黑龙江省哈六中2020届高三上学期期末考试 数学（文）试题 9页

哈尔滨市第六中学校2019-2020学年度上学期期末 高三文科数学 考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．‎ ‎（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；‎ ‎（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；‎ ‎（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；‎ ‎（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．‎ 参考公式：‎ 柱体体积公式，其中为底面面积，为高；锥体体积公式，其中为底面面积，为高.‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1.已知复数，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎2.已知集合，集合，则集合的子集个数为（ ）‎ ‎ 1 2 4 8 ‎ ‎3.已知向量满足，则（ ）‎ ‎ 2 ‎ ‎4.已知函数，则函数的最小正周期和最大值分别为（ ）‎ 和 和 ‎ 和 和 ‎ ‎5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，‎ ‎·9·‎ 请问第二天走了（ ）‎ ‎24里 48里 96里 192里 ‎6.已知函数，则函数在处的切线方程为（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎7.设函数，若，则实数的值为（ ）‎ ‎ 或 或 ‎8.已知双曲线的左右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，若，,则的长为（ ） ‎ ‎ ‎ ‎9.若数列是等差数列，其公差，且，则=（ ）‎ ‎18 ‎ ‎10.已知三棱柱，棱面，是边长为2的等边三角形，且，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ ‎ ‎ ‎11.已知圆,过直线上第一象限内的一动点作圆的两条切线，切点分别为,过两点的直线与坐标轴分别交于两点，则面积的最小值为（ ）‎ ‎ ‎ ‎12.已知函数存在极值，若这些极值的和大于，则实数的取值范围为（ ）‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．‎ ‎·9·‎ ‎13.已知，则的最小值是 ； ‎ ‎14.某班随机抽查了两组各10名学生的数学成绩，分数制成如图的茎叶图，‎ 试比较两组学生的平均分 ；（用“>”或“<”或“=”连接）‎ ‎15.已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点，且与抛物线交于两点，则的面积为；‎ ‎16.水平放置一个底面半径为‎20cm，高为‎100cm的圆柱形水桶（不计水桶厚度），内装高度为‎50cm的水，现将一个高为‎10cm圆锥形铁器放入水桶中并完全没入水中(圆锥的底面半径小于‎20cm),圆柱形水桶的水面高度上升了‎2.5cm,则圆锥形铁器的侧面积为.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 在中，设边所对的角分别为，.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若的面积为，求的值.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 在三棱锥中，是的重心，平面，且在棱上，满足，，（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.‎ ‎·9·‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎2020年哈尔滨市第六中学为了响应市政府倡议的“百万青少年上冰雪”活动的号召.开展了丰富的冰上体育兴趣课，为了了解学生对冰球的兴趣，随机从该校高三年级抽取了100名学生进行调查，其中男生和女生中对冰球运动有兴趣的人数比是3: 2，男生有15人对冰球没有兴趣，占男生人数的.‎ （1） 从被调查的对冰球有兴趣的学生中抽取男生3人，女生2人，再从中抽取2人，求抽到的都是女生的概率.‎ （2） 完成联表，并回答能否有的把握认为“性别与对冰球是否有兴趣有关”？‎ 有兴趣 没兴趣 合计 男 女 合计 附表：‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎，其中 ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知函数 （1） 讨论函数的单调性；‎ （2） 若函数在上有两个零点，求的取值范围.‎ ‎·9·‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系中，已知动点与到定点距离到定直线的距离比为.‎ ‎（Ⅰ）求动点轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，若轨迹上存在点，使,求直线的方程.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分．‎ ‎22.（本小题满分10分）‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程，并求出曲线与公共弦所在直线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若射线与曲线交于两点，与曲线交于两点，且，求的值.‎ ‎23.（本小题满分10分）‎ 选修4—5：不等式选讲 设（）‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围.‎ ‎·9·‎ 期末文数答案 一、选择题 ACDBC ABDBC BA 二、 填空题 ‎13.3 14.< 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.（本小题满分12分）‎ 解：（1）由正弦定理可得：‎ ‎————————3分 ‎————————4分 ‎————————5分 ‎————————6分 ‎（2）将，，代入可得————————9分 由余弦定理可得————————————12分 18. ‎（本小题满分12分）‎ （1） 证明：连接，连接并延长交于点，连接，‎ 是的重心，，又，————————2分 又平面，————————————3分 且平面————————————4分 平面————————————6分 由（1）可知平面，所以————————————8分 且平面，为三棱锥的高，————————————9分 则————————————10分 ‎————————————12分 ‎19.（本小题满分12分）‎ 解：‎ ‎（1）设“抽到的都是女生 ”为事件——————————1分 不妨设3个男生分别是：，两个女生分别为：‎ 从中任选两人有：，，，，，，，，‎ ‎·9·‎ ‎，‎ 共10种，——————————3分 其中都是女生：共1种，‎ 则——————————4分 ‎（2）男生总数：人，男生中有兴趣的人——————————5分 女生中有兴趣的——————————6分 有兴趣 没兴趣 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 女 ‎20‎ ‎35‎ ‎55‎ 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎ ——————————8分 ‎——————————11分 有的把握认为“性别与对冰球是否有兴趣有关”——————————12分 20. ‎（本小题满分12分）‎ （1） ‎——————————1分 当时，的单调增区间为；减区间为——————————2分 ‎ 当时，的单调增区间为，无减区间；——————————3分 ‎ 当时，的单调增区间为；减区间为——————————4分 （2） ‎，将变量与参数分开得：‎ ‎——————————5分 令 ‎，——————————6分 可得的单调减区间是，单调减区间是，即是极小值点（需列表）—————8分 ‎——————————9分 ‎·9·‎ ‎——————————10分 即——————————12分 20. ‎（本小题满分12分）‎ 解（Ⅰ）设因为，到定点的距离与到定直线的距离之比为，所以有——————————————2分 代入得————————————4分 ‎ （Ⅱ）由题意直线斜率存在，设 （2） 联立方程得，，，∴恒成立 ‎∴，---------5分 ‎ ‎,所以 代入椭圆有，又，————————6分 得 ‎，——————————————————9分 得 代入得——————————————11分 直线方程：—————————12分 ‎22．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为—————————2分 ‎，，得————————3分 ‎·9·‎ 所在直线的极坐标方程,（或和）——————5分 ‎（Ⅱ）把，代入，，‎ 得；——------6分 ‎ 又，则，——————9分 所以------10分 ‎23.（本小题满分10分）‎ ‎（Ⅰ）证明：；——————5分 ‎（Ⅱ）————————7分 ‎————————10分 ‎·9·‎