高考数学专题复习练习：单元质检九 12页

单元质检九　解析几何 ‎(时间:100分钟　满分:150分)‎ ‎　单元质检卷第21页　 ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线方程是(　　)‎ A.3x-4y+4=0‎ B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0‎ C.3x-4y+16=0‎ D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=0‎ 答案D 解析设所求直线方程为3x-4y+m=0,‎ 由‎|m-1|‎‎5‎=3,解得m=16或m=-14.‎ 即所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.‎ ‎2.与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.2条 B.3条 C.4条 D.6条 答案C 解析过原点与圆x2+(y-2)2=1相切的直线有2条;斜率为-1且与圆x2+(y-2)2=1相切的直线也有2条,且此两条切线不过原点,由此可得与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有4条.‎ ‎3.已知双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为‎5‎‎3‎c(c为双曲线的半焦距长),则双曲线的离心率为(　　)‎ A.‎5‎‎2‎ B.‎3‎‎5‎‎2‎ C.‎3‎‎2‎ D.3‎‎5‎ 答案C 解析由条件知,‎|bc|‎a‎2‎‎+‎b‎2‎‎=‎‎5‎‎3‎c,‎ 所以ba‎2‎‎+‎b‎2‎‎=‎‎5‎‎3‎.所以4b2=5a2.‎ 因为a2+b2=c2,所以4c2=9a2,所以e=ca‎=‎‎3‎‎2‎.‎ ‎4.抛物线y2=8x的焦点到双曲线x‎2‎‎12‎‎-‎y‎2‎‎4‎=1的渐近线的距离为(　　)‎ A.1 B.‎3‎ C.‎3‎‎3‎ D.‎‎3‎‎6‎ 答案A 解析抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),其到双曲线x‎2‎‎12‎‎-‎y‎2‎‎4‎=1的渐近线x±‎3‎y=0的距离d=‎|2±0|‎‎1+3‎=1.‎ ‎5.已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)与双曲线x‎2‎m‎2‎‎-‎y‎2‎n‎2‎=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是(　　)‎ A.‎3‎‎3‎ B.‎2‎‎2‎ C.‎1‎‎4‎ D.‎‎1‎‎2‎ 答案D 解析由题意可知2n2=2m2+c2,又m2+n2=c2,所以m=c‎2‎.‎ 因为c是a,m的等比中项,‎ 所以c2=am,代入m=c‎2‎,解得e=ca‎=‎‎1‎‎2‎.‎ ‎6.过点A(0,3),被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为2‎3‎的直线方程是(　　)‎ A.y=-‎4‎‎3‎x+3 B.x=0或y=-‎4‎‎3‎x+3‎ C.x=0或y=‎4‎‎3‎x+3 D.x=0‎ 答案B 解析当弦所在的直线斜率不存在时,即弦所在直线方程为x=0;此时被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为2‎3‎.‎ 当弦所在的直线斜率存在时,设弦所在直线l的方程为y=kx+3,即kx-y+3=0.‎ 因为弦长为2‎3‎,圆的半径为2,所以弦心距为‎2‎‎2‎‎-(‎‎3‎‎)‎‎2‎=1.‎ 由点到直线距离公式得‎|k+3|‎k‎2‎‎+(-1‎‎)‎‎2‎=1,解得k=-‎4‎‎3‎.‎ 综上,所求直线方程为x=0或y=-‎4‎‎3‎x+3.‎ ‎7.若直线x-y+2=0与圆C:(x-3)2+(y-3)2=4相交于A,B,则CA‎·‎CB的值为(　　)‎ A.-1 B.0 C.1 D.10‎ 答案B 解析依题意,圆心C(3,3)到直线x-y+2=0的距离为‎|3-3+2|‎‎2‎‎=‎‎2‎,从而易得cos‎∠ACB‎2‎‎=‎‎2‎‎2‎,即‎∠ACB‎2‎=45°,所以∠ACB=90°,所以CA‎·‎CB=0,故选B.‎ ‎8.将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则(　　)‎ A.对任意的a,b,e1>e2‎ B.当a>b时,e1>e2;当ab时,e1e2〚导学号74920394〛‎ 答案D 解析由条件知e‎1‎‎2‎‎=‎c‎2‎a‎2‎=1+b‎2‎a‎2‎‎,‎e‎2‎‎2‎=1+b+ma+m‎2‎,‎ 当a>b时,b+ma+m‎>‎ba,则e‎1‎‎2‎‎<‎e‎2‎‎2‎,所以e1‎e‎2‎‎2‎,所以e1>e2.‎ 所以,当a>b时,e1e2.‎ ‎9.(2016河南洛阳二模)设双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1的两条渐近线与直线x=a‎2‎c分别交于A,B两点,F为该双曲线的右焦点.若60°<∠AFB<90°,则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)‎ A.(1,‎2‎) B.(‎2‎,2) C.(1,2) D.(‎2‎,+∞)〚导学号74920395〛‎ 答案B 解析双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1的两条渐近线方程为y=±bax,‎ 当x=a‎2‎c时,y=±abc,‎ 所以不妨令Aa‎2‎c‎,‎abc,Ba‎2‎c‎,-‎abc.‎ 因为60°<∠AFB<90°,所以‎3‎‎3‎0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线x‎2‎a-y2=1的左顶点为A,若双曲线一条渐近线与直线AM平行,则实数a=(　　)‎ A.‎1‎‎9‎ B.‎1‎‎3‎ C.3 D.9〚导学号74920396〛‎ 答案A 解析由题意可知,抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-4,‎ 则p=8,所以点M(1,4).‎ 又双曲线x‎2‎a-y2=1的左顶点为A(-a,0),‎ 所以直线AM的斜率为‎4‎‎1+‎a.‎ 由题意得‎4‎‎1+‎a‎=‎‎1‎a,解得a=‎1‎‎9‎.‎ ‎11.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=(　　)‎ A.3 B.6 C.12 D.42〚导学号74920397〛‎ 答案B 解析因为双曲线的离心率为2,‎ 所以e2=c‎2‎a‎2‎‎=‎a‎2‎‎+‎b‎2‎a‎2‎=4,即b2=3a2,‎ 所以双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±‎3‎x,代入y2=2px(p>0),‎ 得x=‎2‎‎3‎p或x=0,故xA=xB=‎2‎‎3‎p,‎ 又因为|AF|=xA+p‎2‎‎=‎‎2‎‎3‎p+p‎2‎=7,所以p=6.‎ ‎12.已知椭圆E:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于‎4‎‎5‎,则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)‎ A.‎0,‎‎3‎‎2‎ B.‎‎0,‎‎3‎‎4‎ C.‎3‎‎2‎‎,1‎ D.‎3‎‎4‎‎,1‎〚导学号74920398〛‎ 答案A 解析如图,取椭圆的左焦点F1,连接AF1,BF1.‎ 由椭圆的对称性知四边形AF1BF是平行四边形,‎ 则|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.故a=2.‎ 不妨设M(0,b),则‎|3×0-4b|‎‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎‎≥‎‎4‎‎5‎,即b≥1.‎ 所以e=ca‎=‎1-‎ba‎2‎≤‎1-‎‎1‎‎2‎‎2‎=‎‎3‎‎2‎.‎ 又09,‎ 则a2=k+8,b2=9,e2=c‎2‎a‎2‎‎=a‎2‎‎-‎b‎2‎a‎2‎=k-1‎k+8‎=‎‎1‎‎4‎,‎ 解得k=4.‎ 若焦点在y轴上,即00)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为　　　　　　. ‎ 答案8‎ 解析设△OFM的外接圆圆心为O1,则|O1O|=|O1F|=|O1M|,所以O1在线段OF的垂直平分线上.‎ 又因为☉O1与抛物线的准线相切,所以O1在抛物线上,所以O1p‎4‎‎,‎2‎‎2‎p.‎ 又因为圆面积为36π,所以半径为6,所以p‎2‎‎16‎‎+‎‎1‎‎2‎p2=36,所以p=8.‎ ‎15.(2016河南洛阳二模)已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为　　　　　. ‎ ‎〚导学号74920399〛‎ 答案2‎ 解析圆C:x2+y2-2y=0的圆心为(0,1),半径是r=1.‎ 由圆的性质知:S四边形PACB=2S△PBC,‎ 又因为四边形PACB的最小面积是2,‎ 所以S△PBC的最小值为S=1=‎1‎‎2‎rd(d是切线长),‎ 所以d最小值=2.‎ 由圆心到直线的距离就是PC的最小值,可得‎1‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎‎=‎5‎‎1+‎k‎2‎=‎‎5‎,又因为k>0,所以k=2.‎ ‎16.若方程x‎2‎‎4-t‎+‎y‎2‎t-1‎=1所表示的曲线C,给出下列四个命题:‎ ‎①若C为椭圆,则14或t<1;‎ ‎③曲线C不可能是圆;‎ ‎④若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则10,t-1>0且4-t≠t-1,‎ 解得14或t<1,所以②正确;‎ 若t=‎5‎‎2‎时,该曲线表示为圆,所以③不正确;‎ 若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则4-t>t-1>0,解得10).设抛物线W的焦点在直线AB的下方.‎ ‎(1)求k的取值范围;‎ ‎(2)设C为W上一点,且AB⊥AC,过B,C两点分别作W的切线,记两切线的交点为D,判断四边形ABDC是否为梯形,并说明理由.‎ 解(1)抛物线y=x2的焦点为‎0,‎‎1‎‎4‎.‎ 由题意,得直线AB的方程为y-1=k(x-1),‎ 令x=0,得y=1-k,即直线AB与y轴相交于点(0,1-k).‎ 因为抛物线W的焦点在直线AB的下方,‎ 所以1-k>‎1‎‎4‎,解得k<‎3‎‎4‎.‎ 因为k>0,所以0b>0)与椭圆C2:x‎2‎‎4‎+y2=1有相同的离心率,经过椭圆C2的左顶点作直线l,与椭圆C2相交于P,Q两点,与椭圆C1相交于A,B两点.‎ ‎(1)若直线y=-x经过线段PQ的中点M,求直线l的方程:‎ ‎(2)若存在直线l,使得PQ‎=‎‎1‎‎3‎AB,求b的取值范围.‎ 解(1)设P(-2,0),Q(x,y),则线段PQ的中点M为x-2‎‎2‎‎,‎y‎2‎,‎ 则x-2‎‎2‎‎+‎y‎2‎=0,即x+y=2.‎ 联立x+y=2,‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1,‎解得x=2,‎y=0,‎或x=‎6‎‎5‎,‎y=‎4‎‎5‎.‎ 所以直线l的方程为y=0,或y-0=‎4‎‎5‎‎-0‎‎6‎‎5‎‎-(-2)‎(x+2),化为x-4y+2=0.‎ ‎(2)椭圆C2:x‎2‎‎4‎+y2=1的离心率e=‎3‎‎2‎.‎ 设2c是椭圆C1:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的焦距,‎ 则ca‎=‎‎3‎‎2‎,又a2=b2+c2,可得a=2b,c=‎3‎b,椭圆C1的方程化为x2+4y2=4b2.‎ 设直线l的方程为y=k(x+2),P(x3,y3),Q(x4,y4),A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 联立y=k(x+2),‎x‎2‎‎+4y‎2‎=4,‎ 消去y得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,‎ 所以x3+x4=‎-16‎k‎2‎‎1+4‎k‎2‎,x3x4=‎16k‎2‎-4‎‎1+4‎k‎2‎,‎ ‎|PQ|=‎(1+k‎2‎)[(x‎3‎+x‎4‎‎)‎‎2‎-4x‎3‎x‎4‎]‎‎=‎‎4‎‎1+‎k‎2‎‎1+4‎k‎2‎.‎ 联立y=k(x+2),‎x‎2‎‎+4y‎2‎=4b‎2‎,‎ 消去y得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4b2=0,‎ 所以x1+x2=‎-16‎k‎2‎‎1+4‎k‎2‎,x1x2=‎16k‎2‎-4‎b‎2‎‎1+4‎k‎2‎,‎ ‎|AB|=‎‎(1+k‎2‎)[(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4x‎1‎x‎2‎]‎ ‎=‎4‎‎(1+k‎2‎)(b‎2‎+4b‎2‎k‎2‎-4k‎2‎)‎‎1+4‎k‎2‎.‎ 因为PQ‎=‎‎1‎‎3‎AB,所以|AB|=3|PQ|,‎ 即3×‎4‎‎1+‎k‎2‎‎1+4‎k‎2‎‎=‎‎4‎‎(1+k‎2‎)(b‎2‎+4b‎2‎k‎2‎-4k‎2‎)‎‎1+4‎k‎2‎.‎ 所以b2=1+‎8‎‎1+4‎k‎2‎∈(1,9],即b∈(1,3].‎ 所以b的取值范围是(1,3].〚导学号74920403〛‎ ‎21.(12分)已知双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).‎ ‎(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程;‎ ‎(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为-‎3‎,求双曲线的离心率.‎ 解(1)双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1的渐近线方程为y=±bax,‎ 由双曲线的一条渐近线方程为y=x,‎ 可得ba=1,解得a=b,‎ 因为c=a‎2‎‎+‎b‎2‎=2,所以a=b=‎2‎.‎ 由此可得双曲线方程为x‎2‎‎2‎‎-‎y‎2‎‎2‎=1.‎ ‎(2)设A的坐标为(m,n),可得直线AO的斜率满足k=nm‎=‎‎-1‎‎-‎‎3‎,即m=‎3‎n.①‎ 因为以点O为圆心,c为半径的圆的方程为x2+y2=c2,‎ 所以将①代入圆的方程,得3n2+n2=c2,‎ 解得n=‎1‎‎2‎c,m=‎3‎‎2‎c.‎ 将点A‎3‎‎2‎c,‎1‎‎2‎c代入双曲线方程,得‎3‎‎2‎c‎2‎a‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎c‎2‎b‎2‎=1,‎ 化简得‎3‎‎4‎c2b2-‎1‎‎4‎c2a2=a2b2,‎ 又因为c2=a2+b2,‎ 所以上式化简整理得‎3‎‎4‎c4-2c2a2+a4=0,‎ 两边都除以a4,整理得3e4-8e2+4=0,‎ 解得e2=‎2‎‎3‎或e2=2,因为双曲线的离心率e>1,‎ 所以该双曲线的离心率e=‎2‎(负值舍去).〚导学号74920404〛‎ ‎22.(12分)(2016四川,文20)已知椭圆E:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P‎3‎‎,‎‎1‎‎2‎在椭圆E上.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)设不过原点O且斜率为‎1‎‎2‎的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.‎ 解(1)由已知,a=2b.‎ 又椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)过点P‎3‎‎,‎‎1‎‎2‎,‎ 故‎3‎‎4‎b‎2‎‎+‎‎1‎‎4‎b‎2‎=1,解得b2=1.‎ 所以椭圆E的方程是x‎2‎‎4‎+y2=1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y=‎1‎‎2‎x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由方程组x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1,‎y=‎1‎‎2‎x+m,‎得x2+2mx+2m2-2=0,①‎ 方程①的判别式为Δ=4(2-m2).‎ 由Δ>0,即2-m2>0,解得-‎2‎