高考数学专题复习练习选修4-5 不等式选讲 5页

选修4-5 不等式选讲 一、填空题 ‎1．不等式＞的解集是________．‎ 解析 由绝对值的意义知，原不等式同解于＜0，‎ 即x(x－2)＜0，∴0＜x＜2.‎ 答案 (0，2)‎ ‎2．设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x||x－b|＞2，x∈R}．若A⊆B，则实数a，b必满足________．‎ 解析 由|x－a|＜1得a－1＜x＜a＋1.‎ 由|x－b|＞2得x＜b－2或x＞b＋2.[来源:学|科|网]‎ ‎∵A⊆B，∴a－1≥b＋2或a＋1≤b－2，‎ 即a－b≥3或a－b≤－3，∴|a－b|≥3.[来源XK]‎ 答案 |a－b|≥3‎ ‎3．对于x∈R，不等式|x＋10|－|x－2|≥8的解集为________．‎ 解析　法一　(零点分段法)由题意可知，‎ 或或 解得x≥0，故原不等式的解集为{x|x≥0}．‎ 法二　(几何意义法)如图，在数轴上令点A、B的坐标分别为－10，2，在x轴上任取一点P，其坐标设为x，则|PA|＝|x＋10|，|PB|＝|x－2|，观察数轴可知，要使|PA|－|PB|≥8，则只需x≥0.故原不等式的解集为{x|x≥0}．‎ 答案　{x|x≥0}‎ ‎4．若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．‎ 解析　由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3.所以只需a≤3即可．‎ 答案　(－∞，3]‎ ‎5．若logx y＝－2，则x＋y的最小值是________．‎ 解析 ∵logxy＝－2，∴y＝，‎ ‎∴x＋y＝x＋＝＋＋[来源:学科网ZXXK]‎ ‎≥3＝.‎ 答案 ‎6．设不等式＋≤a对一切x＞0，y＞0恒成立，求实数a的最小值为________．‎ 解析 原题即a≥对一切x＞0，y＞0恒成立．‎ 设A＝，‎ A2＝＝1＋≤2，‎ 当x＝y时等号成立，∵A＞0，‎ ‎∴0＜A≤.即A有最大值.‎ ‎∴当a≥时，＋≤a对一切x＞0，y＞0成立．[来源:Zxxk.Com]‎ ‎∴a的最小值为.‎ 答案 ‎7．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．‎ 解析　∵a≥＝对任意x＞0恒成立，设u＝x＋＋3，‎ ‎∴只需a≥恒成立即可．‎ ‎∵x＞0，∴u≥5(当且仅当x＝1时取等号)．‎ 由u≥5，知0＜≤，∴a≥.‎ 答案　 ‎8．已知h＞0，a，b∈R，命题甲：|a－b|＜2h：命题乙：|a－1|＜h且|b－1|＜h，则甲是乙的________条件．‎ 解析　|a－b|＝|a－1＋1－b|≤|a－1|＋|b－1|＜2h，故由乙能推出甲成立，但甲成立不能推出乙成立，所以甲是乙的必要不充分条件．‎ 答案　必要不充分 二、解答题 ‎9．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．‎ ‎(1)求m的值；‎ ‎(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋‎3c≥9.‎ 解　(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，‎ 所以f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，‎ 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．‎ 又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.‎ ‎(2)由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得 a＋2b＋‎3c＝(a＋2b＋‎3c) ‎≥2＝9.‎ ‎10．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．‎ 证明 法一：因为a，b，c均为正数，由均值不等式得 a2＋b2＋c2≥3(abc)，①‎ ＋＋≥3(abc)－，‎ 所以≥9(abc)－.②‎ 故a2＋b2＋c2＋≥3(abc)＋9(abc)－.‎ 又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6，③‎ 所以原不等式成立．‎ 当且仅当a＝b＝c时，①和②式等号成立．当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立．‎ 即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．‎ 法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得 a2＋b2≥2ab，‎ b2＋c2≥2bc，‎ c2＋a2≥‎2ac.‎ 所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac①‎ 同理＋＋≥＋＋②‎ 故a2＋b2＋c2＋[来源:学|科|网]‎ ‎≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③‎ 所以原不等式成立．‎ 当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．‎ 即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．‎