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- 2021-06-19 发布
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必修一 1.3.2 奇偶性 课时2奇偶性的应用
一、选择题
1、若奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则{x|x·f(x)<0}等于( )
A．{x|x>3，或－33，或x<－3}
D．{x|00，则( )
A．f(－x1)>f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)f(1)
6、设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)0时，f(x)＝x2＋|x|－1，那么x<0时，f(x)＝____________.
三、解答题
11、设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)0，求实数m的取值范围．
13、若函数y＝f(x)对任意x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)指出y＝f(x)的奇偶性，并给予证明；
(2)如果x>0时，f(x)<0，判断f(x)的单调性；
(3)在(2)的条件下，若对任意实数x，恒有f(kx2)＋f(－x2＋x－2)>0成立，求k的取值范围．
以下是答案
一、选择题
1、D [依题意，得x∈(－∞，－3)∪(0,3)时，f(x)<0；
x∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，f(x)>0.
由x·f(x)<0，知x与f(x)异号，
从而找到满足条件的不等式的解集．]
2、B [由f(x＋2)＝－f(x)，则f(7.5)＝f(5.5＋2)
＝－f(5.5)＝－f(3.5＋2)＝f(3.5)＝f(1.5＋2)＝－f(1.5)
＝－f(－0.5＋2)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.]
3、C [∵f(x)为奇函数，∴<0，即<0，当x∈(0，＋∞)，∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数且f(1)＝0，∴当x>1时，f(x)<0.由奇函数图象关于原点对称，所以在(－∞，0)上f(x)为减函数且f(－1)＝0，即x<－1时，f(x)>0.综上使<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]
4、A [f(x)是R上的偶函数，
∴f(－x1)＝f(x1)．
又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，x2>－x1>0，
∴f(－x2)＝f(x2)f(1)，故选D.]
6、A [∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，
又∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
∴f(2)f(－3)>f(－2)．]
7、C [令x1＝x2＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋1，
解得f(0)＝－1.
令x2＝－x1＝x，得f(0)＝f(－x)＋f(x)＋1，
即f(－x)＋1＝－f(x)－1，
令g(x)＝f(x)＋1，g(－x)＝f(－x)＋1，－g(x)＝－f(x)－1，
即g(－x)＝－g(x)．
所以函数f(x)＋1为奇函数．]
二、填空题
8、－13
解析 (整体思想)f(－5)＝a(－5)7－b(－5)＋2＝17⇒(a·57－5b)＝－15，
∴f(5)＝a·57－b·5＋2＝－15＋2＝－13.
9、(－∞，0]
解析 因为f(x)是偶函数，所以k－1＝0，即k＝1.
∴f(x)＝－x2＋3，即f(x)的图象是开口向下的抛物线．
∴f(x)的递增区间为(－∞，0]．
10、－x2＋x＋1
解析 由题意，当x>0时，f(x)＝x2＋|x|－1＝x2＋x－1，
当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，
又∵f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝x2－x－1，即f(x)＝－x2＋x＋1.
三、解答题
11、解 由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，
可知f(x)在(0，＋∞)上递减．
∵2a2＋a＋1＝2(a＋)2＋>0，
2a2－2a＋3＝2(a－)2＋>0，
且f(2a2＋a＋1)2a2－2a＋3，
即3a－2>0，解得a>.
12、解 由f(m)＋f(m－1)>0，
得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)x2，∵x>0时f(x)<0，∴f(x1－x2)<0，
则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)<0，即f(x1)0，
得f(kx2)>－f(－x2＋x－2)，
∵f(x)是奇函数，有f(kx2)>f(x2－x＋2)，
又∵f(x)是R上的减函数，
∴kx2
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