2020高中数学 第一章 导数及其应用 1 8页

‎1.6　微积分基本定理 学习目标：1.了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义．(重点、易混点)2.掌握微积分基本定理，会用微积分基本定理求定积分．(重点、难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．微积分基本定理 内容 如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)．‎ 符号 f(x)dx＝F(x) ＝F(b)－F(a).‎ 思考：满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)唯一吗？‎ ‎[提示]不唯一，如F1(x)＝x＋1，F2(x)＝x＋5，…等其导数为1，故F(x)不唯一．‎ ‎2．定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下．则 ‎(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图161①，则f(x)dx＝S上．‎ ‎(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图161②，则f(x)dx＝－S下．‎ ‎(3)当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时，如图161③，则f(x)dx＝S上－S下，若S上＝S下，则f(x)dx＝0.‎ 图①　　　　 　图②　 　　　　图③‎ 图161‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)若f(x)dx＝g(x)dx，则f(x)＝g(x)(　　)‎ ‎(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.(　　)‎ ‎(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．(　　)‎ 8‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)√‎ ‎2．若a＝(x－2)dx，则被积函数的原函数为(　　)‎ A．f(x)＝x－2　　　　　　 B．f(x)＝x－2＋C C．f(x)＝x2－2x＋C D．f(x)＝x2－2x ‎[答案]　C ‎3．cos xdx＝________.‎ ‎[解析]　 ‎ ‎[答案]　1‎ ‎4．如图162，定积分f(x)dx的值用阴影面积S1，S2，S3表示为f(x)dx＝________. ‎ ‎【导学号：31062090】‎ 图162‎ ‎[解析]　根据定积分的几何意义知 f(x)dx＝S1－S2＋S3.‎ ‎[答案]　S1－S2＋S3‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 求简单函数的定积分 ‎　求下列定积分．‎ ‎(1)(2x＋ex)dx；‎ ‎(2)dx；‎ ‎(3) 2dx；‎ ‎(4)(x－3)(x－4)dx.‎ 8‎ ‎[解]　(1)(2x＋ex)dx＝(x2＋ex) ＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e.‎ ‎(2)dx ‎＝(ln x－3sin x) ‎＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1)‎ ‎＝ln 2－3sin 2＋3sin 1.‎ ‎(3)∵2‎ ‎＝1－2sin cos ＝1－sin x，‎ ‎＝－(0＋cos 0)＝－1.‎ ‎(4)∵(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12，‎ ‎∴(x－3)(x－4)dx ‎＝(x2－7x＋12)dx ‎＝27－＋36＝.‎ ‎[规律方法]　(1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数F(x). (2)由微积分基本定理求定积分的步骤第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；‎ 第二步：计算函数的增量F(b)－F(a).‎ ‎[跟踪训练]‎ 8‎ ‎1．计算下列定积分．‎ ‎(1)dx；‎ ‎(2) dx；‎ ‎(3)(1＋)dx. 【导学号：31062091】‎ ‎[解]　(1)dx＝ ‎＝－ ‎＝ln 2＋.‎ ‎＝－ ‎＝－－8‎ ‎＝ 求分段函数的定积分 ‎　计算下列定积分．‎ ‎(1)f(x)＝求f(x)dx；‎ ‎(2)|x2－1|dx.‎ ‎[思路探究]　(1)按f(x)的分段标准，分成，，(2,4]三段求定积分，再求和．‎ ‎(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．‎ ‎[解]　(1) (x－1)dx 8‎ ‎＝(－cos x) ‎ ‎＝1＋＋(4－0)＝7－.‎ ‎(2)|x2－1|dx＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx ‎＝＋＝2.‎ ‎[规律方法]　1.本例(2)中被积函数f(x)含有绝对值号，可先求函数f(x)的零点，结合积分区间，分段求解．‎ ‎2．分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．‎ ‎3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．(1)f(x)＝求f(x)dx.‎ ‎(2)求|x2－x|dx的值. 【导学号：31062092】‎ ‎[解]　(1)f(x)dx＝(1＋2x)dx＋x2dx ‎＝(x＋x2)‎ ‎＝2＋＝.‎ ‎(2)∵|x2－x|＝ ‎∴|x2－x|dx ‎＝＋＋＝.‎ 8‎ 利用定积分求参数 ‎[探究问题]‎ ‎1．求f(a)＝(2ax2－a2x)dx的表达式．‎ 提示：f(a)＝(2ax2－a2x)dx＝＝a－a2.‎ ‎2．试求f(a)取得最大时a的值．‎ 提示：f(a)＝a－a2＝－＋ ‎＝－2＋，‎ ‎∴当a＝时，f(a)的最大值为.‎ ‎　(1)已知t＞0，f(x)＝2x－1，若f(x)dx＝6，则t＝________.‎ ‎(2)已知2≤(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为________．‎ ‎[解]　(1)f(x)dx＝(2x－1)dx＝t2－t＝6，‎ 解得t＝3或－2，∵t＞0，∴t＝3.‎ ‎(2)(kx＋1)dx＝＝k＋1.‎ 由2≤k＋1≤4，得≤k≤2.‎ 母题探究：1.(变条件)若将例3(1)中的条件改为 f(x)dx＝f，求t.‎ ‎[解]　由f(x)dx＝(2x－1)dx ‎＝t2－t，‎ 又f＝t－1，‎ ‎∴t2－t＝t－1，得t＝1.‎ ‎2．(变条件)若将例3(1)中的条件改为f(x)dx＝F(t)，求F(t)的最小值．‎ ‎[解]　F(t)＝f(x)dx＝t2－t ‎＝2－(t＞0)，‎ 当t＝时，F(t)min＝－.‎ 8‎ ‎[规律方法]　利用定积分求参数应注意的问题 利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限．‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．下列值等于1的是(　　) ‎ ‎【导学号：31062093】‎ A.xdx B.(x＋1)dx C.1dx D.dx C　[选项A，因为′＝x，所以xdx＝＝；‎ 选项B，因为′＝x＋1，所以(x＋1)dx＝＝；‎ 选项C，因为x′＝1，所以1dx＝x＝1；‎ 选项D，因为′＝，所以dx＝x＝.]‎ ‎2．若dx＝3＋ln 2，则a的值是(　　)‎ A．5 B．4‎ C．3 D．2‎ D　[dx＝＝a2＋ln a－1，∴a2－1＝3，且ln a＝ln 2，故a＝2.]‎ ‎3.dx＝________. 【导学号：31062094】‎ ‎[解析]　dx＝x2dx－xdx ‎＝－＝－＝ ‎[答案]　 ‎4．设函数f(x)＝则f(x)dx＝________.‎ 8‎ ‎[解析]　f(x)dx＝(x2＋1)dx＋(3－x)dx＝＋＝.‎ ‎[答案]　 ‎5．已知f(x)是二次函数，其图象过点(1,0)，且f′(0)＝2，f(x)dx＝0，求f(x)的解析式．‎ ‎[解]　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，‎ ‎∴a＋b＋c＝0.‎ ‎∵f′(x)＝2ax＋b， ①‎ ‎∴f′(0)＝b＝2. ②‎ f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx ‎＝ ‎＝a＋b＋c＝0.③‎ 由①②③得 ‎∴f(x)＝－x2＋2x－.‎ 8‎