高考数学专题复习练习第2讲 等差数列及其前n项和 6页

第2讲 等差数列及其前n项和 一、选择题 ‎1． {an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝(　　)‎ A．18　　　　　　　　　　 B．20‎ C．22 D．24‎ 解析 由S10＝S11得a11＝S11－S10＝0，a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.‎ 答案 B ‎2．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)．‎ A．6 B．‎7 ‎ C．8 D．9‎ 解析　由a4＋a6＝a1＋a9＝－11＋a9＝－6，得a9＝5，从而d＝2，所以Sn＝－11n＋n(n－1)＝n2－12n＝(n－6)2－36，因此当Sn取得最小值时，n＝6.‎ 答案　A ‎3．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于(　　)．‎ A．－1 B．‎1 ‎ C．3 D．7‎ 解析　两式相减，可得3d＝－6，d＝－2.由已知可得‎3a3＝105，a3＝35，所以a20＝a3＋17d＝35＋17×(－2)＝1.‎ 答案　B ‎4．在等差数列{an}中，S15>0，S16<0，则使an>0成立的n的最大值为 (　　)．‎ A．6 B．‎7 ‎ C．8 D．9‎ 解析　依题意得S15＝＝‎15a8>0，即a8>0；S16＝＝8(a1＋a16)＝8(a8＋a9)<0，即a8＋a9<0，a9<－a8<0.因此使an>0成立的n的最大值是8，选C.‎ 答案　C ‎5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k ‎＝(　　)．‎ A．8 B．‎7 ‎‎ ‎ C．6 D．5‎ 解析　由a1＝1，公差d＝2得通项an＝2n－1，又Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2，所以2k＋1＋2k＋3＝24，得k＝5.‎ 答案　D ‎6．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数的个数是 (　　)．‎ A．2 B．‎3 ‎ C．4 D．5‎ 解析　由＝得：＝＝＝，要使为整数，则需＝7＋为整数，所以n＝1,2,3,5,11，共有5个．‎ 答案　D 二、填空题 ‎7．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，则k＝________.‎ 解析 a7－a5＝2d＝4，d＝2，a1＝a11－10d＝21－20＝1，‎ Sk＝k＋×2＝k2＝9.又k∈N*，故k＝3.‎ 答案 3‎ ‎8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若－＝1，则公差为________．‎ 解析　依题意得S4＝‎4a1＋d＝‎4a1＋6d，S3＝‎3a1＋d＝‎3a1＋3d，于是有－＝1，由此解得d＝6，即公差为6.‎ 答案　6‎ ‎9．在等差数列{an}中，a1＝－3,‎11a5＝‎5a8－13，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为________．‎ 解析　(直接法)设公差为d，则11(－3＋4d)＝5(－3＋7d)－13，‎ 所以d＝，所以数列{an}为递增数列．‎ 令an≤0，所以－3＋(n－1)·≤0，所以n≤，‎ 又n∈N*，前6项均为负值，‎ 所以Sn的最小值为－.‎ 答案　－ ‎10．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．‎ 解析　设等差数列{an}的项数为2n＋1，‎ S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝(n＋1)an＋1，‎ S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，‎ ‎∴＝＝，解得n＝3，∴项数2n＋1＝7，S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项．‎ 答案　11　7‎ 三、解答题 ‎11．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.‎ ‎(1)若S5＝5，求S6及a1；‎ ‎(2)求d的取值范围．‎ 解　(1)由题意知S6＝＝－3，a6＝S6－S5＝－8，‎ 所以 解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.‎ ‎(2)因为S5S6＋15＝0，所以(‎5a1＋10d)(‎6a1＋15d)＋15＝0，即‎2a＋9da1＋10d2＋1＝0，‎ 故(‎4a1＋9d)2＝d2－8，所以d2≥8.‎ 故d的取值范围为d≤－2或d≥2.‎ ‎12．在等差数列{an}中，公差d＞0，前n项和为Sn，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)令bn＝(n∈N*)，是否存在一个非零常数c，使数列{bn}也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．‎ 解　(1)由题设，知{an}是等差数列，且公差d＞0，‎ 则由得 解得∴an＝4n－3(n∈N*)．‎ ‎(2)由bn＝＝＝，‎ ‎∵c≠0，∴可令c＝－，得到bn＝2n.‎ ‎∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)，‎ ‎∴数列{bn}是公差为2的等差数列．‎ 即存在一个非零常数c＝－，使数列{bn}也为等差数列．‎ ‎13．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2＋an＝2an＋1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设Sn是数列{|an|}的前n项和，求Sn.‎ 解　(1)由2an＋1＝an＋2＋an可得{an}是等差数列，‎ 且公差d＝＝＝－2.‎ ‎∴an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋10.‎ ‎(2)令an≥0，得n≤5.‎ 即当n≤5时，an≥0，n≥6时，an<0.‎ ‎∴当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|‎ ‎＝a1＋a2＋…＋an＝－n2＋9n；‎ 当n≥6时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|‎ ‎＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)‎ ‎＝－(a1＋a2＋…＋an)＋2(a1＋a2＋…＋a5)‎ ‎＝－(－n2＋9n)＋2×(－52＋45)‎ ‎＝n2－9n＋40，‎ ‎∴Sn＝ ‎14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2an＝S2＋Sn对一切正整数n都成立．‎ ‎(1)求a1，a2的值；‎ ‎(2)设a1＞0，数列的前n项和为Tn.当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最大值．‎ 解　(1)取n＝1，得a‎2a1＝S2＋S1＝‎2a1＋a2， ①‎ 取n＝2，得a＝‎2a1＋‎2a2， ②‎ 由②－①，得a2(a2－a1)＝a2， ③‎ ‎(i)若a2＝0，由①知a1＝0，‎ ‎(ii)若a2≠0，由③知a2－a1＝1. ④‎ 由①、④解得，a1＝＋1，a2＝2＋；或a1＝1－，a2＝2－.‎ 综上可得a1＝0，a2＝0；或a1＝＋1，a2＝＋2；或a1＝1－，a2＝2－.‎ ‎(2)当a1＞0时，由(1)知a1＝＋1，a2＝＋2.‎ 当n≥2时，有(2＋)an＝S2＋Sn，(2＋)an－1＝S2＋Sn－1，‎ 所以(1＋)an＝(2＋)an－1，即an＝an－1(n≥2)，‎ 所以an＝a1()n－1＝(＋1)·()n－1.‎ 令bn＝lg，‎ 则bn＝1－lg()n－1＝1－(n－1)lg 2＝lg，‎ 所以数列{bn}是单调递减的等差数列(公差为－lg 2)，‎ 从而b1＞b2＞…＞b7＝lg＞lg 1＝0，‎ 当n≥8时，bn≤b8＝lg＜lg 1＝0，‎ 故n＝7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为 T7＝＝＝7－lg 2.‎