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- 2021-06-20 发布
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课时分层作业(十) 函数的最大(小)值
(建议用时:40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1.函数f(x)=在[1,+∞)上( )
A.有最大值无最小值
B.有最小值无最大值
C.有最大值也有最小值
D.无最大值也无最小值
A [结合函数f(x)=在[1,+∞)上的图象可知函数有最大值无最小值.]
2.函数f(x)=-x2+4x-6,x∈[0,5]的值域为( )
【导学号:37102146】
A.[-6,-2] B.[-11,-2]
C.[-11,-6] D.[-11,-1]
B [函数f(x)=-x2+4x-6=-(x-2)2-2,x∈[0,5],
所以当x=2时,f(x)取得最大值为-(2-2)2-2=-2;
当x=5时,f(x)取得最小值为-(5-2)2-2=-11,
所以函数f(x)的值域是[-11,-2].故选B.]
3.函数f(x)=则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A.10,6 B.10,8
C.8,6 D.以上都不对
A [当1≤x≤2时,8≤2x+6≤10,当-1≤x<1时,6≤x+7<8,∴f(x)min=f(-1)=6,f(x)max=f(2)=10.故选A.]
4.当0≤x≤2时,a<-x2+2x恒成立,则实数a的取值范围是( )
【导学号:37102147】
A.(-∞,1] B.(-∞,0]
C.(-∞,0) D.(0,+∞)
C [令f(x)=-x2+2x,
则f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1.
又∵x∈[0,2],∴f(x)min=f(0)=f(2)=0,
∴a<0.]
5.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x(其中销售量单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为( )
A.90万元 B.60万元
C.120万元 D.120.25万元
C [设公司在甲地销售x辆,则在乙地销售(15-x)辆,公司获利为
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L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30=-2+30+,
∴当x=9或10时,L最大为120万元.]
二、填空题
6.函数f(x)=在[1,b](b>1)上的最小值是,则b=________.
【导学号:37102148】
4 [因为f(x)=在[1,b]上是减函数,所以f(x)在[1,b]上的最小值为f(b)==,所以b=4.]
7.函数f(x)=-3x在区间[2,4]上的最大值为________.
-4 [∵在区间上是减函数,-3x在区间上是减函数,∴函数f(x)=-3x在区间上是减函数,
∴f(x)max=f(2)=-3×2=-4.]
8.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为________.
【导学号:37102149】
1 [函数f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+4+a,x∈[0,1],且函数有最小值-2.
故当x=0时,函数有最小值,
当x=1时,函数有最大值.
∵当x=0时,f(0)=a=-2,
∴f(x)max=f(1)=-1+4-2=1.]
三、解答题
9.画出函数f(x)=的图象,并写出函数的单调区间,函数的最小值.
[解] 函数的图象如图所示.
由图象可知f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和[0,+∞),无递减区间.
(2)由函数图象可知,
函数的最小值为f(0)=-1.
10.已知函数f(x)=-x2+2x-3.
(1)求f(x)在区间[2a-1,2]上的最小值g(a);
(2)求g(a)的最大值.
【导学号:37102150】
[解] (1)f(x)=-(x-1)2-2,f(2)=-3,f(0)=-3,
∴当2a-1≤0,即a≤时,f(x)min=f(2a-1)=-4a2+8a-6;
当0<2a-1<2,即0),则f(x)在[-5,5]上的最大值为( )
【导学号:37102151】
A.1-a2 B.26+10a
C.26-10a D.不存在
B [函数f(x)=x2+2ax+1开口向上,对称轴为x=-a<0,故当x=5时,f(x)有最大值,且f(5)=26+10a.故选B.]
3.函数g(x)=2x-的值域为________.
[设=t(t≥0),则x+1=t2,
即x=t2-1,∴y=2t2-t-2=22-,t≥0,
∴当t=时,ymin=-,
∴函数g(x)的值域为.]
4.用min{a,b}表示a,b两个数中的最小值.设f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为________.
【导学号:37102152】
6 [在同一个平面直角坐标系内画出函数y=x+2和y=10-x的图象.
根据min{x+2,10-x}(x≥0)的含义可知,f(x)的图象应为图中的实线部分.
解方程x+2=10-x,得x=4,此时y=6,故两图象的交点为(4,6).
- 4 -
所以f(x)=其最大值为交点的纵坐标,所以f(x)的最大值为6.]
5.某商场经营一批进价是每件30元的商品,在市场试销中发现,该商品销售单价x(不低于进价,单位:元)与日销售量y(单位:件)之间有如下关系:
x
45
50
y
27
12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y=f(x)(注明函数定义域).
(2)若日销售利润为P元,根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式,并指出当销售单价为多少元时,才能获得最大的日销售利润?
[解] (1)因为f(x)是一次函数,设f(x)=ax+b,由表格得方程组解得
所以y=f(x)=-3x+162.
又y≥0,所以30≤x≤54,
故所求函数关系式为y=-3x+162,x∈[30,54].
(2)由题意得,
P=(x-30)y=(x-30)(162-3x)
=-3x2+252x-4 860
=-3(x-42)2+432,x∈[30,54].
当x=42时,最大的日销售利润P=432,即当销售单价为42元时,获得最大的日销售利润.
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