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- 2021-06-19 发布
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课时跟踪检测（一） 变化率问题 导数的概念
A级——学考水平达标
1．已知函数f(x)＝1－2x从x＝1到x＝2的平均变化率为k1，从x＝－2到x＝－1的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( )
A．k1>k2 B．k1＝k2
C．k1k2 B．k10，故k1>k2.
4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
解析：选C f′(x0)＝
＝ (a＋b·Δx)＝a.
5．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝( )
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx
C．－3 D．0
解析：选C f′(0)＝
5
＝ ＝ (Δx－3)＝－3.
6.如图是函数y＝f(x)的图象，回答下列问题．
(1)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________；
(2)函数f(x)在区间[2,4]上的平均变化率为________．
解析：(1)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝.
(2)函数f(x)在区间[2,4]上的平均变化率为＝＝2.
答案：(1) (2)2
7．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.
解析：∵f′(1)＝
＝ ＝a，∴a＝2.
答案：2
8．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为______．
解析：∵Δy＝π×23－π×13＝，
∴＝＝.
答案：
9．求函数y＝2x2＋3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝－时该函数的平均变化率．
解：当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为
＝
＝
＝＝4x0＋2Δx.
当x0＝2，Δx＝－时，
平均变化率为4×2＋2×＝7.
10．求函数y＝f(x)＝x2＋x＋1在x＝1处的导数．
5
解：根据导数的定义：
Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2＋(1＋Δx)＋1－3＝(Δx)2＋3Δx，
则＝＝Δx＋3，
所以f′(1)＝ ＝ (Δx＋3)＝3，
即函数f(x)＝x2＋x＋1在x＝1处的导数为3.
B级——高考能力达标
1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于( )
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
解析：选C ＝＝＝＝2Δx＋4.
2.甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是( )
A．v甲＞v乙
B．v甲＜v乙
C．v甲＝v乙
D．大小关系不确定
解析：选B 设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.因为kAC＜kBC，所以v甲＜v乙．
3．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是s，s的单位是m)，则它在4 s末的瞬时速度为( )
A. m/s B. m/s
C．8 m/s D. m/s
解析：选B ∵＝
5
＝＝Δt＋8－，
∴ ＝8－＝.
4．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 ＝－1，则f′(0)＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选B ∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，
∴f′(0)＝ ＝ ＝－1.
5．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
解析：＝＝7Δt＋14t0，
当 (7Δt＋14t0)＝1时，t＝t0＝.
答案：
6．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值为________．
解析：f′(x)＝ ＝－，
于是有－＝－，m2＝4，解得m＝±2.
答案：±2
7．已知函数f(x)＝求f′(4)·f′(－1)的值．
解：当x＝4时，Δy＝－＋
＝－＝
＝.
∴＝.
∴ ＝
＝＝.
5
∴f′(4)＝.
当x＝－1时，＝
＝＝Δx－2，
由导数的定义，得f′(－1)＝ (Δx－2)＝－2，
∴f′(4)·f′(－1)＝×(－2)＝－.
8．设函数f(x)在x0处可导，求下列各式的值．
(1) ；
(2) .
解：(1)
＝－m ＝－mf′(x0)．
(2)原式
＝
＝ －
＝4 －5
＝4f′(x0)－5f′(x0)＝－f′(x0)．
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