高考数学专题复习：专题一 考前题型训练“短、平、快” 14页

‎[题型专练卷(一)]‎ 一、选择题 ‎1．(2014·济南模拟)已知集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|y＝lg(1－x)}，则A∩B为(　　)‎ A．(－∞，1)　　　　　　　B．(0，＋∞)‎ C．(0,1) D．(0,1]‎ ‎2．已知复数z＝1＋2i(i为虚数单位)，则下列结论正确的是(　　)‎ A．|z|＝ B．z2≥0‎ C．|z－|＝2 D．z·＝5‎ ‎3．(2014·潍坊模拟)已知命题p、q，“綈p为真”是“p∧q为假”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知实数a＝log32，b＝ln 2，c＝5－，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．b>a>c 5. 已知一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长、宽不相等的长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是(　　)‎ A．①② B．②③‎ C．③④ D．①④‎ ‎6．若向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|a＋2b|＝2，则|b|＝(　　)‎ A. B．1‎ C．4 D．3‎ ‎7．(2014·烟台模拟)已知函数f(x)＝且f(x0)＝3，则实数x0的值为(　　)‎ A．－1 B．1‎ C．－1或1 D．－1或－ ‎8．(2014·郑州模拟)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为y＝2sin2x，则函数f(x)的表达式可以是(　　)‎ A．f(x)＝2sin x B．f(x)＝2cos x C．f(x)＝cos 2x D．f(x)＝sin 2x ‎9.函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝logf(x)的图象大致是(　　)‎ ‎　A　　　 　　B　　 　　　C　　 　　　D ‎10．(2014·南昌模拟)已知点P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF2F1＝2，则椭圆的离心率e＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎11．函数f(x)＝x3－bx2＋1有且仅有两个不同零点，则b的值为(　　)‎ A. B. C. D．不能确定 ‎12．(2014·杭州模拟)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax－1恒成立，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－6] B．[－6,0]‎ C．(－∞，－1] D．[－1,0]‎ 二、填空题 ‎13．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为________．‎ ‎14．(2014·长沙模拟)如图，茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分，其中一个数字被污损，则甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为________．‎ ‎15．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝60°，2b2＝3ac，则角A的大小为________．‎ ‎16．(2014·广州模拟)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝－，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 014＝________.‎ ‎[答案]‎ 一、选择题 ‎1．解析：选C　因为A＝(0，＋∞)，B＝(－∞，1)，所以A∩B＝(0,1)．‎ ‎2．解析：选D　|z|＝＝，故A不正确；z2＝1＋4i2＋4i＝4i－3，不能和0比较大小，故B不正确；由于＝1－2i，|z－|＝4，故C不正确；z·＝(1＋2i)(1－2i)＝5，故D正确．‎ ‎3．解析：选A　由p为假命题可得p∧q为假命题，反之，p∧q为假命题，p未必为假命题，所以是充分不必要条件．‎ ‎4．解析：选D　显然易知b>a，又c＝5－＝<，a＝log32>log3＝，所以b>a>c.‎ ‎5.解析：选B　对于①，俯视图是长方形是可能的，即此几何体为一个长方体，‎ 满足题意；对于②，由于正视图中的长与宽不相等，侧视图是正方形，可知此几何体不是正方体，故俯视图不可能是正方形；对于③，由于正视图中的长与侧视图中的长不相等，可知此几何体不是圆柱，故俯视图不可能是圆；对于④，如果此几何体是一个上、下底面均为椭圆的柱体，满足正视图中的长与侧视图中的长不相等，故俯视图可能是椭圆．综上知②③是不可能的图形．故选B.‎ ‎6．解析：选B　因为|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝22＋8·|b|·cos 60°＋4|b|2＝(2)2，所以|b|2＋|b|－2＝0，解得|b|＝1.故选B.‎ ‎7．解析：选C　由条件可知，当x0≥0时，f(x0)＝2x0＋1＝3，所以x0＝1；当x0<0，f(x0)＝3x＝3，所以x0＝－1，所以实数x0的值为－1或1.‎ ‎8．解析：选D　由题意可知f(x)＝2sin2－1＝－cos＝sin 2x，选D.‎ ‎9.解析：选C　由函数y＝f(x)的图象知，当x∈(0,2)时，f(x)≥1，所以logf(x)≤0.又函数f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以y＝logf(x)在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数．结合各选项知选C.‎ ‎10．解析：选A　由题意可知∠F1PF2＝90°，不妨设|PF1|＝2，则由tan∠PF2F1＝2，得|PF2|＝1，从而|F1F2|＝＝，所以离心率e＝＝＝.‎ ‎11．解析：选C　f′(x)＝3x2－2bx＝x(3x－2b)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝.当曲线f(x)与x轴相切时，f(x)有且只有两个不同零点，因为f(0)＝1≠0，所以f＝0，解得b＝.‎ ‎12．解析：选B　在同一直角坐标系下作出y＝|f(x)|和y＝ax－1的图象如图所示，由图象可知当y＝ax－1与y＝x2－4x相切时符合题意，由x2－4x＝ax－1只有一个解得a＝－6，绕点(0，－1)逆时针旋转，转到水平位置时都符合题意，所以a∈[－6,0]．‎ 二、填空题 ‎13．解析：执行程序框图可得：i＝1，S＝－1；i＝2，S＝3；i＝3，S＝－6；i＝4，S＝10；i＝5，程序结束，输出S＝10.‎ 答案：10‎ ‎14．解析：因为甲＝＝20，所以乙＝≥20，得m≥23，m有23,24,25,26,27,28,29，共7种可能，所以甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为.‎ 答案： ‎15．解析：由2b2＝3ac及正弦定理可知，2sin2B＝3sin A·sin C，故sin Asin C＝，cos(A＋C)＝cos Acos C－sin Asin C＝cos Acos C－，即cos Acos C－＝－，cos Acos C＝0，故cos A＝0或cos C＝0，可知A＝或.‎ 答案：或 ‎16．解析：a1＝1，a2＝－＝－，a3＝－＝－2，a4＝－＝1，…，数列{an}是周期为3的周期数列，∴S2 014＝S2 013＋a2 014＝671×＋1＝－.‎ 答案：－ ‎[题型专练卷(二)]‎ 一、选择题 ‎1．(2014·广州模拟)已知i是虚数单位，若(m＋i)2＝3－4i，则实数m的值为(　　)‎ A．－2 B．±2 ‎ C．±　 D．2‎ ‎2．已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝ex，x∈A}，则A∩B＝(　　)‎ A．{0} 　　 B．{1} ‎ C．{－1} 　　D．{0,1}‎ ‎3．(2014·南昌模拟)命题：“若x2<1，则－11，则x<－1或x>1‎ B．若－11，则x2>1‎ D．若x≤－1或x≥1，则x2≥1‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，当输入n＝7时，输出的结果是(　　)‎ A．84　　　　　B．35　　　　　C．10　　　　　D．1‎ ‎5．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－y＝4相切，则圆O的方程为(　　)‎ A．x2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝4‎ C．(x＋1)2＋(y－1)2＝4 D．x2＋(y－1)2＝4‎ ‎6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(　　)‎ A. B. ‎ C. D．2π ‎7．(2014·新乡模拟)在样本频率分布直方图中，共有五个小长方形，这五个小长方形的面积由小到大构成等差数列{an}，已知a2＝2a1，且样本容量为300，则小长方形面积最大的一组的频数为(　　)‎ A．100 B．120 C．150 D．200‎ ‎8．(2014·青岛模拟)如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝3，D是BC的中点，则＝(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D．不能确定 ‎9．函数y＝x2ex的图象大致为(　　)‎ ‎10．(2014·武汉模拟)三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA＝AB＝BC＝1，则球O的表面积为(　　)‎ A.π　　　　B.π　　　　C．3π　　　　D．12π ‎11．(2014·陕西质检)已知点P为抛物线x2＝12y的焦点，A，B是双曲线3x2－y2＝12的两个顶点，则△APB的面积为(　　)‎ A．12 B．8 C．6 D．4‎ ‎12．(2014·沈阳模拟)已知函数y＝f(x)是R上的可导函数，当x≠0时，有f′(x)＋>0，则函数F(x)＝xf(x)＋的零点个数是(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 二、填空题 ‎13．(2014·郑州二模)若sin＝，则cos＝________.‎ ‎14．已知变量x，y满足约束条件且有无穷多个点(x，y)使目标函数z＝y＋x取得最小值，则k＝________.‎ ‎15．(2014·北京模拟)观察下列不等式：‎ <，‎ ＋<，‎ ＋＋<，‎ ＋＋＋<，‎ ‎…，‎ 则第n个不等式为____________．‎ ‎16．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.‎ ‎[答案]‎ 一、选择题 ‎1．解析：选A　∵(m＋i)2＝3－4i，∴(m2－1)＋2mi＝3－4i，∴∴m＝－2.‎ ‎2．解析：选B　由题意得B＝，故A∩B＝{1}．‎ ‎3．解析：选D　由逆否命题的定义可得，命题的逆否命题为：若x≤－1或x≥1，则x2≥1.‎ ‎4．解析：选A　第一次循环后：m＝1，s＝1，i＝3；第二次循环后：m＝9，s＝10，i＝5；第三次循环后：m＝25，s＝35，i＝7；第四次循环后：m＝49，s＝84，i＝9，此时i>n，结束．故输出s＝84.‎ ‎5．解析：选A　依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x－y＝4的距离，即r＝＝2，得圆O的方程为x2＋y2＝4.‎ ‎6．解析：选B　该几何体是一个组合体，左侧是一个底面半径为1，高为2的圆锥的一半，右侧是一个底面半径为1，高为3的圆柱的一半，故组合体的体积为××π×2＋×π×1×3＝.‎ ‎7．解析：选A　由频率分布直方图的性质可得a1＋a2＋…＋a5＝1，即5a3＝5×(3a1)＝1，得a1＝，所以小长方形面积的最大值为5a1＝，又因为样本容量为300，所以小长方形面积最大的一组的频数等于×300＝100.‎ ‎8．‎ ‎9．解析：选A　因为y′＝2xex＋x2ex＝x(x＋2)ex，所以当x<－2或x>0时，y′>0，函数y＝x2ex为增函数；当－20，所以排除D，选择A.‎ ‎10．解析：选C　因为SA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以SA⊥AB，因为BC⊥AB，SA＝AB＝BC＝1，所以可将S ABC视为正方体的一部分，球心O在体对角线SC上，设球O的半径为R，则(2R)2＝1＋1＋1，R＝，球O的表面积为4π2＝3π.‎ ‎11．解析：选C　依题意有P(0,3)，A(－2,0)，B(2,0)，故|OP|＝3，|AB|＝4，所以S△APB＝·|AB|·|OP|＝×4×3＝6.‎ ‎12．解析：选B　依题意，记g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)，g(0)＝0.当x>0时，g′(x)＝x·>0，g(x)是增函数，g(x)>0；当x<0时，g′(x)＝x<0，g(x)是减函数，g(x)>0.在同一坐标系内画出函数y＝g(x)与y＝－的大致图象，结合图象可知，它们共有1个公共点，因此函数F(x)＝xf(x)＋的零点个数是1，选B.‎ 二、填空题 ‎13．解析：＋＝，故cos＝cos＝sin＝.‎ 答案： ‎14．解析：由题意可知，不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，即△ABC的边界及其内部，kx＋y－4＝0表示过定点(0,4)的直线，因为可行域中有无穷多个点(x，y)使目标函数z＝y＋x取得最小值，所以最优解落在了直线kx＋y－4＝0上，且该直线与直线y＋x＝0平行，故k＝1.‎ 答案：1‎ ‎15．解析：因为不等式的右侧是一个分式，其中＝，＝＝，＝，…，故不等式的右侧依次构成数列；不等式的左侧是一些分式的和，其中＝，＝，＝，…，故不等式的左侧是数列的前n项和．故第n个不等式为＋＋＋＋…＋<.‎ 答案：＋＋＋＋…＋< ‎16．解析：设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，代入数据解得q3＝－8，所以q＝－2；等比数列{|an|}的公比为|q|＝2，则|an|＝×2n－1，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝(2n－1)＝2n－1－.‎ 答案：－2　2n－1－ ‎[保分专练卷(一)]‎ ‎1．已知函数f(x)＝4sin xcos x－4cos2x＋1.‎ ‎(1)求函数f(x)在上的最大值和最小值；‎ ‎(2)若对于任意的x∈R，不等式f(x)≤f(x0)恒成立，求sin的值．‎ ‎2．(2014·济南模拟)某工厂有三个车间，共有员工2 000名，各车间男、女员工人数如下表：‎ 第一车间 第二车间 第三车间 女员工 ‎373‎ x ‎200‎ 男员工 ‎377‎ ‎370‎ y 已知在全厂员工中随机抽取1名，抽到第二车间女员工的概率是0.19.‎ ‎(1)求x，y的值；‎ ‎(2)现用分层抽样的方法在第三车间抽取5名员工参加志愿者活动，将这5人看作一个总体，现要从5人中任选2人做正、副组长，求恰有1名女员工当选正组长或副组长的概率．‎ ‎3．(2014·沈阳模拟)已知△ABC为直角三角形，AB⊥BC，四边形ABDE为等腰梯形，DE∥AB，平面ABDE⊥平面ABC，AB＝BC＝2DE＝2.‎ ‎(1)在AC上是否存在一点F，使得EF∥平面BCD?‎ ‎(2)若等腰梯形ABDE的高h＝1，求四棱锥C ABDE的体积．‎ ‎4．已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋n2－1，数列{bn}满足3n·bn＋1＝(n＋1)an＋1－nan，且b1＝3.‎ ‎(1)求an，bn；‎ ‎(2)设Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn，并求满足Tn<7时n的最大值．‎ ‎[答案]‎ ‎1．解：(1)由题意知，f(x)＝4sin xcos x－4cos2x＋1‎ ‎＝2sin 2x－2(1＋cos 2x)＋1＝4sin－1.‎ ‎∵0≤x≤，‎ ‎∴－≤2x－≤，‎ ‎∴－≤sin≤1，‎ ‎∴－3≤f(x)≤3.‎ 即函数f(x)在上的最大值为3，最小值为－3.‎ ‎(2)∵对于任意的x∈R，不等式f(x)≤f(x0)恒成立，‎ ‎∴f(x0)是f(x)的最大值，∴2x0－＝2kπ＋，k∈Z，‎ 解得2x0＝2kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴sin＝sin＝sin＝.‎ ‎2．解：(1)x＝2 000×0.19＝380，y＝300.‎ ‎(2)应抽取男员工3名，设为a，b，c，女员工2名，设为m，n，任选2人做正、副组长的可能有：(a，b)，(a，c)，(a，m)，(a，n)，(b，a)，(b，c)，(b，m)，(b，n)，(c，a)，(c，b)，(c，m)，(c，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，n)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，m)，共20种．‎ 设事件A表示“恰有1名女员工当选组长”，则A包含的基本事件为：(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，共12种．‎ 故所求的概率P(A)＝＝.‎ ‎3．解：‎ ‎(1)当点F为AC的中点时，EF∥平面BCD.‎ 证明如下：‎ 取BC的中点H，连接EF，FH，DH，则FH∥AB，且FH＝AB，又DE∥AB，AB＝BC＝2DE＝2，‎ 所以FH∥DE，且FH＝DE，所以四边形DEFH为平行四边形，所以EF∥DH，又EF⊄平面BCD，DH⊂平面BCD，所以EF∥平面BCD.‎ ‎(2)因为平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB，AB⊥BC，所以BC⊥平面ABDE.‎ 又等腰梯形ABDE的高h＝1，AB＝BC＝2DE＝2，所以四棱锥C ABDE的体积V＝×‎ S等腰梯形ABDE×BC＝×(1＋2)×1×2＝1.‎ ‎4．解：(1)当n≥2时，Sn＝an＋n2－1，Sn－1＝an－1＋(n－1)2－1，‎ 两式相减，得an＝an－an－1＋2n－1，∴an－1＝2n－1，‎ ‎∴an＝2n＋1，‎ ‎∴3n·bn＋1＝(n＋1)(2n＋3)－n(2n＋1)＝4n＋3，‎ ‎∴bn＋1＝.‎ ‎∴当n≥2时，bn＝，又b1＝3适合上式，‎ ‎∴bn＝.‎ ‎(2)由(1)知，bn＝，‎ ‎∴Tn＝＋＋＋…＋＋，①‎ Tn＝＋＋＋…＋＋，②‎ ‎①－②，得Tn＝3＋＋＋…＋－ ‎＝3＋4×－＝5－，‎ ‎∴Tn＝－.‎ Tn－Tn＋1＝－＝<0，‎ ‎∴Tn7，‎ ‎∴当Tn<7时，n的最大值为3.‎ ‎[保分专练卷(二)]‎ ‎1．(2014·皖南八校联考)在△ABC中，a，b，c是三个内角A，B，C的对边，关于x的不等式x2cos C＋4xsin C＋6<0的解集是空集．‎ ‎(1)求角C的最大值；‎ ‎(2)若c＝，△ABC的面积S＝，求角C取最大值时a＋b的值．‎ ‎2．(2014·福州模拟)某科研机构有3名男科学家和3名女科学家，现要从中选出2名科学家参加一个学术活动．‎ ‎(1)求男科学家甲被选中的概率；‎ ‎(2)由于工作需要，男科学家甲和女科学家A不能同时入选，则选出的2名科学家为1名男科学家和1名女科学家的概率是多少？‎ ‎3．(2014·厦门模拟)在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，M、N分别是BC和PD的中点．‎ ‎(1)证明：MN∥平面PAB；‎ ‎(2)证明：平面PBD⊥平面PAC.‎ ‎4．(2014·日照模拟)设各项均为正数的数列{an}的前n项和是Sn，若{an}和{}都是等差数列，且公差相等．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若a1，a2，a5恰为等比数列{bn}的前三项，记cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，求证：对任意n∈N*都有Tn<2.‎ ‎[答案]‎ ‎1.解：(1)显然cos C＝0不合题意，则 即即 解得：cos C≥，故角C的最大值为60°.‎ ‎(2)当C＝60°时，S△ABC＝absin C＝ab＝，‎ ‎∴ab＝6，‎ 由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－2ab－2abcos C，∴(a＋b)2＝c2＋3ab＝，∴a＋b＝.‎ ‎2．解：(1)设其余的2名男科学家分别为乙、丙，其余的2名女科学家分别为B、C，由题意可知，从3名男科学家和3名女科学家中选出2名科学家结果为(甲，乙)、(甲，丙)、(甲，A)、(甲，B)、(甲，C)、(乙，丙)、(乙，A)、(乙，B)、(乙，C)、(丙，A)、(丙，B)、(丙，C)、(A，B)、(A，C)、(B，C)，共计15个基本事件，其中含有男科学家甲的有5个基本事件，所以所求的概率是＝.‎ ‎(2)此时事件“2名科学家为1名男科学家和1名女科学家”所含有的基本事件是(甲，B)、(甲，C)、(乙，A)、(乙，B)、(乙，C)、(丙，A)、(丙，B)、(丙，C)，共计8个基本事件，根据古典概型的概率计算公式，所求概率是＝.‎ ‎3．解：(1)取PA的中点O，连接BO、NO.‎ ‎∵NO是△PAD的中位线，‎ ‎∴NO∥AD，NO＝AD.‎ ‎∵四边形ABCD为菱形，‎ ‎∴MB∥AD，MB＝AD，‎ ‎∴NO∥MB，NO＝MB，‎ ‎∴四边形BMNO为平行四边形，∴MN∥BO.‎ 又∵BO⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，‎ ‎∴MN∥平面PAB.‎ ‎(2)∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC.‎ 又∵PA⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥BD.又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.‎ 又∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.‎ ‎4．解：(1)设数列{an}的公差为d，则＝＝n，且a1－＝0.‎ 又d＝，所以d＝，a1＝＝，an＝.‎ ‎(2)易知bn＝×3n－1，所以cn＝.‎ 当n＝1时，T1＝c1＝<2；‎ 当n≥2时，<＝＝－，‎ 所以当n≥2时，Tn＝＋＋…＋<‎ ＋＋＋…＋＝2－<2.‎ 综上可知，对任意的n∈N*都有Tn<2.‎ ‎[拉分专练卷(一)]‎ ‎1．(2014·长沙模拟)如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，点P为上顶点，圆O：x2＋y2＝b2将椭圆C的长轴三等分，直线l：y＝mx－与椭圆C交于A、B两点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)求证：△APB为直角三角形，并求该三角形面积的最大值．‎ ‎2．(2014·南昌模拟)已知函数f(x)＝ln x＋x2－ax(a为常数)．‎ ‎(1)若x＝1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；‎ ‎(2)当0＜a≤2时，试判断f(x)的单调性；‎ ‎(3)若对任意的a∈(1,2)，x0∈[1,2]，不等式f(x0)>mln a恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎[答案]‎ ‎1．解：(1)由题知2b＝2，∴b＝1.∵圆O将椭圆C的长轴三等分，∴2b＝×2a，∴a＝3b＝3，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由，消去y得(1＋9m2)x2－mx－＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 又P(0,1)，‎ ‎∴‎ ‎＝(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)‎ ‎＝x1x2＋ ‎＝x1x2＋m2x1x2－m(x1＋x2)＋ ‎＝(1＋m2)·－m·＋ ‎＝＝0.‎ ‎∴PA⊥PB，则△APB为直角三角形．‎ 设l与y轴的交点为K，则K，|PK|＝，‎ ‎∴S△APB＝|PK|(|x1|＋|x2|)＝|PK||x1－x2|＝× ‎＝×× ‎＝×，‎ 令＝t≥1，则S△APB＝×＝≤＝，‎ 当且仅当9t＝即t＝时取等号．‎ ‎∴△APB面积的最大值为.‎ ‎2．解：f′(x)＝＋2x－a，x>0，‎ ‎(1)由已知得：f′(1)＝0，所以1＋2－a＝0，所以a＝3.‎ ‎(2)当00，而x>0，即f′(x)＝>0，故f(x)在(0，＋∞)上是增函数．‎ ‎(3)当a∈(1,2)时，由(2)知，f(x)在[1,2]上的最小值为f(1)＝1－a，‎ 故问题等价于：对任意的a∈(1,2)，不等式1－a>mln a恒成立，即m<恒成立．‎ 记g(a)＝(1b>0)的焦点F到直线x－3y＝0的距离为，抛物线G：y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆E的焦点F重合，过F作与x轴垂直的直线交椭圆于S，T两点，交抛物线于C，D两点，且＝4.‎ ‎(1)求椭圆E及抛物线G的方程；‎ ‎(2)过点F且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，交抛物线于M，N两点，如图所示，请问是否存在实常数λ，使＋为常数．若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．‎ ‎[答案]‎ ‎1．解：(1)因为f(x)＝x3－6x2＋9x－3，‎ 所以f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)．‎ 令f′(x)＝0，可得x＝1或x＝3.‎ 则f′(x)，f(x)在R上的变化情况为：‎ x ‎(－∞，1)‎ ‎1‎ ‎(1,3)‎ ‎3‎ ‎(3，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ 增函数 ‎1‎ 减函数 ‎－3‎ 增函数 所以当x＝1时，函数f(x)有极大值1，当x＝3时，函数f(x)有极小值－3.‎ ‎(2)假设函数f(x)在(3，＋∞)上存在“域同区间”[s，t](33)，‎ 则g′(x)＝3x2－12x＋8.‎ 令g′(x)＝0，解得x1＝2－<3，x2＝2＋>3.‎ 当3x2时，g′(x)>0，‎ 所以函数g(x)在区间(3，x2)上单调递减，在区间(x2，＋∞)上单调递增．‎ 因为g(3)＝－6＜0，g(x2)0，‎ 所以函数g(x)在区间(3，＋∞)上只有一个零点．‎ 这与方程x3－6x2＋9x－3＝x有两个大于3的相异实根相矛盾，所以假设不成立，‎ 所以函数f(x)在(3，＋∞)上不存在“域同区间”．‎ ‎2．解：(1)设椭圆E、抛物线G的公共焦点F(c,0)，‎ 由点到直线的距离公式得＝，‎ 解得c＝2，故＝2，即p＝4.‎ 由＝4，得＝＝＝4，‎ ‎∴＝，即a＝b2，又a2＝b2＋22，解得a＝，b＝1.‎ 故椭圆E的方程为＋y2＝1，抛物线G的方程为y2＝8x.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)．‎ 把直线l的方程y＝k(x－2)，与椭圆E的方程联立，得 整理得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝，x1x2＝，‎ ‎∴|AB|＝·＝.‎ 把直线l的方程y＝k(x－2)，与抛物线G的方程联立，‎ 得得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，‎ ‎∴x3＋x4＝，x3x4＝4，‎ ‎∴|MN|＝x3＋x4＋4＝.‎ ‎∴＋＝＋＝‎ ，‎ 要使＋为常数，则20＋λ＝4，解得λ＝－.‎ 故存在λ＝－，使得＋为常数．‎