2020高中数学 第一章 三角函数任意角 5页

任意角、弧度 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 任意角、弧度 ‎1. 理解任意角、弧度制的概念；‎ ‎2. 掌握象限角、终边相同的角及区间角的表示方法；掌握弧长公式和扇形面积公式 选择题 填空题 ‎ 任意角、弧度是是学习三角函数的基础，在高考题中多以选择填空形式出现。‎ 二、重难点提示 重点：象限角的概念及终边相同的角的含义；进行弧度与角度的互化；弧长和面积公式及应用。‎ 难点：角的集合与实数之间的一一对应关系；弧度的概念及其与角度的关系。‎ 一、任意角、象限角及终边相同的角的概念 ‎1. 一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边。‎ 其中，按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如果射线没有做任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角。‎ 注意：角的方向影响角的正负。‎ ‎2. 象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴非负半轴，建立平面直角坐标系。这样，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角。‎ 注意：‎ ‎（1）角的始边“与轴的非负半轴重合”不能说成是“与轴的正半轴重合”。因为轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线。‎ ‎（2）如果角的顶点不与坐标原点重合，或者角的始边不与轴正半轴重合，则不能判断角在哪一个象限，也就是说不能称之为象限角。‎ ‎（3）如果一个角的终边落在坐标轴上，我们称该角为轴线角。‎ ‎3. 终边相同的角：一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}。‎ 注意：‎ ‎（1）其中为任意角。‎ ‎（2）相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。‎ ‎（3）这一条件不可少。‎ 易错点：准确区分锐角、到的角、小于 的角、第一象限角 5‎ ‎（1）锐角是指。‎ ‎（2）到的角是指。‎ ‎（3）小于的角是指，显然包括角和负角。‎ ‎（4）第一象限角是指。‎ 二、弧度制的概念、弧度与角度的互化以及弧度制下的扇形的弧长及面积公式 ‎1. 弧度制：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制。‎ ‎【核心归纳】当角的大小一定时，不论这个角所对的圆弧的半径是多少，弧长与半径的比值总是一个定值，它仅与圆心角的大小有关，所以我们可以用弧长与半径的比值来度量角的大小。即|α|＝。即当圆心角一定时，圆心角所对的弧长与半径成正比，与所取半径无关。‎ 另外弧度制下的角的单位“弧度”可以省略，但角度制下的角的单位“度（）”不可以省略。‎ ‎2.（1）将角度化为弧度 ‎；；‎ ‎（2）将弧度化为角度 ‎；；‎ ‎【难点剖析】‎ ‎（1）1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或弧）的大小，而是圆的所对的圆心角（或弧）的大小。‎ ‎（2）不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值。‎ ‎（3）用角度制和弧度制来度量零角，虽然单位不同，但量数相同，对于其他非零角度，由于单位不同，量数也就不同了。‎ ‎3. 扇形的弧长及面积公式 ‎（1）弧度制下的弧长公式 l是圆心角α所对的弧长，r是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝，弧长l＝|α|r，特别地，当r＝1时，弧长l＝|α|；‎ ‎（2）扇形面积公式 在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r，圆心角为α的扇形的面积为S＝·πr2＝|α|r2＝lr。‎ 注意：弧度制和角度制一样，只是一种度量角的方法。弧度制与角度制相比有一定的优点：其一是在进位上，角度制在度、分、秒上是60进制，不便于计算；其二是在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式远比角度制下的公式简单，运算方便。‎ 5‎ 例题1 已知α为第一象限角，求2α，，所在的象限。‎ 思路分析：‎ 答案：∵α为第一象限角，‎ ‎∴360°·k＜α＜360°·k＋90°，k∈Z，‎ ‎∴360°·2k＜2α＜360°·2k＋180°，k∈Z，‎ ‎∴2α是第一或者第二象限角，或是终边在y轴正半轴上的角，‎ ‎∵180°·k＜＜180°·k＋45°，k∈Z，‎ 当k为奇数时，是第三象限角；‎ 当k为偶数时，是第一象限角；‎ ‎∴为第一或第三象限角，‎ 又∵120°·k＜＜120°·k＋30°，k∈Z，‎ 当k＝3n（k∈Z）时，360°·n＜＜360°·n＋30°，n∈Z，‎ ‎∴是第一象限角；‎ 当k＝3n＋1（k∈Z）时，360°·n＋120°＜＜360°·n＋150°，n∈Z，∴是第二象限角；‎ 当k＝3n＋2（k∈Z）时，360°·n＋240°＜＜360°·n＋270°，n∈Z，∴是第三象限角；‎ ‎∴为第一、第二或第三象限角。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 用不等式表示象限角的集合是解决这类问题的基本方法。‎ ‎2. α，，2α终边位置关系：‎ α 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 第一、三象限 第一、三象限 第二、四象限 第二、四象限 ‎2α 第一、二象限或y轴的正半轴 第三、四象限或y轴的负半轴 第一、二象限或y轴的正半轴 第三、四象限或y轴的负半轴 另外，对于的判断还有另外一种判断方法——八卦图法 5‎ ‎（1）所在象限的判断方法 第一步：画出直角坐标系，如图，将每一象限二等分；‎ 第二步：标号，从靠近轴正半轴的第一象限区域内开始，按逆时针方向，在图中依次标上1、2、3、4、1、2、3、4； ‎ 第三步：选号，因为为第一象限角，在图中将1的范围画出，可用阴影表示；‎ 第四步：定象限，阴影在哪一象限，的终边就在哪一象限，若需写出的集合，也可根据终边所在阴影区域写出。‎ 由以上步骤可知，若为第一象限角，则为第一或第三象限角。‎ ‎（2）所在象限的判断方法 第一步：画出直角坐标系，如图，将每一象限三等分；‎ 第二步：标号，从靠近轴正半轴的第一象限区域内开始，按逆时针方向，在图中依次标上1、2、3、4、1、2、3、4、1、2、3、4； ‎ 第三步：选号，因为为第一象限角，在图中将1的范围画出，可用阴影表示；‎ 第四步：定象限，阴影在哪一象限，的终边就在哪一象限，若需写出的集合，也可根据终边所在阴影区域写出。‎ 由以上步骤可知，若为第一象限角，则为第一、第二或第三象限角。‎ 例题2 一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？‎ 思路分析：‎ 5‎ ‎ 答案：设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则l＝αr，‎ 依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，‎ ‎∴α＝，‎ 由l＝20－2r>0及r>0得0