2020高中数学 第一章 三角函数 4页

同角三角函数函数关系 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 同角三角函数关系 ‎1. 掌握同角三角函数的基本关系式；‎ ‎2. 能正确运用上述关系式进行化简、求值和证明 选择题 解答题 ‎ 同角三角函数是三角函数的基础，注意理解本质，灵活应用 二、重难点提示 重点：同角三角函数之间的基本关系、化简与证明。‎ 难点：化简与证明中的符号，同角三角函数关系的灵活运用。‎ 一、同角三角函数的基本关系式 ‎1. 平方关系：‎ ‎2. 商数关系：‎ 二、利用同角三角函数的基本关系式求值、化简、证明 ‎1. 利用同角三角函数的基本关系式求值 利用公式可解决已知某角的一个三角函数值，求它的其余两个三角函数值（即知一求二）的问题。‎ 注意：‎ ‎（1）如果已知一个角的正弦、余弦、正切中的一个具体值，且角所在的象限也已指定，那么只有一种结果；‎ ‎（2）如果已知一个角的正弦、余弦、正切中的一个具体值，但未指定角所在的象限，那么要按角所在的可能象限进行讨论，分别写出答案，这时一般有两组解。‎ ‎2. 利用同角三角函数的基本关系式化简和证明 注意：三角函数式的化简实际上是一种不指定答案的恒等变形，化简的结果一般要求：函数种类尽量少，次数尽量低，项数尽量少，式子中尽可能不含根号，能求值的要求出。‎ 示例：（北京高考）若，则 ‎ 思路分析：由正弦求余弦，利用平方关系。‎ 答案：由已知得在第三象限，‎ 技巧点拨：注意先判断角所在象限，从而确定开方取负。‎ 4‎ 例题1 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值。‎ 思路分析：先由cos α的符号判断α所在的象限，然后分别由平方关系和商数关系求sin α，tan α的值。‎ 答案：∵cos α＝－＜0，∴α是第二、三象限角。‎ 若α是第二象限，则sin α＝，tan α＝；‎ 若α是第三象限角，则sin α＝－，tan α＝＝。‎ 例题2 已知tanα＝－，求下列各式的值。‎ ‎①；②3sin2α＋2sin αcos α－cos2α。‎ 思路分析：利用同角三角函数的基本关系式tanα＝，将所求代数式转化为关于tan α的代数式，再将tan α的值代入即可。‎ 答案：①＝＝＝＝－1。‎ ‎②3sin2α＋2sin αcos α－cos2α ‎＝‎ ‎。‎ 技巧点拨：解决齐次式时，分子分母同除以某一量，其式子可以转化为关于tanα的式子，然后求值。‎ 例题3 求证：sin θ（1＋tan θ）＋cos θ（1＋）＝＋；‎ 思路分析：证明恒等式的原则是由繁到简，所以在该题中应从左到右进行论证，因为右端无切函数，所以在变形、化简过程中应将切借助于商数关系化弦；‎ 4‎ 答案：左式＝sin θ（1＋）＋cos θ（1＋）＝sin θ＋＋cos θ＋‎ ‎＝（sin θ＋）＋（cos θ＋）‎ ‎＝＋＝＋＝右式；‎ 技巧点拨：证明三角恒等式，实际上就是将左右两端表面看似存在较大差异的式子通过巧妙变形消除差异，实现联通，使其左右两侧相等，为了达到这个目的，我们经常采用以下的策略和方法：‎ ‎（1）左推右（或右推左）法：从一边开始，证明它等于另一边；‎ ‎（2）左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；‎ ‎（3）等价转化法：变更论证，采用左右相减，化除为乘等方法，转化成与原结论等价的命题形式。‎ ‎【满分训练】已知关于x的方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个实数根分别是sin θ，cos θ，求|sin θ－cos θ|的值。‎ 思路分析：根据根与系数的关系可求出sin θ＋cos θ，sin θcos θ的值，再利用平方关系求得k的值，最后求出|sin θ－cos θ|的值。‎ 答案：由题意得 ‎∴sin2θ＋cos2θ＝（sin θ＋cos θ）2－2sin θcos θ＝k2－＝1，‎ ‎∴9k2－8k－20＝0，‎ ‎∴k＝2或k＝－，‎ 当k＝2时，Δ＜0，不符合题意，舍去，‎ 当k＝－时，Δ＞0，∴k＝－，‎ 此时sin θ＋cos θ＝，‎ ‎∴|sin θ－cos θ|2＋（sin θ＋cos θ）2＝2（sin2θ＋cos2θ）＝2，‎ ‎∴|sin θ－cos θ|2＝2－＝，‎ ‎∴|sin θ－cos θ|＝。‎ 4‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 解答本题时，易忽视“Δ＞‎0”‎这一隐含条件。‎ ‎2. 要学会利用方程的思想解三角函数题，对于sin α±cos α，sin αcos α这三个式子，已知其中一个式子的值，可求其余两式的值，求值时不要忘记讨论符号。‎ 4‎