高中同步数学教案第9章 矩阵与行列式初步、程序框图 22页

‎ 第9章 矩阵和行列式初步 ‎9.1 矩阵的概念 ‎1、矩阵的概念 将方程组 中未知数的系数按原来的次序排列，写在圆括号内，可记为；若将常数项增加进去，则可记为：。‎ 上述形如、这样的矩形数表叫做矩阵。‎ ‎2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量称为列向量；由个行向量与个列向量组成的矩阵称为阶矩阵，阶矩阵可记做，如矩阵为阶矩阵，可记做；矩阵为阶矩阵，可记做。有时矩阵也可用、等字母表示。‎ ‎3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个阶矩阵中第（）行第（）列的数可用字母表示，如矩阵第3行第2个数为。‎ ‎4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如为一个阶零矩阵。‎ ‎5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有行（列），可称此方阵为阶方阵，如矩阵、均为三阶方阵。‎ ‎ 在一个阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵为2阶单位矩阵，矩阵为3阶单位矩阵。‎ ‎6、如果矩阵与矩阵的行数和列数分别相等，那么与叫做同阶矩阵；如果矩阵与矩阵是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵与矩阵叫做相等的矩阵，记为。‎ ‎7、对于方程组，矩阵叫做方程组的系数矩阵；而矩阵叫做方程组的增广矩阵。‎ 例1、已知矩阵且，求、的值及矩阵。‎ 解：由题意知：解得：，‎ 又由解得：， ‎ 例2、写出线性方程组的增广矩阵。‎ 解： ‎ 例3、已知线性方程组的增广矩阵为，写出其对应的方程组：‎ 解： ‎ 例4、已知矩阵为单位矩阵，且，求的值。‎ 解：由单位矩阵定义可知：，，‎ ‎， 。‎ ‎8、线性方程组的增广矩阵的三个基本变换：‎ ‎（1）互换矩阵的两行；‎ ‎（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；‎ ‎（3）某一行乘以一个数加到另一行。‎ ‎9、通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量就是方程组的解。‎ 例5、运用矩阵变换方法解方程组：‎ 解：‎ ‎ 即方程组的解为。‎ ‎9、2 矩阵的运算 ‎1、矩阵的加减，数乘矩阵 例1、已知，求（1）；（2）‎ 解：（1） （2）‎ 例2、已知，且，求矩阵。‎ 解：由可得：‎ 例3、下表是在某次选秀比赛中四位竞争者在各类评分中的得分情况，若评委、现场观众、及场外观众的权重分别为：，试用矩阵表示并计算这4位竞争者的综合得分，选出优胜者。‎ ‎ 评分者 得分 选手 评委 现场观众 场外观众 竞争者1‎ ‎85‎ ‎88‎ ‎90‎ 竞争者2‎ ‎88‎ ‎90‎ ‎80‎ 竞争者3‎ ‎85‎ ‎85‎ ‎95‎ 竞争者4‎ ‎90‎ ‎85‎ ‎80‎ 解：设四位选手通过评委、现场观众及场外观众的得分情况分别为矩阵、、，‎ ‎ 则，设四位选手综合得分为矩阵，则由题意知：‎ ‎ ‎ ‎ 四位竞争者的得分分别为：87.4、86.2、88、85.5，优胜者为竞争者3。‎ 例4、给出二元一次方程组存在唯一解的条件。‎ 解：原方程组对应的系数矩阵为，其中、为的两个列向量，‎ ‎ 则原方程组可表示为（）-------------（*）‎ ‎ 由平面向量的分解定理可知：当向量与不平行时，存在唯一的实数、使（*）式成立。‎ ‎ 而当与平行时，对任意、，都与或平行，因此若与平行时，则原方程组有无穷多解；若与不平行时，则原方程组无解。‎ ‎ 综上所述，与不平行是方程组存在唯一解的条件。‎ ‎2、矩阵乘法 概念：对于一个阶的矩阵和一个阶的矩阵（），若矩阵的第行的行向量与矩阵的第列的列向量（）进行数量积得到的数为矩阵的第行第个数，那么矩阵叫做矩阵和的乘积，记作。‎ 说明：‎ ‎（1）只有当矩阵的列数与矩阵的行数相等时，矩阵之积才有意义； ‎ ‎（2）在实际问题中，矩阵之积有着现实的意义。‎ ‎ ‎ 例5、已知矩阵，求和 解：‎ ‎ ‎ 例6、若，试求的值。‎ 解：，‎ ‎，即。‎ 例7、将下列线性方程组写成矩阵的形式：‎ ‎（1） （2）‎ 解：（1） （2） ‎ 例8、如果，矩阵就称为与可交换，若，求所有与可交换的矩阵。‎ 解：由题意知：矩阵必为2阶方阵，设（）‎ 则 ‎ ‎ 由可得：，（）‎ 例9、下表是在某次选秀比赛中四位竞争者在各类评分中的得分情况，若评委、现场观众、及场外观众的权重分别为：，试用矩阵表示并计算这4位竞争者的综合得分，选出优胜者。‎ ‎ 评分者 得分 选手 评委 现场观众 场外观众 竞争者1‎ ‎85‎ ‎88‎ ‎90‎ 竞争者2‎ ‎88‎ ‎90‎ ‎80‎ 竞争者3‎ ‎85‎ ‎85‎ ‎95‎ 竞争者4‎ ‎90‎ ‎85‎ ‎80‎ 解：‎ ‎ 四位竞争者的得分分别为：87.4、86.2、88、85.5，优胜者为竞争者3。‎ ‎9.3 二阶行列式 设二元一次方程组，‎ 当时，方程组有唯一解。‎ 用记号表示，即。‎ 我们将记号叫做行列式，并由于它有两行、两列，所以把它叫做二阶行列式。算式叫做此行列式的展开式；其计算结果叫做行列式的值；、、、叫做此行列式的元素。‎ 我们可将二阶行列式写成它的展开式，这种方法叫做二阶行列式展开的对角线法则。‎ 行列式一般可用大写字母表示，如：。‎ 类似地，在方程组求解公式中分子、也可分别用二阶行列式及来表示。‎ 因此当时，方程组的解可用二阶行列式表示为：。‎ 在这里，行列式叫做方程组的系数行列式；行列式和分别是用此方程组的常数项、替换行列式中的系数、和的系数、后得到的。‎ 例1、展开并化简下列行列式：‎ ‎（1） （2） ‎ 解：（1）；‎ ‎（2）。‎ 例2、用行列式解下列二元一次方程组：‎ 解：将方程组化为，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎ ，此方程组的解为。‎ ‎ ‎ ‎ 我们已经知道：当时，方程组-----（*）有唯一解，‎ ‎ 并且方程组的解可用二阶行列式表示为：。显然，此时两个方程的系数所组成的列向量与不平行。那么当时，即与平行时，方程组（*）解的情况会怎样呢？‎ 一般地，对于方程组（*），通过加减消元法可以转化为，其中、、，当时，我们可以分两种情况来研究：‎ ‎①若、中至少有一个不为零，不妨设，则无论取何值，方程都不成立，于是此时方程组（*）无解；‎ ‎②若，可证方程组（*）中的方程的所有解都满足方程，即都是方程组（*）的解，而方程有无穷多解，因此方程组（*）有无穷多解。‎ 例3、判断下列二元一次方程组的解的情况：‎ ‎（1）； （2）； （3）‎ 解：（1），原方程组有唯一解；‎ ‎（2），而 ‎ 原方程组无解；‎ ‎（3），而，‎ ‎，原方程组有无穷多解。‎ 例4、解关于、的二元一次方程组，并对解的情况进行讨论：‎ ‎ 。‎ 解：，‎ ‎（1）当即时，方程组有唯一解；‎ ‎（2）当时，此时，‎ ‎ ①当但即时，此方程组无解；‎ ‎②当即且时，此方程组有无穷多解，此时令，则原方程组的解可表示为。‎ 练习：解关于、的二元一次方程组，并对解的情况进行讨论：‎ ‎ 。‎ 解：（1）当时，方程组有唯一解；‎ ‎ （2）当时，此方程组无解；‎ ‎（3）当时，此方程组有无穷多解，。‎ ‎9.4 三阶行列式 ‎1、三阶行列式 与二元一次方程组组类似，对于三元一次方程组（其中、、为未知数，为未知数的系数且不全为零，、、‎ 为常数项）我们将这个方程组的系数排成一个方阵：（*），我们把这个三行三列方阵叫做三阶行列式。这个三阶行列式表示算式：，我们把这个算式叫做三阶行列式的展开式，其中都叫做这个行列式的元素。‎ ‎（1）按对角线法则展开 ‎ 三阶行列式的展开式可用对角线法则来理解，即：如图：按从左上至右下的对角线的乘积取“”号；按从右上至左下的对角线的乘积取“”号，而这六个结果的代数和就是三阶行列式（*）的展开式，这个展开方法叫做三阶行列式展开的对角线法则。‎ 例1、用对角线法则计算行列式：‎ 解：原式 例2、如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，求的面积公式。‎ 解：分别作、、垂直于轴，垂足分别为 ‎、、，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的面积公式为 说明：1、由上述解题可知：当、、三点共线的充要条件为；‎ ‎ 2、在本题中，如果对调某两个顶点的次序，例如对调点、点的次序，于是可推得：，由行列式的运算性质可知：‎ ‎，则按本利方法推导三角形面积公式与三个顶点的次序有关（会相差一个符号），为了应用方便，可将三角形面积公式表述为“的绝对值”。‎ ‎（2）按一行（或一列）展开 基本概念：‎ 元素的余子式。‎ 元素的代数余子式。‎ 三阶行列式按任意一行（或一列）展开 ‎ 三阶行列式可以按其任意一行（或一列）展开成该行（或该列）元素与其对应的代数余子式的乘积之和。‎ 例3：按下列要求计算行列式：‎ ‎（1）按第一行展开；‎ ‎（2）按第一列展开。‎ 解：-40。‎ ‎ ‎ 行列式的一个性质：如果将三阶行列式的某一行（或一列）的元素与另一行（或一列）的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零。‎ ‎2、三元一次方程组的行列式解法 ‎ 对于三元一次方程组 ‎ 其中、、为未知数，为未知数的系数且不全为零，、、为常数项。‎ 其系数行列式； 又 ‎ ‎ 则方程组可化为，‎ 可知，当时，方程组有唯一解；‎ ‎ 当时，方程组无解或有无数组解。‎ 例4：用行列式解三元一次方程组：‎ 解：‎ 例5：求关于的方程组：有唯一解的条件，并在此条件下写出该方程组的解。‎ 解：当时，原方程组有唯一解。‎ 算法举例：‎ ‎1、执行如图所示的程序框图,输出的S值为 8 .‎ k=0,S=1‎ k<3‎ 开始 结束 是 否 k=k+1‎ 输出S S=S× ‎ ‎ ‎ ‎2、阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果____9______.‎ ‎3、执行如图所示的程序框图,若输入的值为8,则输出的值为___8___.‎ 是 否 输入 输出 结束 开始 n