2020年高中数学第一章解三角形1 5页

‎1.1.1‎‎ 正弦定理 ‎[课时作业]‎ ‎ [A组　基础巩固]‎ ‎1．在△ABC中，a＝7，c＝5，则sin A∶sin C的值是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由正弦定理得sin A∶sin C＝a∶c＝7∶5＝.‎ 答案：A ‎2．在△ABC中，A＝30°，a＝3，则△A BC的外接圆半径是(　　)‎ A. B．3‎ C．3 D．6‎ 解析：△ABC的外接圆直径2R＝＝＝6，∴R＝3.‎ 答案：B ‎3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝(　　)‎ A. B．1‎ C. D．2‎ 解析：C＝180°－105°－45°＝30°，由正弦定理：＝，得c＝·sin C＝·sin 30°＝2.‎ 答案：D ‎4．以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是(　　)‎ A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B．在△ABC中，若sin ‎2A＝sin 2B，则a＝b C．在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B；若A＞B，则sin A＞sin B都成立 D．在△ABC中，＝ 解析：对于A：a∶b∶c＝2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C＝sin A∶sin B∶sin C，∴A正确．对于B：∵sin 2B＝sin(π－2B)，∴sin ‎2A＝sin(π－2B)也成立，此时‎2A＝π－2B，∴A＋B 5‎ ‎＝，∴A＝B不一定成立，∴a＝b不一定成立．∴B不正确．对于C：①若A，B均为锐角，结论显然成立．②若A，B中有一钝角，则A>B时，B<π－A<90°，∴sin Bsin B时，sin(π－A)>sin B，∴C正确．由等比定理知：D正确．‎ 答案：B ‎5．若＝＝，则△ABC是(　　)‎ A.等边三角形 B．直角三角形，且有一个角是30°‎ C．等腰直角三角形 D．等腰三角形，且有一个角是30°‎ 解析：由正弦定理：＝，∴sin B＝cos B，‎ ‎∴sin B－cos B＝0，即sin(B－45°)＝0，‎ ‎∴B＝45°，同理C＝45°.‎ ‎∴A＝90°.‎ 答案：C ‎6．在△ABC中，若B＝30°，b＝2，则＝________.‎ 解析：＝＝＝4.‎ 答案：4‎ ‎7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝，C＝，则A＝________.‎ 解析：由正弦定理：sin A＝·sin C＝·sin 60°＝，‎ ‎∵aa，∴C>A.‎ ‎∴A＝45°.‎ ‎∴B＝75°，‎ b＝＝＝＋1.‎ ‎10．在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin‎2A＝sin2B＋sin‎2C，试判断△ABC的形状．‎ 解析：∵sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)‎ ‎＝sin Bcos C＋cos Bsin C，‎ ‎∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，即sin Bcos C－cos Bsin C＝0.‎ ‎∴sin(B－C)＝0，∴B－C＝0，即B＝C①‎ ‎∵sin‎2A＝sin2B＋sin‎2C，∴a2＝b2＋c2，②‎ 由①②：△ABC是等腰直角三角形．‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．在△ABC中，若(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C＝(　　)‎ A．2∶3∶4 B．3∶4∶5‎ C．6∶5∶4 D．7∶5∶3‎ 解析：∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，‎ ‎∴设b＋c＝4k时，a＋c＝5k，a＋b＝6k，‎ 解之得：a＝k，b＝k，c＝k，‎ 由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝k∶k∶k＝7∶5∶3.‎ 答案：D ‎2．已知△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是(　　)‎ A．x>2 B．x<2‎ C．2b，试求角B和角C.‎ 解析：∵f(x)＝cos－cos 2x ‎＝sin 2x－cos 2x＝sin，‎ ‎∴f＝sin＝－，‎ 5‎ ‎∴sin＝－.‎ ‎∵0