高考数学专题复习：解析几何精选精练 35页

‎1. 已知直线l：y=x+m，m∈R。‎ ‎（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；‎ ‎（II）若直线l关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。‎ ‎2.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）是否存在平行于OA的直线，使得直线与椭圆C有公共点，且直线OA与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。 【解析】（1）依题意，可设椭圆C的方程为，且可知左焦点为 ‎【编号】1904 【难度】一般 ‎3. 已知两定点，满足条件的点P的轨迹是曲线C，直线与曲线C交于A、B两点．‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，求实数的值 ‎【答案】解：（1）由双曲线的定义知，曲线C是以为焦点的双曲线的右支．‎ ‎∵，∴，∴曲线C的方程为．‎ 由，消去得，‎ 设，则，解得．‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ ‎（2）由 ‎，整理得，解得或．‎ ‎∵，∴为所求．‎ ‎【编号】1020 【难度】一般 ‎4 ．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.‎ ‎(1) 求k的取值范围；‎ ‎(2) 设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量 与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】解:　(1) 由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，‎ 代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.‎ 整理得x2＋2kx＋1＝0.①‎ 直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，‎ 解得k<－或k>.‎ 即k的取值范围为∪.‎ ‎(2) 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， ‎ 则 由方程①得x1＋x2＝－. ②‎ 又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2，③‎ 而 所以 与共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)，‎ 将②③代入上式，解得k＝.‎ 由(1)知k<－或k>，故没有符合题意的常数k.‎ ‎【编号】3696 【难度】一般 ‎5. 已知长方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图所示的平面直角坐标系.‎ ‎(Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;‎ A B C D ‎（Ⅱ）过点P(0,2)的直线交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.‎ ‎6. 已知椭圆M:=1(a>b>0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2，‎ ‎(1)试求椭圆M的方程；‎ ‎(2)若斜率为的直线l与椭圆M交于C、D两点，点P(1，)为椭圆M上一点，记直线PC的斜率为k1,直线PD的斜率为k2，试问：k1+k2是否为定值？试证明你的结论.‎ ‎【答案】【解析】(1)a=2,c=1.∴b=,‎ 椭圆M的方程为=1.‎ ‎(2)设直线l的方程为：y=x+d,C(x1,y1),D(x2,y2)联立直线l的方程与椭圆方程得：‎ ‎①代入②得：3x2+4(x+d)2=12,‎ 化简得：x2+dx+d2-3=0 ③，‎ 当Δ>0时，即d2-4(d2-3)>0,‎ 即｜d｜<2时，直线l与椭圆有两交点，‎ 由根与系数的关系得：‎ 所以，k1=,‎ k2=.‎ 则k1+k2=‎ ‎=‎ ‎= =0,‎ 所以，k1+k2为定值.‎ ‎7. 已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点作不与坐标轴垂直的直线，交椭圆于、两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎8. 已知椭圆经过点（0，1），离心率 ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为。①试建立的面积关于m的函数关系;②晋江二中高三数学兴趣小组通过试验操作初步推断：“当m变化时，直线与x轴交于一个定点”。你认为此推断是否正确?若正确，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不正确，请说明理由。‎ ‎ ‎ ‎【答案】解：（1）依题意椭圆过点（0,1），从而可得…………2分 解得 ………3分 所以椭圆C的方程是 …………4分 ‎（2）①由 得即 …………5分 记 则 ………6分 易求S= 8分 ②特别地，令，则 此时，直线与x轴的交点为S（4，0） ‎ 若直线与x轴交于一个定点，则定点只能为S（4，0） …………9分 ‎ 以下证明对于任意的m，直线与x轴交于定点S（4，0）‎ 事实上，经过点的直线方程为 令y=0，得 只需证明 …………11分 即证 即证 因为 所以成立。‎ 这说明，当m变化时，直线与x轴交于点S（4，0） …………13分 ‎【编号】3701 【难度】一般 ‎9. 如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝，过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q ‎.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】解：解法一：‎ ‎(1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，‎ 即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，‎ 又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝‎2a，‎ 所以‎4a＝8，a＝2.‎ 又因为e＝，即＝，所以c＝1，‎ 所以b＝＝.‎ 故椭圆E的方程是＋＝1.‎ ‎(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋‎4m2‎－12＝0.‎ 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，‎ 即64k‎2m2‎－4(4k2＋3)(‎4m2‎－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*)‎ 此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P.‎ 由得Q(4,4k＋m)．‎ 假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．‎ 设M(x1,0)，则·＝0对满足(*)式的m、k恒成立．‎ 因为＝，＝(4－x1,4k＋m)，由·＝0，‎ 得－＋－4x1＋x＋＋3＝0，‎ 整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.(**)‎ 由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x1＝1.‎ 故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.‎ 解法二：(1)同解法一．‎ ‎(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋‎4m2‎－12＝0.‎ 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，‎ 即64k‎2m2‎－4(4k2＋3)(‎4m2‎－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*)‎ 此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P.‎ 由得Q(4,4k＋m)．‎ 假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．‎ 取k＝0，m＝，此时P(0，)，Q(4，)，以PQ为直径的圆为(x－2)2＋(y－)2＝4，交x轴于点M1(1,0)，M2(3,0)；取k＝－，m＝2，此时P，Q(4,0)，以PQ为直径的圆为2＋2＝，交x轴于点M3(1,0)，M4(4,0)．所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为(1,0)．‎ 以下证明M(1,0)就是满足条件的点：‎ 因为M的坐标为(1,0)，所以＝，＝(3,4k＋m)，‎ 从而·＝－－3＋＋3＝0，‎ 故恒有⊥，即存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.‎ ‎10已知、，椭圆C的方程为，、分别为椭圆C的两个焦点，设为椭圆C上一点，存在以为圆心的与外切、与内切 ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆C相交于A、B两点，与轴相交于点D，若 求的值；‎ ‎（Ⅲ）已知真命题：“如果点T（）在椭圆上，那么过点T 的椭圆的切线方程为=1.”利用上述结论，解答下面问题：‎ 已知点Q是直线上的动点，过点Q作椭圆C的两条切线QM、QN，‎ M、N为切点，问直线MN是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由。‎ ‎11. 已知中点在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线C过点，且点Q在x 轴的射影恰为该双曲线的一个焦点F1.‎ ‎（I）求双曲线C的方程；‎ ‎（II）命题：“过椭圆的一个焦点F作与x轴不垂直的任意直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则为定值，且定值是”命题中涉及了这么几个要素；给定的圆锥曲线E，过该圆锥曲线焦点F的弦AB，AB的垂直试类比上述命题，写出一个关于双曲线C的类似的正确命题，并加以证明：‎ ‎（III）试推广（II）中的命题，写出关于圆锥的曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不必证明）.‎ ‎[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【答案】本小题主要考查直线、椭圆、双曲线、抛物线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想，满分13分.‎ 解法一：‎ ‎（I）依题意，可设双曲线C的方程为 由已知得，C的一个焦点F1（2，0），‎ 所以C的另一个焦点F2（-2，0） …………1分 由 ‎…………3分 得所以 所以双曲线C的方程为 …………4分 ‎（II）关于双曲线C的类似命题为：过双曲线的焦点F1（2，0）作与x轴不垂直的任意直线交双曲线于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则为定值，且定值是 …………6分 证明如下：‎ 由于与x轴不垂直，可设直线的方程为 ‎①当时，由 依题意与C有两个交点A、B，‎ 所以 设 则 所以线段AB的中点P的坐标为 …………8分 AB的垂直平分线MP的方程为：‎ 令y=0，解得 即 所以 …………9分 又 所以 …………10分 ‎（注：若考生用左焦点进行叙述并证明，同样给分）‎ ‎（III）过圆锥曲线E的焦点F作与焦点的在的对称轴不垂直的任意直线交E于A、B两点，线段AB的垂直平分线交焦点所在的对称轴于点M，‎ 则为定值，定值是（共中e为圆锥曲线E的离心率）…………13分 解法二：‎ ‎（I）依题意，可设双曲线C的方程为…………1分 由已知可得 …………3分 解得 所以双曲线C的方程为 …………4分 ‎（II）（III）同解法一.‎ ‎【编号】3838 【难度】一般 ．‎ ‎12 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，且过双曲线的顶点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）命题：“设、是双曲线上关于它的中心对称的任意两点，为该双曲线上的动点，若直线、均存在斜率，则它们的斜率之积为定值，且定值是”．试类比上述命题，写出一个关于椭圆的类似的正确命题，并加以证明；‎ ‎（Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于方程（，不同时为负数）的曲线的统一的一般性命题（不必证明）.‎ ‎【答案】本小题主要考查椭圆、双曲线的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系以及合情推理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．满分13分．‎ 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，半焦距为，‎ 则，，‎ 椭圆的方程为．　　　　　　………………………………5分 ‎（Ⅱ）关于椭圆的正确命题是：设、是椭圆上关于它的中心对称的任意两点，为该椭圆上的动点，若直线、均存在斜率，则它们的斜率之积为定值，且定值是．　　　　　　　　　　………………………………6分 证明如下：‎ 设点，，，　………………………………7分 直线、的斜率分别为，‎ 则，　　………………………………8分 点，在椭圆上，‎ ‎，且，‎ ‎， 即，…………………………9分 所以，（定值）．　　　　　　　　…………………………10分 ‎（Ⅲ）关于方程（，不同时为负数）的曲线的统一的一般性命题是：设、是方程（，不同时为负数）的曲线上关于它的中心对称的任意两点，为该曲线上的动点，若直线、均存在斜率，则它们的斜率之积为定值，且定值是.……………………13分 ‎【编号】3680 【难度】一般 ‎13 如图、椭圆（a>b>0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.‎ ‎　　　‎ ‎（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；‎ ‎　　（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点。若直线l绕点F任意转动，恒有,求a的取值范围.‎ 本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分.‎ ‎ 解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，‎ 因为△MNF为正三角形，‎ ‎ 所以,‎ ‎ 即1＝‎ ‎ 因此，椭圆方程为 ‎ (Ⅱ)设 ‎ (ⅰ)当直线 AB与x轴重合时，‎ ‎ (ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，‎ ‎ 设直线AB的方程为：‎ ‎ 整理得 ‎ 所以 ‎ 因为恒有，所以AOB恒为钝角.‎ ‎ 即恒成立.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对mR恒成立，‎ 即a2b2m2> a2 -a2b2+b2对mR恒成立.‎ 当mR时，a2b2m2最小值为0，所以a2- a2b2+b2<0. ‎ a20,b>0,所以a0,‎ 解得a>或a<(舍去)，即a>,‎ 综合（i）(ii)，a的取值范围为（，+）.‎ ‎14 ．设抛物线的顶点在原点，准线方程为 ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）若点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影是Q，点，试判断是否存在最小值，若存在求出其最小值，若不存在，请说明理由;‎ ‎（3）过抛物线焦点F作互相垂直的两直线分别交抛物线于A、C、B、D，求四边形ABCD面积的最小值．‎ ‎【答案】(1) 由题意知直线为准线的抛物线，方程为. -----3分 ‎（2）易知点A在抛物线的外侧，延长PM交直线，‎ 由抛物线的定义可知, --------------4分 当三点共线时，最小，此时为， --------------5分 又焦点坐标为,所以，‎ 即的最小值为，所以的最小值为 -----------7分 ‎（3）设过F的直线方程为，，，‎ 由得， ‎ 由韦达定理得，， --------------9分 所以，‎ 同理. -------------10分 所以四边形的面积，‎ 即四边形面积的最小值为8. --------12分 ‎【编号】3825 【难度】很难 ‎15. ‎ ‎20．(本小题满分14分）‎ 已知椭圆E的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为，且过抛物线C:的焦点F. (I)求椭圆E的方程；‎ ‎(II)过坐标平面上的点F'作拋物线c的两条切线和，它们分别交拋物线C的另一条切线l3于A,B两点.‎ ‎(i) 若点F'恰好是点F关于-轴的对称点,且l3与拋物线c的切点恰好为拋物线的顶点(如图），求证：的外接圆过点F;‎ ‎(ii)试探究：若改变点F'的位置,或切线的位置,或抛物线C的开口大小,（i)中的结论是否仍然成立？由此给出一个使（i)中的结论成立的命题,并加以证明.(‎ 温罄提示：本小题将根据给出结论的一般性和综合性程度给分,但若给出的命题是假命题,本小题不得分）‎ ‎　‎ ．‎ ．已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为 ‎ ‎（I）求，的值；‎ ‎（II）椭圆上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，‎ 有成立？若存在，求出所有的P的坐标与的方程；‎ 若不存在，说明理由。‎ ‎【答案】解:(I）设，直线，‎ 由坐标原点到的距离为 则，-------------2分 解得 .又.-------------------4分 ‎（II）由(I）知椭圆的方程为.设、‎ 由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设 ----------5分 代入椭圆的方程中整理得，显然。‎ 由韦达定理有：．．．．．．．．①--------6分 ‎.假设存在点P，使成立，则其充要条件为：‎ 点，点P在椭圆上，即。‎ 整理得。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 又在椭圆上，即.‎ 故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②-----------8分 将及①代入②解得---10分 ‎,=,即.‎ 当;‎ 当.—13分 ‎【编号】3669 【难度】一般 ．椭圆的离心率e=，过右焦点F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，当直线l的斜率为1时，坐标原点O到直线l的距离为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）如图，椭圆C上是否存在点P，使得当直线l绕点F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标及对应的直线方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）∵O到直线l的距离为，l：y=x﹣c，‎ ‎∴，∴c=1．‎ ‎∵e=，∴，∴b2=1．‎ ‎∴椭圆C的方程为．‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）设y=k（x﹣1）（k≠0）‎ 由，消去y得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴x0=，‎ ‎∴y0=．‎ 将P点坐标代入椭圆得，‎ ‎∴，∴，．‎ 当时，，直线，‎ 当时，，直线．‎ ‎【编号】3592 【难度】一般 ．‎ ‎【编号】3427 【难度】一般 ．如图，设抛物线（）的准线与轴交于，焦点为；以、为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的一个交点为.‎ ‎（Ⅰ）当时，求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，直线经过椭圆的右焦点，与抛物线交于、，如果以线段为直径作圆，试判断点能否在圆上，说明理由；‎ ‎（Ⅲ）是否存在实数，使得的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】粘贴有误，原因可能为题目为公式编辑器内容，而没有其它字符 ‎【编号】3210 【难度】一般 ．已知、分别是椭圆（）的左、右焦点，、分别是直线（是大于零的常数）与轴、轴的交点，线段的中点在椭圆上．‎ ‎（Ⅰ）求常数的值；‎ ‎（Ⅱ）试探究直线与椭圆是否还存在异于点的其它公共点？请说明理由；‎ ‎（Ⅲ）当时，试求面积的最大值，并求面积取得最大值时椭圆的方程．‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）由已知可得、，故的中点为，‎ 又点在椭圆上，∴，所以．---------------------4分 ‎（Ⅱ）（解法一）由（Ⅰ）得，‎ 与方程联立得：，‎ 即，‎ 由于，‎ ‎∴此方程有两个相等实根，‎ 故直线与椭圆相切，切点为，‎ 除此之外，不存在其他公共点． ----------------------------------------------8分 ‎（解法二）由（Ⅰ）得，与方程联立得：‎ 所以则 ‎∴和是方程的两根，‎ 又，∴此方程有两个相等实根，即，‎ ‎∴直线与椭圆的公共点是唯一的点，‎ 即除点以外，不存在其他公共点．-----------------------------------------------------8分 ‎（Ⅲ）当时，，‎ 所以，‎ 当且仅当时，等式成立，故 此时，椭圆的方程为：．------------------------------------------------‎ ‎【编号】3173 【难度】一般 ．如果两个椭圆的离心率相等，那么就称这两个椭圆相似.已知椭圆与椭圆相似，且椭圆的一个短轴端点是抛物线的焦点.‎ ‎（Ⅰ）试求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线与椭圆交于两点，且与椭圆交于两点.若线段与线段的中点重合，试判断椭圆与椭圆是否为相似椭圆？并证明你的判断.‎ ‎【答案】本题主要考查椭圆的标准方程、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类整合思想、数形结合思想、化归转化思想等．满分13分．‎ 解析：（Ⅰ）椭圆的离心率为， ……1分 抛物线的焦点为. ……2分 设椭圆的方程为，‎ 由题意，得：　，解得，　　‎ ‎∴椭圆的标准方程为 . ……5分 ‎（Ⅱ）解法一：椭圆与椭圆是相似椭圆. ……6分 联立椭圆和直线的方程，，消去，‎ 得， ……7分 设的横坐标分别为，则. ……8分 设椭圆的方程为， ……9分 联立方程组，消去，得,‎ 设的横坐标分别为，则. ……10分 ‎∵弦的中点与弦的中点重合， ……11分 ‎∴，，‎ ‎∵，∴化简得， ……12分 求得椭圆的离心率，……13分 ‎∴椭圆与椭圆是相似椭圆.‎ 解法二：设椭圆的方程为，‎ 并设.‎ ‎∵在椭圆上，‎ ‎∴且，两式相减并恒等变形得. ……8分 由在椭圆上，仿前述方法可得. ……11分 ‎∵弦的中点与弦的中点重合，‎ ‎∴， ……12分 求得椭圆的离心率，……13分 ‎∴椭圆与椭圆是相似椭圆.‎ ‎【编号】3092 【难度】一般 ．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为3。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）在椭圆上，是否存在点使得直线：与圆O：相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】【解答】：（1）由，所以 设是椭圆上任意一点，则，所以 所以，当时，有最大值，可得，所以 故椭圆的方程为：‎ ‎（2）因为在椭圆上，所以，‎ 设，‎ 由，得 所以，，可得 并且：，‎ 所以，‎ 所以，‎ 设点O到直线AB的距离为，则 所以 设，由，得，所以，‎ ‎，‎ 所以，当时，面积最大，最大为。‎ 此时，‎ ‎【编号】2390 【难度】一般 ．已知椭圆的一个顶点为，离心率为， 直线与椭圆交于不同的两点。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程 ‎（Ⅱ）当的面积为时，求的值。‎ ‎【答案】‎ ‎【编号】2333 【难度】一般 ．（福建理17）已知直线l：y=x+m，m∈R。‎ ‎（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y 轴上，求该圆的方程；‎ ‎（II）若直线l关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由 ‎【答案】本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。‎ 解法一：‎ ‎（I）依题意，点P的坐标为（0，m）‎ 因为，所以，‎ 解得m=2，即点P的坐标为（0，2）‎ 从而圆的半径 故所求圆的方程为 ‎（II）因为直线的方程为 所以直线的方程为 由 ‎（1）当时，直线与抛物线C相切 ‎（2）当，那时，直线与抛物线C不相切。‎ 综上，当m=1时，直线与抛物线C相切；‎ 当时，直线与抛物线C不相切。‎ 解法二：‎ ‎（I）设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为 依题意，所求圆与直线相切于点P（0，m），‎ 则 解得 所以所求圆的方程为 ‎（II）同解法一。‎ ‎【编号】2051 【难度】一般 ．（2010福建理数）‎ ．（2010福建文数）19．（本小题满分12分）‎ 已知抛物线C：过点A （1 , -2）。‎ ‎（I）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；‎ ‎（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由。‎ ‎【答案】‎ ‎【编号】1896 【难度】一般 ．已知抛物线C的方程为，A，B是抛物线C上的两点，直线AB过点M。‎ ‎（Ⅰ）设是抛物线上任意一点，求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）求向量与向量的夹角（O是坐标原点）；‎ ‎（Ⅲ）在轴上是否存在异于M的一点N，直线AN与抛物线的另一个交点为D，而直线DB与轴交于点E，且有？若存在，求出N点坐标；若不存在，说明理由。‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）设，‎ ‎=，则的最小值为…………3分 ‎（Ⅱ）由题意可设直线AB的方程为（存在），令A、B，将直线方程代入抛物线方程，化简得：，‎ 则，…………5分 而，于是=，‎ 因此，向量与向量的夹角为…………8分 ‎（Ⅲ）设存在点N满足题意，则直线AD方程可设为（存在），‎ 令D（E，将直线AD方程代入抛物线方程并化简得：，则 （1）…………10分K^S*5U.C#O%M 由，得（，代入（1）式得 ‎3，又由（Ⅰ）得，所以…………12分 即在轴上存在异于M的一点N，使得…………13分 ‎【编号】1460 【难度】一般 ‎【编号】1435 【难度】较难 ．粘贴有误，原因可能为题目为公式编辑器内容，而没有其它字符 ‎【答案】粘贴有误，原因可能为题目为公式编辑器内容，而没有其它字符 ‎【编号】1090 【难度】一般 ．粘贴有误，原因可能为题目为公式编辑器内容，而没有其它字符 ‎【答案】略 ‎【编号】1024 【难度】一般 ．粘贴有误，原因可能为题目为公式编辑器内容，而没有其它字符 ‎【答案】略 ‎【编号】1023 【难度】一般 ．粘贴有误，原因可能为题目为公式编辑器内容，而没有其它字符 ‎【答案】略 ‎【编号】1021 【难度】一般 ．已知两定点，满足条件的点P的轨迹是曲线C，直线与曲线C交于A、B两点．‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，求实数的值 ‎【答案】解：（1）由双曲线的定义知，曲线C是以为焦点的双曲线的右支．‎ ‎∵，∴，∴曲线C的方程为．‎ 由，消去得，‎ 设，则，解得．‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ ‎（2）由 ‎，整理得，解得或．‎ ‎∵，∴为所求．‎ ‎【编号】1020 【难度】一般 ．如图，直角梯形ABCD中，∠，AD∥BC，AB=2，AD=，BC=‎ ‎,椭圆F以A、B为焦点且过点D. ‎ ‎（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；（Ⅱ）若点E满足,是否存在斜率两点，且C B D A ，若存在，求K的取值范围；若不存在，说明理由。‎ ‎【答案】解 ：（Ⅰ）以AB中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图则A（-1,0）,B(1,0), D(-1,),设椭圆F的方程为 　　……………2分 得 ……… 4分 得 所求椭圆F方程 ……………………………… 6分 ‎（Ⅱ）由,显然 代入 …………………7分 与椭圆F有两不同公共点的充要条件是 ……………… 8分 即,设,‎ ‎ ‎ ‎ , … 10分 得 得 代入 ‎ ‎ 又 …12分 解法2， 设 ‎①‎ ‎②‎ ‎ 得 ‎①—②得 ‎ 设 得 ③ ‎ ‎ 得 得 ④ …… 10分 由③、④得 且P（x0,y0）在椭圆F内部 得 ‎ 又 ……… 12分 ‎【编号】1005 【难度】一般 ．已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点作不与坐标轴垂直的直线，交椭圆于、两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解法一：‎ ‎（Ⅰ）设椭圆方程为，由题意知=1．‎ ‎，‎ 故椭圆方程为． ………………………………………………3分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以. 设的方程为 ，‎ 代入，得，‎ 设，则，…………5分 ‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ 由，‎ 当时, 有成立． ………………………8分 ‎（Ⅲ）在轴上存在定点，使得、、三点共线．‎ 依题意知，直线BC的方程为，‎ 令y=0，则， ………………………9分 ‎∵的方程为，A、B在直线上，‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴在轴上存在定点，使得、、三点共线． …………13分 解法二：（Ⅰ）同解法一． ………………………………………………3分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以. ‎ 设的方程为 ，‎ 代入，得，‎ 设，则， …………5分 ‎，，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎，∴，‎ ‎∴∵， ∴，‎ ‎∴．‎ 当时, , 有成立． ………………………8分 ‎(Ⅲ) 在轴上存在定点，使得、、三点共线．‎ 设存在，使得、、三点共线， 则∥，………………9分 ‎，，‎ ‎，‎ 即．‎ ‎，．‎ 所以，存在，使得、、三点共线．……………………………13分 ‎【编号】716 【难度】较难 ．已知椭圆C中心在原点、焦点在轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为，最小值为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线：与椭圆交于不同的两点（不是左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆的右顶点．‎ 求证：直线过定点，并求出定点的坐标．‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为，半焦距为，则 ‎ 解得 ‎ ‎∴ 椭圆C的标准方程为 ． ………………… 4分 ‎（Ⅱ）由方程组 消去，得 ‎ ‎ 由题意：△ ‎ 整理得： ① ……7分 设，则 ‎， ………………… 8分 由已知， ， 且椭圆的右顶点为 ‎∴　　　　　………………… 10分 即 ‎ 也即 ‎ 整理得： ‎ 解得： 或 ，均满足① ……………………… 12分 当时，直线的方程为 ，过定点，舍去 当时，直线的方程为 ，过定点， ‎ 故，直线过定点，且定点的坐标为．……………………… 14分 ‎【编号】27 【难度】较难