高考数学复习练习第3部分 专题一 第二讲 “4道”保分题专练卷（一～四） 14页

‎“4道”保分题专练卷(一)‎ ‎1．已知△ABC为锐角三角形，向量m＝(3cos‎2A，sin A)，n＝(1，－sin A)，且m⊥n.‎ ‎(1)求A的大小；‎ ‎(2)当＝pm，＝qn(p>0，q>0)，且满足p＋q＝6时，求△ABC面积的最大值．‎ 解：(1)∵m⊥n，∴3cos‎2A－sin‎2A＝0.‎ ‎∴3cos‎2A－1＋cos‎2A＝0，‎ ‎∴cos‎2A＝.‎ 又∵△ABC为锐角三角形，‎ ‎∴cos A＝，‎ ‎∴A＝.‎ ‎(2)由(1)可得m＝，n＝.‎ ‎∴||＝p，||＝q.‎ ‎∴S△ABC＝||·||·sin A＝pq.‎ 又∵p＋q＝6，且p>0，q>0，‎ ‎∴·≤，‎ 即·≤3.‎ ‎∴p·q≤9.‎ 故△ABC的面积的最大值为×9＝.‎ ‎2．某工厂有120名工人，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]分组，其频率分布直方图如图所示．工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备，要求每名工人都要参加A、B两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示．假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响．‎ 年龄分组 A项培训成绩优秀人数 B项培训成绩优秀人数 ‎[20,30)‎ ‎30‎ ‎18‎ ‎[30,40)‎ ‎36‎ ‎24‎ ‎[40,50)‎ ‎12‎ ‎9‎ ‎[50,60]‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎(1)若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为40的样本，求各年龄段应分别抽取的人数；‎ ‎(2)随机从年龄段[20,30)和[30,40)内各抽取1人，设这两人中A、B两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X，求X的分布列和数学期望．‎ 解：(1)由频率分布直方图知，在年龄段[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]内的人数的频率分别为0.35,0.4,0.15,0.1.‎ ‎∵0.35×40＝14,0.4×40＝16,0.15×40＝6,0.1×40＝4，‎ ‎∴在年龄段[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]内应抽取的人数分别为14,16,6,4.‎ ‎(2)∵在年龄段[20,30)内的人数为120×0.35＝42(人)，从该年龄段任取1人，由表知，此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为＝；B项培训结业考试成绩优秀的概率为＝，∴此人A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为×＝.‎ ‎∵在年龄段[30,40)内的人数为120×0.4＝48(人)，从该年龄段任取1人，由表知，此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为＝；B项培训结业考试成绩优秀的概率为＝，∴此人A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为×＝.‎ 由题设知，X的可能取值为0,1,2，‎ ‎∴P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝×＋×＝，‎ P(X＝2)＝×＝，‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P X的数学期望为 E(X)＝0×＋1×＋2×＝.‎ ‎3．设正项数列{an}的前n项和是Sn，若{an}和{}都是等差数列，且公差相等．‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)若a1，a2，a5恰为等比数列{bn}的前三项，记cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn.‎ 解：(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋，‎ 即＝ ，‎ 由是等差数列，得到 则d＝ 且d＝‎2a1＞0，‎ 所以d＝，‎ a1＝＝，‎ an＝＋(n－1)·＝.‎ ‎(2)由b1＝a1＝，b2＝a2＝，b3＝a5＝，得等比数列{bn}的公比q＝3，‎ 所以bn＝×3n－1，‎ 所以cn＝＝＝－，‎ Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.‎ ‎4.如图，正三棱柱ABCA1B‎1C1的所有棱长都为2，＝λ (λ∈R)．‎ ‎(1)当λ＝时，求证：AB1⊥平面A1BD; ‎ ‎(2)当二面角AA1DB的大小为时，求实数λ的值．‎ 解：(1)证明：取BC的中点O，连接AO.‎ 因为在正三棱柱ABCA1B‎1C1中，平面ABC⊥平面CBB‎1C1，且△ABC为正三角形，所以AO⊥BC，AO⊥平面CBB‎1C1.‎ 以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，‎ 则A(0,0，)，B1(1,2,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，B(1,0,0)．所以＝(1,2，－)， ＝(1,1，)，＝(2，－1,0)．‎ 因为·＝1＋2－3＝0，·＝2－2＝0，‎ 所以AB1⊥DA1，AB1⊥DB，又DA1∩DB＝D，‎ 所以AB1⊥平面A1BD.‎ ‎(2)由(1)得D(－1,2λ，0)，所以＝(1,2－2λ，)，＝(2，－2λ，0)，＝(1，－2λ，)．‎ 设平面A1BD的一个法向量为n1＝(x，y，z)，平面AA1D的一个法向量为n2＝(s，t，u)，‎ 由得平面A1BD的一个法向量为n1＝.‎ 同理可求得平面AA1D的一个法向量为n2＝(，0，－1)，‎ 由|cos〈n1，n2〉|＝＝，解得λ＝，‎ 故λ的值为.‎ ‎“4道”保分题专练卷(二)‎ ‎1．已知函数f(x)＝4sin ωxcos＋(ω＞0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值．‎ 解：(1)f(x)＝4sin ωx＋ ‎＝2sin ωxcos ωx－2sin2ωx＋ ‎＝sin 2ωx＋cos 2ωx ‎＝2sin.‎ ‎∵T＝＝π，∴ω＝1.‎ ‎∴f(x)＝2sin.‎ ‎(2)∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤.‎ ‎∴－≤sin≤1，即－1≤f(x)≤2，‎ 当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)min＝－1；‎ 当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2.‎ ‎2．已知正方形ABCD的边长为2，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．‎ ‎(1)在正方形ABCD内部随机取一点P，求|PH|＜的概率；‎ ‎(2)从A、B、C、D、E、F、G、H这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ)．‎ 解：(1)这是一个几何概型．所有点P构成的平面区域是正方形ABCD的内部，其面积是2×2＝4.满足|PH|＜的点P构成的平面区域是以H为圆心，为半径的圆的内部与正方形ABCD内部的公共部分，它可以看作是由一个以H为圆心，为半径，圆心角为的扇形HEG的内部(即四分之一个圆)与两个直角边为1的等腰直角三角形(△AEH和△DGH)的内部构成的，‎ 其面积是×π×()2＋2××1×1＝＋1.‎ 所以|PH|＜的概率为＝＋.‎ ‎(2)从A、B、C、D、E、F、G、H这八个点中，任意选取两个点，共可构成C＝28条不同的线段．‎ 其中长度为1的线段有8条，长度为的线段有4条，长度为2的线段有6条，长度为的线段有8条，长度为2的线段有2条．‎ 所以ξ所有可能的取值为1，，2，，2.‎ P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.‎ 所以随机变量ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎2 P 随机变量ξ的数学期望为 E(ξ)＝1×＋×＋2×＋×＋2×＝.‎ ‎3.如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABCA1B‎1C1中，AC＝AA1＝2AB＝2，∠BAC＝90°，点D是侧棱CC1延长线上一点，EF是平面ABD与平面A1B‎1C1的交线．‎ ‎(1)求证：EF⊥A‎1C；‎ ‎(2)当平面DAB与平面CA1B1所成锐二面角的余弦值为时，求DC1的长．‎ 解：(1)证明：∵三棱柱ABCA1B‎1C1为直三棱柱，‎ ‎∴平面ABC∥平面A1B‎1C1.‎ 又平面ABC∩平面ABD＝AB，平面A1B‎1C1∩平面ABD＝EF，‎ ‎∴EF∥AB.‎ ‎∵三棱柱ABCA1B‎1C1为直三棱柱，且∠BAC＝90°，‎ ‎∴AB⊥AA1，AB⊥AC.‎ 而AA1∩AC＝A，∴AB⊥平面ACC‎1A1.‎ 又A‎1C⊂平面ACC‎1A1，‎ ‎∴AB⊥A‎1C.‎ ‎∴EF⊥A‎1C.‎ ‎(2)建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.‎ 设C1D＝t(t＞0)，‎ 则B(1,0,0)，C(0,2,0)，D(0,2,2＋t)，A1(0,0,2)，B1(1,0,2)．‎ ‎∴＝(1,0,0)，＝(0,2，－2)．‎ 设平面CA1B1的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)，‎ 则得令z1＝1，则y1＝1，‎ ‎∴n＝(0,1,1)．‎ 同理可求得平面DAB的一个法向量为m＝.‎ 由|cos〈n，m〉|＝＝，‎ 得t＝1或t＝－(舍去)．‎ ‎∴DC1＝1.‎ ‎4．已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－n－1＋2(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝2nan.‎ ‎(1)求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝log2，数列的前n项和为Tn，求满足Tn＜(n∈N*)的n的最大值．‎ 解：(1)在Sn＝－an－n－1＋2中，令n＝1，可得S1＝－a1－1＋2＝a1，即a1＝.‎ 当n≥2时，Sn－1＝－an－1－n－2＋2，‎ ‎∴an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1＋n－1，‎ ‎∴2an＝an－1＋n－1，即2nan＝2n－1an－1＋1.‎ ‎∵bn＝2nan，‎ ‎∴bn＝bn－1＋1，即当n≥2时，bn－bn－1＝1.‎ 又b1＝‎2a1＝1，‎ ‎∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．‎ 于是bn＝1＋(n－1)·1＝n＝2nan，∴an＝.‎ ‎(2)∵cn＝log2＝log22n＝n，‎ ‎∴＝＝－，‎ ‎∴Tn＝＋＋＋…＋＋＝1＋－－.‎ 由Tn＜，得1＋－－＜，‎ 即＋＞.‎ 设f(n)＝＋(n∈N*)，‎ 则f(n)＝＋单调递减，‎ ‎∵f(4)＝，f(5)＝，‎ ‎∴n的最大值为4.‎ ‎“4道”保分题专练卷(三)‎ ‎1．(2013·陕西五校联考)已知向量m＝(sin x，sin x)，n＝(sin x，－cos x)，设函数f(x)＝m·n，若函数g(x)的图像与f(x)的图像关于坐标原点对称．‎ ‎(1)求函数g(x)在区间上的最大值，并求出此时x的值；‎ ‎(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A为锐角，若f(A)－g(A)＝，b＋c＝7，△ABC的面积为2，求边a的长．‎ 解：(1)由题意得f(x)＝sin2x－sin xcos x＝－sin 2x＝－sin，‎ 所以g(x)＝－－sin.‎ 因为x∈，所以2x－∈.‎ 所以当2x－＝－，即x＝－时，‎ 函数g(x)在区间上的最大值为.‎ ‎(2)由f(A)－g(A)＝，得 ‎1－sin＋sin＝，‎ 化简得cos ‎2A＝－，‎ 又因为00)，则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)，E，P(0，－，t)．‎ 由(1)知，平面PBD的一个法向量为n1＝(1,0,0)，设平面PAB的一个法向量为n2＝(x，y，z)，且＝(－1, ，0)，＝(－1，－，t)，则根据得 令y＝1，得平面PAB的一个法向量为n2＝.‎ ‎∵二面角APBD的余弦值为，‎ ‎∴|cos〈n1，n2〉|＝，即＝，‎ 解得t＝2或t＝－2(舍去)，∴P(0，－，2)．‎ 设EC与平面PAB所成的角为θ，‎ ‎∵＝(－1,0，－)，n2＝(，1,1)，‎ ‎∴sin θ＝|cos〈，n2〉|＝＝，‎ ‎∴EC与平面PAB所成角的正弦值为.‎