理,得a=,故选B.
答案B
3.在△ABC中,ab=60,S△ABC=15,△ABC的外接圆半径为,则边c的长为 .
解析∵S△ABC=absin C=15,ab=60,∴sin C=.
由正弦定理,得=2R,则c=2Rsin C=3.
答案3
4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-,则a的值为 .
7
解析∵S△ABC=bcsin A=bcbc×=3,∴bc=24.
又b-c=2,∴a2=b2+c2-2bccos A=(b-c)2+2bc-2bc×=4+2×24+×24=64.
∵a为△ABC的边,∴a=8.
答案8
5.在△ABC中,D为边BC上一点,BD=DC,∠ADB=120°,AD=2.若△ADC的面积为3-,则∠BAC= .
解析如图,由S△ADC=3-和S△ADC=AD·DCsin 60°,得3-×2×DC×,解得DC=2(-1),则BD=DC=-1.
在△ABD中,AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos 120°=(-1)2+4-2(-1)×2×=6,∴AB=.
在△ADC中,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos 60°=22+[2(-1)]2-2×2×2(-1)×=24-12,
∴AC=-1).
在△ABC中,cos∠BAC=,∴∠BAC=60°.
答案60°
6.导学号04994017如图所示,已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积.
7
解连接BD,则四边形ABCD的面积为S=S△ABD+S△CDB=AB·ADsin A+BC·CDsin C.
∵A+C=180°,∴sin A=sin C,
∴S= (AB·AD+BC·CD)sin A= (2×4+6×4)sin A=16sin A.
在△ABD中,由余弦定理,得
BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A=22+42-2×2×4cos A=20-16cos A.
在△CDB中,由余弦定理,得BD2=CB2+CD2-2CB·CDcos C=62+42-2×6×4cos C=52-48cos C.
∴20-16cos A=52-48cos C.
∵cos C=-cos A,∴64cos A=-32,∴cos A=-.
又A∈(0°,180°),∴A=120°,
∴S=16sin 120°=8.
7.已知△ABC的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2R(sin2A-sin2C)=(a-b)·sin B,求△ABC面积的最大值.
解由正弦定理,得a2-c2=(a-b)b,
即a2+b2-c2=ab.
由余弦定理,得cos C=.
∵C∈(0,π),∴C=.
∴S=absin C=×2Rsin A·2Rsin B·
=R2sin Asin B
=R2sinA
=R2(sin Acos A+sin2A)
=R2
=R2.
∵A∈.∴2A-,
7
∴sin,∴S∈,
∴△ABC面积的最大值为R2.
7
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