2021版高考数学一轮复习第九章立体几何9-7利用空间向量求空间角和距离课件理北师大版 24页

第七节　利用空间向量 求空间角和距离 内容索引 必备知识 · 自主学习 【教材 · 知识梳理】 1. 两条异面直线所成角的求法 设 a,b 分别是两异面直线 l 1 , l 2 的方向向量 , 则 l 1 与 l 2 所成的角 θ a 与 b 的夹角 β 范围 ________ (0,π) 求法 ______________ 2. 直线与平面所成角的求法 设直线 l 的方向向量为 a , 平面 α 的法向量为 n , 直线 l 与平面 α 所成的角为 θ, a 与 n 的夹角为 β, 则 sin θ=|cos β|= 3. 求二面角的大小 (1) 如图 ①,AB,CD 分别是二面角 α- l -β 的两个面内与棱 l 垂直的直线 , 则二面角 的大小 θ=< >. (2) 如图 ②③, n 1 , n 2 分别是二面角 α- l -β 的两个半平面 α,β 的法向量 , 则二面 角的大小 θ 满足 |cos θ|=|cos< n 1 , n 2 >|, 二面角的平面角大小是 ____________ _______________. 向量 n 1 与 n 2 的 夹角 ( 或其补角 ) 4. 利用空间向量求距离 ( 供选用 ) (1) 两点间的距离 设点 A(x 1 ,y 1 ,z 1 ), 点 B(x 2 ,y 2 ,z 2 ), 则 |AB|=| |=___________________________. (2) 点到平面的距离 如图所示 , 已知 AB 为平面 α 的一条斜线段 ,n 为平面 α 的法向量 , 则 B 到平面 α 的 距离为 【知识点辨析】 ( 正确的打“ √”, 错误的打“ ×”) (1) 设 a , b 是异面直线 l 1 , l 2 的方向向量 , 则 l 1 与 l 2 所成的角就是 a , b 的夹角 . ( 　　 ) (2) 设 a 是直线 l 的方向向量 , b 是平面 α 的法向量 , 则直线 l 与平面 α 成的角就是 a , b 的夹角 . ( 　　 ) (3) 设 a , b 是两个平面 α,β 的法向量 , 则 α 与 β 所成的二面角的大小等于 a , b 的夹角的大小 . ( 　　 ) (4) 利用 可以求空间中有向线段的长度 . ( 　　 ) (5) 直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量夹角为 120°, 则 l 和 α 所成角为 30°. ( 　　 ) 提示 :( 1) × . 因为 < a , b >∈(0, π ), l 1 与 l 2 夹角 θ ∈ (2) × . 因为 < a , b > 的余弦的绝对值等于线面角的正弦值 . (3) × . 因为 < a , b > 与二面角的大小相等或互补 . (4)√. (5)√. 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 混淆线线角与两向量夹角的范围致误 考点一、 T1,2,4 2 线面角与向量夹角混淆致误 考点二、典例 【教材 · 基础自测】 1.( 选修 2-1P45 练习 T2 改编 ) 已知两平面的法向量分别为 m =(0,1,0), n =(0,1,1), 则两平面所成的二面角为 ( 　　 ) A.45° B.135° C.45° 或 135° 　 D.90° 【解析】 选 C. 即 < m , n >=45 ° . 所以两平面所成的二面角为 45 ° 或 180 ° -45 ° =135 ° . 2.( 选修 2-1P43 例 1 改编 ) 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 ,E 是 C 1 D 1 的中点 , 则异面直线 DE 与 AC 所成角的余弦值为 ( 　　 ) 【解析】 选 D. 建立如图空间直角坐标系 D-xyz, 设 DA=1,A(1,0,0),C(0,1,0), E 则 =(-1,1,0), 设异面直线 DE 与 AC 所成的角为 θ , 则 cos θ = 3.( 选修 2-1P50 习题 2-6A 组 T1 改编 ) 如图所示 , 在空间直角坐标系中 , 有一棱长为 a 的正方体 ABCO-A′B′C′D′,A′C 的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为 _________.  【解析】 由图易知 A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A ′ (a,0,a). 所以 所以 EF= 答案 : 4.( 选修 2-1P45 例 3 改编 ) 正三棱柱 ( 底面是正三角形的直棱柱 )ABC-A 1 B 1 C 1 的底面 边长为 2, 侧棱长为 2 , 则 AC 1 与侧面 ABB 1 A 1 所成的角为 ________________.  【解析】 以 A 为原点 , 以 (AE⊥AB), 所在直线为坐标轴 ( 如图 ) 建立空 间直角坐标系 , 设 D 为 A 1 B 1 的中点 , 则 A(0,0,0), ∠C 1 AD 为 AC 1 与平面 ABB 1 A 1 所成的角 cos∠C 1 AD= 又因为 ∠C 1 AD∈ 所以 ∠C 1 AD= 答案 : 5.( 选修 2-1P45 练习 T2 改编 ) 在四棱锥 P-ABCD 中 , 底面 ABCD 是正方形 ,PD⊥ 底面 ABCD,PD=DC, 则平面 CPB 与平面 PBD 夹角的大小为 ________________.  【解析】 以点 D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 . 设 PD=DC=1, 则 D(0,0,0),P(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0). 所以 =(0,0,1), =(0,1,-1), =(1,1,0), =(-1,0,0), 设平面 PBD 的一个法向量为 n 1 =(x 1 ,y 1 ,z 1 ), 由 得 令 x 1 =1, 得 n 1 =(1,-1,0). 设平面 PBC 的一个法向量为 n 2 =(x 2 ,y 2 ,z 2 ), 由 得 令 y 2 =1 得 n 2 =(0,1,1), 设平面 CPB 与平面 PBD 的夹角为 θ , 则 所以 θ =60 ° . 答案 : 60 °