2021新高考数学二轮复习：三角函数与解三角形（共3讲） 125页

3.1 　三角函数小题专项练 第三部分 2021 考 情 分 析 　　 从 2020 年新高考山东卷和 2020 年山东新高考模拟卷对三角函数与解三角形的考查来看 , 考查的力度在增强 , 这是由于新高考删除了选做题 , 使三角函数与解三角形成为新高考全国卷六大解答题的必选内容 , 在命题数量上 “ 一大二小 ” 的趋势比较明显 , 主要考查三角函数的图象和性质、三角变换、解三角形 . 另外三角函数及解三角形题和数列题会交替处在解答题的第一题或第二题的位置上 , 考查难度处在中等 , 这两个题目会有一道题设计成 “ 结构不良 ” 试题 , 这种新题型的条件具有开放性 , 给考生以更多的选择性 . 在核心素养的考查上主要是考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养 . 内容索引 01 02 必备知识 精要梳理 考向训练 限时通关 必备知识 精要梳理 3 . 三角函数的图象与性质 4 . 三角函数的图象向左或向右平移 φ ( φ > 0) 个单位长度 , 得到的三角函数式为将原式中的 x 分别变为 x+ φ 和 x- φ . 考向训练 限时通关 考向一 三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系 1 . (2020 全国 Ⅱ , 理 2) 若 α 为第四象限角 , 则 ( 　　 ) A.cos 2 α > 0 B.cos 2 α < 0 C.sin 2 α > 0 D.sin 2 α < 0 答案 D 　 解析 ∵ α 为第四象限角 , ∴ sin α < 0,cos α > 0, ∴ sin 2 α = 2sin α cos α < 0 . 故选 D . 2 . (2020 北京 ,10)2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日 ( π Day) . 历史上 , 求圆周率 π 的方法有多种 , 与中国传统数学中的 “ 割圆术 ” 相似 . 数学家阿尔 · 卡西的方法是 : 当正整数 n 充分大时 , 计算单位圆的内接正 6 n 边形的周长和外切正 6 n 边形 ( 各边均与圆相切的正 6 n 边形 ) 的周长 , 将它们的算术平均数作为 2 π 的近似值 . 按照阿尔 · 卡西的方法 , π 的近似值的表达式是 ( 　　 ) 答案 A 答案 D 答案 D 　 考向二 三角函数的图象与性质 答案 C 　 6 . ( 多选 ) (2020 山东 ,10) 右图是函数 y= sin( ω x+ φ ) 的部分图象 , 则 sin( ω x+ φ ) = ( 　　 ) 答案 BC 7 . ( 多选 )(2020 山东潍坊二模 ,11) 在单位圆 O : x 2 +y 2 = 1 上任取一点 P ( x , y ), 圆 O 与 x 轴正向的交点是 A , 设将 OA 绕原点 O 旋转到 OP 所成的角为 θ , 记 x , y 关于 θ 的表达式分别为 x=f ( θ ), y=g ( θ ), 则下列说法正确的是 ( 　　 ) A. x=f ( θ ) 是偶函数 , y=g ( θ ) 是奇函数 答案 ACD 解析 由题意 , 得 x=f ( θ ) = cos θ , y=g ( θ ) = sin θ , 由正、余函数的奇偶性 , 知选项 A 正确 ; 由正、余弦函数的单调性 , 知选项 B 错误 ; f ( θ ) +g ( θ ) ≥ 1, 即 sin θ + cos θ ≥ 1, 由正、余弦函数在第一象限的三角函数线 , 知选项 C 正确 ; 函数 t= 2 f ( θ ) +g (2 θ ) = 2cos θ + sin 2 θ , θ ∈ [0,2 π ], 则 t'=- 2sin θ + 2cos 2 θ =- 2sin θ + 2(1 - 2sin 2 θ ) =- 2(2sin θ - 1)(sin θ + 1), 8 . ( 多选 )(2020 山东济宁 6 月模拟 ,11) 已知函数 f ( x ) = sin[cos x ] + cos[sin x ], 其中 [ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数 , 下列关于 f ( x ) 的结论正确的是 ( 　　 ) B. f ( x ) 的一个周期是 2 π C. f ( x ) 在 (0, π ) 内单调递减 D. f ( x ) 的最大值大于 答案 ABD 9 . (2020 全国 Ⅲ , 理 16) 关于函数 f ( x ) = sin x+ 有如下四个命题 : ① f ( x ) 的图象关于 y 轴对称 . ② f ( x ) 的图象关于原点对称 . ③ f ( x ) 的图象关于直线 x= 对称 . ④ f ( x ) 的最小值为 2 . 其中所有真命题的序号是 　　　　　 .   答案 ②③ 考向三 三角函数图象的变换 答案 B 答案 ABD 14 . (2020 山东潍坊一模 ,15) 已知函数 f ( x ) =A sin( ω x+ φ )( A> 0, ω > 0,0 < φ < π ) 是偶函数 , 将 y=f ( x ) 的图象沿 x 轴向左平移 个单位长度 , 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 ( 纵坐标不变 ), 所得图象对应的函数为 y=g ( x ) . 已知 y=g ( x ) 的图象的相邻对称中心之间的距离为 2 π . 若 y=g ( x ) 的图象在其某对称轴处对应的函数值为 - 2, 则 g ( x ) 在 [0, π ] 上的最大值为 　　　　　 .   3.2 　三角变换与解三角形专项练 第三部分 2021 内容索引 01 02 必备知识 精要梳理 考向训练 限时通关 必备知识 精要梳理 1 . 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ; cos( α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β ; 2 . 二倍角公式 sin 2 α = 2sin α cos α ; cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α = 2cos 2 α - 1 = 1 - 2sin 2 α ; 3 . 降幂公式 4 . 正弦、余弦定理 考向训练 限时通关 考向一 两角和与差的公式的应用 A. - 2 B. - 1 C.1 D.2 答案 D 　 解析 由已知得 2tan θ - = 7, 即 tan 2 θ - 4tan θ + 4 = 0, 解得 tan θ = 2. 答案 B 3 . (2020 湖南师大附中一模 , 理 7) 已知 α 为锐角 , 且 cos α (1 + tan 10 ° ) = 1, 则 α 的值为 ( 　　 ) A.20 ° B.40 ° C.50 ° D.70 ° 答案 B 4 . (2020 全国 Ⅰ , 理 9) 已知 α ∈ (0, π ), 且 3cos 2 α - 8cos α = 5, 则 sin α = ( 　　 ) 答案 A 考向二 三角函数与三角变换的综合 6 . 已知函数 f ( x ) =a sin x+b cos x ( x ∈ R ), 若 x=x 0 是函数 f ( x ) 图象的一条对称轴 , 且 tan x 0 = 3, 则 a , b 应满足的表达式是 ( 　　 ) A. a=- 3 b B. b=- 3 a C. a= 3 b D. b= 3 a 答案 C 7 . 已知函数 f ( x ) = 2cos 2 x- sin 2 x+ 2, 则 ( 　　 ) A. f ( x ) 的最小正周期为 π , 最大值为 3 B. f ( x ) 的最小正周期为 π , 最大值为 4 C. f ( x ) 的最小正周期为 2 π , 最大值为 3 D. f ( x ) 的最小正周期为 2 π , 最大值为 4 答案 B 答案 AB 9 . (2020 北京 ,14) 若函数 f ( x ) = sin( x+ φ ) + cos x 的最大值为 2, 则常数 φ 的一个取值为 　　　　　 .   考向三 解三角形 答案 C 11 . ( 多选 ) 对于 △ ABC , 有如下判断 , 其中正确的判断是 ( 　　 ) A. 若 sin 2 A= sin 2 B , 则 △ ABC 为等腰三角形 B. 若 A>B , 则 sin A> sin B C. 若 a= 8, c= 10, B= 60 ° , 则符合条件的 △ ABC 有两个 D. 若 sin 2 A+ sin 2 B< sin 2 C , 则 △ ABC 是钝角三角形 答案 BD 　 解析 对于 A, 若 sin 2 A= sin 2 B , 则 2 A= 2 B 或 2 A+ 2 B= π , 当 A=B 时 , △ ABC 为等腰三角形 , 当 A+B= 时 , △ ABC 为直角三角形 , 故 A 不正确 ; 对于 B, 若 A>B , 则 a>b , 由正弦定理得 sin A> sin B 成立 , 故 B 正确 ; ∴ C 为钝角 , ∴ △ ABC 是钝角三角形 , 故 D 正确 . 故选 BD . 答案 BCD 13 . ( 多选 ) 在 △ ABC 中 , 下列命题正确的有 ( 　　 ) A. 若 A= 30 ° , b= 4, a= 5, 则 △ ABC 有两解 B. 若 0 < tan A ·tan B< 1, 则 △ ABC 一定是钝角三角形 C. 若 cos( A-B )cos( B-C )cos( C-A ) = 1, 则 △ ABC 一定是等边三角形 D. 若 a-b=c ·cos B-c ·cos A , 则 △ ABC 是等腰或直角三角形 答案 BCD 因为 cos( A-B )cos( B-C )cos( C-A ) = 1, 所以 cos( A-B ) = cos( B-C ) = cos( C-A ) = 1, 所以 A=B=C= 60 ° , 故 C 正确 ; 因为 a-b=c· cos B-c· cos A , 所以 sin A- sin B= sin C cos B- sin C cos A , 所以 sin A- sin C cos B= sin B- sin C cos A. 又因为 sin A= sin( B+C ) = sin B cos C+ cos B sin C ,sin B= sin( A+C ) = sin A cos C+ cos A sin C , 所以 sin B cos C= sin A cos C , 所以 sin A= sin B 或 cos C= 0, 14 . (2020 全国 Ⅰ , 理 16) 如图 , 在三棱锥 P-ABC 的平面展开图中 , AC= 1, AB=AD= , AB ⊥ AC , AB ⊥ AD , ∠ CAE= 30 ° , 则 cos ∠ FCB= 　　　　 .   15 . (2020 河南实验中学 4 月模拟 ,14) 如图 , 为测量出高 MN , 选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点 , 从点 A 测得点 M 的仰角 ∠ MAN= 60 ° , 点 C 的仰角 ∠ CAB= 45 ° 以及 ∠ MAC= 75 ° ; 从 C 点测得 ∠ MCA= 60 ° . 已知山高 BC= 100 m, 则山高 MN= 　　　　　 m .   答案 150 16 . (2020 山东 ,15) 某中学开展劳动实习 , 学生加工制作零件 , 零件的截面如图所示 .O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心 , A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点 , B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点 , 四边形 DEFG 为矩形 , BC ⊥ DG , 垂足为 C ,tan ∠ ODC= , BH ∥ DG , EF= 12 cm, DE= 2 cm, A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm, 圆孔半径为 1 cm, 则图中阴影部分的面积为 　　　　　 cm 2 .   解析 作 OM ⊥ CG 交 CG 于点 M , AP ⊥ OH 交 OH 于点 P , AQ ⊥ CG 交 CG 于点 Q , 图略 . 设 OM= 3 x , 则 DM= 5 x , ∴ OP=MQ= 7 - 5 x , ∴ AP= 7 - 2 - 3 x= 5 - 3 x , 3.3 　三角大题　三角变换与解三角形 第三部分 2021 内容索引 01 02 必备知识 精要梳理 关键能力 学案突破 03 核心素养微专题 ( 三 ) 必备知识 精要梳理 1 . 三角函数恒等变换 “ 四大策略 ” (1) 常值代换 : 特别是 “1” 的代换 ,1 = sin 2 θ + cos 2 θ = tan 45 ° 等 . (2) 角的配凑 : 如 α = ( α + β ) - β ,2 α = ( α + β ) + ( α - β ); α = [( α + β ) + ( α - β )] . (3) 降次与升次 : 正用二倍角公式升次 , 逆用二倍角公式降次 . (4) 弦、切互化 : 一般是切化弦 . 2 . 解三角形的公式变形 3 . 三个等价关系 在 △ ABC 中 , a>b ⇔ sin A> sin B ⇔ A>B. 关键能力 学案突破 热点一 三角函数与三角变换的综合 【例 1 】 (2020 北京海淀二模 ,17) 已知函数 f ( x ) = 2cos 2 ω 1 x+ sin ω 2 x. (1) 求 f (0) 的值 ; (2) 从 ① ω 1 = 1, ω 2 = 2; ② ω 1 = 1, ω 2 = 1 这两个条件中任选一个 , 作为题目的已知 解 (1) f (0) = 2cos 2 0 + sin 0 = 2. (2) 方案一 : 选条件 ① .f ( x ) 的一个周期为 π . 解题心得 1 . 解决三角变换在三角函数图象与性质中的应用的基本思路是 : 通过变换把函数化为 y=A sin( ω x+ φ ) 的形式再研究其性质 , 解题时注意观察角、名、结构等特征 , 注意利用整体思想解决相关问题 . 2 . 三角变换的总体思路是化异为同 , 目的是通过消元减少未知量的个数 . 如把三角函数式中的异名、异角、异次化为同名、同角、同次 , 或把未知角用已知角表示 , 或把未知角通过三角变换化成已知角 . (1) 求函数 f ( x ) 的解析式及最小正周期 ; (2) 若关于 x 的方程 f ( x ) = 1 在区间 [0, m ] 上有两个不同解 , 求实数 m 的取值范围 . 从 ① f ( x ) 的最大值为 1, ② f ( x ) 的图象与直线 y=- 3 的两个相邻交点的距离等于 π , ③ f ( x ) 的图象过点 这三个条件中选择一个 , 补充在上面问题中并作答 . (2) 由 (1) 知 , 函数 f ( x ) 的最大值为 1. 因为关于 x 的方程 f ( x ) = 1 在区间 [0, m ] 上有两个不同解 , 热点二 利用正弦定理、余弦定理解三角形 解 方案一 : 选条件 ① . 解题心得 1 . 已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形 , 正弦定理的形式多样 , 其中 a= 2 R sin A , b= 2 R sin B , c= 2 R sin C ( R 为三角形外接圆的半径 ) 能够实现边角互化 . 2 . 已知两边和它们的夹角或已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形 , 在运用余弦定理时 , 要注意整体思想的运用 . 3 . 已知两角和一边 , 该三角形是确定的 , 其解是唯一的 ; 已知两边和一边的对角 , 该三角形具有不唯一性 , 通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断 . 热点三 三角函数与解三角形的综合 所以 f ( x ) 的最大值为 3, 即 c= 3. 若选 ① , 由 a cos B+b cos A= 2 c cos C 及正弦定理可得 sin A cos B+ sin B cos A= 2sin C cos C , 即 sin( A+B ) = 2sin C cos C , 解题心得 对于在三角形中求解有关三角函数的图象和性质的题目 , 时刻不要忘记对角的范围的限制 , 特别是求三角函数值的范围或最值时 , 先要把自变量的取值范围求出来 , 再利用三角函数的单调性或利用三角函数线确定函数值的范围 . 【对点训练 3 】 (2020 山东烟台模拟 ,17) 已知函数 f ( x ) = 1 - 2 sin x cos x- 2cos 2 x+m 在 R 上的最大值为 3 . (1) 求 m 的值及函数 f ( x ) 的单调递增区间 ; (2) 若在锐角三角形 ABC 中 , 角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c 且 f ( A ) = 0, 求 的取值范围 . 热点四 三角变换与解三角形的综合 【例 4 】 (2020 天津 ,16) 在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c. 已知 (1) 求角 C 的大小 ; (2) 求 sin A 的值 ; 解题心得 在含有边角关系的等式中 , 利用正弦定理的变形 a= 2 R sin A , b= 2 R sin B , c= 2 R sin C , R 为三角形外接圆的半径 , 可直接将等式两边的边化为角 ; 也能利用余弦定理的变形如 cos A= 将角化为边 . 在三角形中利用三角变换求三角式的值时 , 要注意角的范围的限制 , 还有隐含条件 : A+B+C= π , 使用这个隐含条件可以减少未知数的个数 . 【对点训练 4 】 (2020 全国 Ⅰ , 文 18) △ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c. 已知 B= 150 ° . 热点五 三角函数、三角变换与解三角形的综合 【例 5 】 (2020 全国 Ⅱ , 理 17) △ ABC 中 ,sin 2 A- sin 2 B- sin 2 C= sin B sin C. (1) 求 A ; (2) 若 BC= 3, 求 △ ABC 周长的最大值 . 解题心得 关于三角函数、三角变换与解三角形的综合题的解题思路 , 一般是由正弦定理、余弦定理求出某个量作为下面问题的已知量 , 然后利用三角变换 , 将所求的量化为 f ( x ) =A sin( ω x+ φ ) 或 f ( x ) =A cos( ω x+ φ ) 的形式 , 最终求出结果 . 【对点训练 5 】 (2020 浙江 ,18) 在锐角 △ ABC 中 , 角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , 已知 2 b sin A- a= 0 . (1) 求角 B 的大小 ; (2) 求 cos A+ cos B+ cos C 的取值范围 . 核心素养微专题 ( 三 ) 核心素养在三角应用和三角综合题中的考查 【例 1 】 ( 多选 )(2020 山东济南三模 ,10) 台球运动已有五六百年的历史 , 参与者用球杆在台上击球 , 如图 , 有一张长方形球台 ABCD , AB= 2 AD , 现从角落 A 沿角 α 的方向把球打出去 , 假设和光线一样 , 台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律 . 若球经 2 次碰撞球台边框后恰好进入角落 C 的球袋中 , 则 tan α 的值为 ( 　　 ) 答案 AD 　 解析 因为 AB= 2 AD , 现从角落 A 沿角 α 的方向把球打出去 , 球经 2 次碰撞球台边框后恰好进入角落 C 的球袋中 , 有两种情况 , 一种是球先和球台边框 DC 碰撞 , 另一种是球先和球台边框 BC 碰撞 , 第一种情况如图 , A 关于 DC 的对称点为 E , C 关于 AB 的对称点为 F. 第二种情况如图 , A 关于 BC 的对称点为 G , C 关于 AD 的对称点为 E. 核心素养分析 本例考查考生多个核心素养 , 首先需要考生在读懂题意的基础上 , 通过 “ 直观想象 ” 得到两种不同的碰撞情况 ; 然后利用物理学中光的反射定律 , 通过 “ 数学抽象 ” 得到关于角 α 所在的直角三角形 ; 再通过 “ 数学建模 ” 将问题转化为三角函数的模型 ; 最后通过 “ 数学运算 ” 得出答案 . 【例 2 】 (2020 山东淄博 4 月模拟 ,18) 已知 A , B 分别在射线 CM , CN ( 不含端点 C ) 上运动 , ∠ MCN= , 在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c. (1) 若 a , b , c 依次成等差数列 , 且公差为 2 . 求 c 的值 ; (2) 若 c= , ∠ ABC= θ , 试用 θ 表示 △ ABC 的周长 , 并求周长的最大值 . 核心素养分析 本例题是一道跨章节的综合题 , 在解三角形的题境下 , 将等差数列与余弦定理的知识相结合 , 将函数和正弦定理的知识相结合 , 应用到一个问题中 . 使三角形的周长的最值问题通过建立三角函数模型得到解决 . 考查了 “ 数学建模 ”“ 数学运算 ” 素养和知识的应用能力、迁移能力 , 同时也考查了方程与函数的思想 .