2021版高考数学一轮复习第九章立体几何9-6利用空间向量讨论平行与垂直课件理北师大版 18页

第六节　利用空间向量 讨论平行与垂直 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养测评 【教材 · 知识梳理】 1. 直线的方向向量与平面的法向量 直线的 方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行 ( 或重合 ) 的非 零向量 , 一条直线的方向向量有 _____ 个 平面的 法向量 直线 l ⊥ 平面 α, 取直线 l 的方向向量 , 则这个向量叫 做平面 α 的法向量 . 显然一个平面的法向量有 _____ 个 , 它们是共线向量 无数 无数 2. 空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线 l 1 , l 2 的方向向量分别为 n 1 , n 2 l 1 ∥ l 2 n 1 ∥ n 2 ⇔ _______ l 1 ⊥ l 2 n 1 ⊥ n 2 ⇔ ________ 直线 l 的方向向量为 n , 平面 α 的法向量为 m l ∥α n ⊥ m ⇔ _______ l ⊥α n ∥ m ⇔ ______ 平面 α,β 的法向量分别为 n , m α∥β n ∥ m ⇔ ______ α⊥β n ⊥ m ⇔ _______ n 1 =λ n 2 n 1 · n 2 =0 m · n =0 n =λ m n =λ m n · m =0 【知识点辨析】 ( 正确的打“ √”, 错误的打“ ×”) 　 (1) 一个平面的法向量是唯一确定的 . ( 　　 ) (2) 每一条直线都有两个方向向量 . ( 　　 ) (3) 若两平面的法向量垂直 , 则两平面平行 . ( 　　 ) (4) 若两直线的方向向量不平行 , 则两直线不平行 . ( 　　 ) (5) 若直线的一个方向向量与平面的一个法向量垂直 , 则此直线与该平面平行 . ( 　　 ) 提示 : (1) × . 一个平面有无数个法向量 , 它们都是共线向量 . (2) × . 每一条直线都有无数个方向向量 . (3) × . 若两平面的法向量平行 , 则两平面平行 . (4)√. (5) × . 此直线也可能在该平面内 . 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 忽略方向向量与法向量的任意性致误 考点一、 T1,2 2 忽略线面、面面垂直判定定理的向量表示法的应用 考点二、角度 1,2 【教材 · 基础自测】 1.( 选修 2-1P41 练习 T3 改编 ) 已知平面 α 的法向量为 n =(2,-2,4), =(-3,1,2), 点 A 不在 α 内 , 则直线 AB 与平面 α 的位置关系为 ( 　　 ) A.AB⊥α 　　　　　　　 B.AB α C.AB 与 α 相交不垂直 D.AB∥α 【解析】 选 D. 因为 n · =(2,-2,4)·(-3,1,2)=-6-2+8=0, 所以 n ⊥ , 而点 A 不在 α 内 , 故 AB∥ α . 2.( 选修 2-1 P41 练习 T2 改编 ) 设 u=(-2,2,t),v=(6,-4,4) 分别是平面 α,β 的法向量 . 若 α⊥β, 则 t= ( 　　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】 选 C. 因为 α⊥β, 则 u · v =-2×6+2×(-4)+4t=0, 所以 t=5. 3.( 选修 2-1P41 练习 T2 改编 ) 已知平面 α,β 的法向量分别为 n 1 =(2,3,5), n 2 = (-3,1,-4), 则 ( 　　 ) A.α∥β B.α⊥β C.α,β 相交但不垂直 D. 以上均不对 【解析】 选 C. 因为 n 1 ≠λ n 2 , 且 n 1 · n 2 =2×(-3)+3×1+5×(-4)=-23≠0, 所以 α,β 既不平行 , 也不垂直 . 4.( 选修 2-1 P41 练习 T2 改编 ) 设 u , v 分别是平面 α,β 的法向量 , u =(-2,2,5), 当 v =(3,-2,2) 时 ,α 与 β 的位置关系为 ________________; 当 v =(4,-4,-10) 时 ,α 与 β 的位置关系为 ________________.  【解析】 当 v=(3,-2,2) 时 , u · v =(-2,2,5)·(3,-2,2)=0 ⇒ α⊥β. 当 v =(4,-4, -10) 时 ,v=-2 u ⇒ α∥β. 答案 : α⊥β 　 α∥β 5.( 选修 2-1 P42 习题 2-4A 组 T3 改编 ) 如图所示 , 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 ,O 是底面正方形 ABCD 的中心 ,M 是 D 1 D 的中点 ,N 是 A 1 B 1 的中点 , 则直线 ON,AM 的位置关系是 ________________.  【解析】 以 A 为原点 , 分别以 所在直线为 x,y,z 轴 , 建立空间直角坐标 系 , 设正方体的棱长为 1, 则 A(0,0,0), 所以 ON 与 AM 垂直 . 答案 : 垂直