2021版高考数学一轮复习第十二章概率第二节古典概型几何概型课件文北师大版 29页

第二节　古典概型、几何概型 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养 · 微专题 核心素养测评 【 教材 · 知识梳理 】 1. 古典概型 具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型 . (1) 有限性 : 试验的所有可能结果 ___________, 每次试验只出现其中的一个结果 . (2) 等可能性 : 每个试验结果出现的可能性 _____. 只有有限个 相同 2. 古典概型的概率公式 如果试验的所有可能结果 ( 基本事件 ) 数为 n, 随机事件 A 包含的基本事件数为 m, 那么事件 A 的概率规定为 P(A)=_______________________=___. 3. 模拟方法 对于某些无法确切 知道概率的问题 , 常借助 _________ 来估计某些随机事件发生 的概率 . 用 _________ 可以在短时间内完成大量的重复试验 . 模拟方法 模拟方法 4. 几何概型 (1) 向平面上有限区域 ( 集合 )G 内随机地投掷点 M, 若点 M 落在 ____________ 的概 率与 G 1 的 _____ 成正比 , 而与 G 的 _____ 、 _____ 无关 , 即 P( 点 M 落在 G 1 )=__________, 则称这种模型为几何概型 . (2) 几何概型中的 G 也可以是 _______ 或 _______ 的有限区域 , 相应的概率是 _____ _____ 或 _________. 子区域 G 1 G 面积 形状 位置 空间中 直线上 体积 之比 长度之比 【 知识点辨析 】 ( 正确的打“√” , 错误的打“ ×”) (1)“ 在适宜条件下 , 种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型 , 其基本事 件是“发芽与不发芽” . ( 　　 ) (2) 掷一枚硬币两次 , 出现“两个正面”“一正一反”“两个反面” , 这三个结 果是等可能事件 . ( 　　 ) (3) 有 3 个兴趣小组 , 甲、乙两位同学各自参加其中一个小组 , 每位同学参加各 个小组的可能性相同 , 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 . ( 　　 ) (4) 几何概型中 , 每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点 , 该区域中的每一点被取到的机会相等 . ( 　　 ) (5) 随机地从集合 C: 内取点 , 则这个点恰好落在圆 x 2 +y 2 =1 内的概率为 1, 所以这个事件是必然事件 , 这个点恰好落在圆 x 2 +y 2 =1 上的概率为 0, 所以这个事件是不可能事件 . ( 　　 ) 提示 : (1)×. 因为一粒种子发芽的概率与不发芽的概率不一定相等 , 所以不是古 典概型 . (2)×. 因为一正一反有两个结果 ,( 正 , 反 ),( 反 , 正 ), 所以两个正面 , 两个反面是 等可能事件 , 一正一反与两个正面 , 两个反面不是等可能事件 . (3)√. 设三个小组为 1,2,3, 甲、乙两个人参加其中一个 , 有 ( 甲 1, 乙 1),( 甲 1, 乙 2),( 甲 1, 乙 3),( 甲 2, 乙 1),( 甲 2, 乙 2),( 甲 2, 乙 3),( 甲 3, 乙 1),( 甲 3, 乙 2),( 甲 3, 乙 3), 共 9 种结果 , 其中甲、乙参加一个小组的有 ( 甲 1, 乙 1),( 甲 2, 乙 2),( 甲 3, 乙 3), 共 3 个结果 , 所以所求的概率为 (4)√. 根据几何概型的意义 , 判断正确 . (5)×. 基本事件空间的度量是这个圆的面积 , 事件 “ 这个点恰好落在圆 x 2 +y 2 =1 内 ” 对应的度量也是这个圆的面积 , 所以它的概率为 1, 但不是必然事件 , 因为有可能落在圆上 , 事件 “ 这个点恰好落在圆 x 2 +y 2 =1 上 ” 对应的图形是这个圆 ( 圆周 ), 它的面积为 0, 所以它的概率为 0, 但不是不可能事件 . 【 易错点索引 】 序号 易错警示 典题索引 1 基本事件空间错误或者空间中的元素个数错误 考点一、 T1 2 古典概型中事件包含的基本事件个数错误 考点一、 T2 3 几何概型中基本事件空间的度量 ( 长度、面积、体积 ) 错误或者计算错误 考点二、 T1,2,3 4 综合问题中读取信息不全面或者计算错误 考点三、角度 1, 角度 2, 角度 3 【 教材 · 基础自测 】 1.( 必修 3P134 练习 T1 改编 ) 把一颗骰子投掷两次 , 观察出现的点数 , 并记第一次出现的点数为 a, 第二次出现的点数为 b, 向量 m =(a,b), n =(1,2), 则向量 m 与向量 n 不共线的概率是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 若 m 与 n 共线 , 则 2a-b=0. 而 (a,b) 的可能情况为 6×6=36 个 . 符合 2a=b 的有 (1,2),(2,4),(3,6) 共三个 , 故共线的概率是 , 从而不共线的概率是 1- 2.( 必修 3P135 例 2 改编 ) 盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球 , 其中红色球 3 个 , 黄色球 2 个 . 若从中随机取出 2 个球 , 则所取出的 2 个球颜色不同的概率为 　　　　 .  【 解析 】 设红球为 A 1 ,A 2 ,A 3 , 黄球为 B 1 ,B 2 , 共有 :A 1 A 2 ,A 1 A 3 ,A 1 B 1 ,A 1 B 2 , A 2 A 3 ,A 2 B 1 ,A 2 B 2 ,A 3 B 1 ,A 3 B 2 ,B 1 B 2 10 种 , 其中不同色的有 6 种 ,P= 答案 : 3.( 必修 3P153A 组 T2 改编 ) 一个路口的红绿灯 , 红灯的时间为 30 s, 黄灯的时间为 5 s, 绿灯的时间为 40 s, 当某人到达路口时能直接通过的概率是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 C. 设事件 A 表示 “ 某人到达路口时能直接通过 ” 即 “ 该人到达路口 遇到绿灯 ” , 则事件 A 对应 40 s 的时间长度 , 而路口红绿灯亮的一个周期为 30+5+40=75(s) 的时间长度 . 根据几何概型的概率公式可得 , 事件 A 发生的概率 P(A)= 4.( 必修 3P152 思考交流改编 ) 假设某人订了一份牛奶 , 送奶人在早上 6:00-7:00 之间随机地把牛奶送到他家 , 而他在早上 6:30-7:30 之间随机地离家上学 , 则他在离开家前能收到牛奶的概率是 　　　　 .  【 解析 】 设送奶人到达的时间为 x, 订奶人离家的时间为 y, 以横坐标表示牛奶送到时间 , 以纵坐标表示订奶人离家时间 , 建立平面直角坐标系 ( 如图 ) 则订奶人离开家前能收到牛奶的事件构成区域如图所示 . 所以所求概率 P=1- 答案 : 思想方法　分类讨论思想在古典概型与几何概型中的应用　  【 典例 】 某班级在学校数学嘉年华活动中推出了一款数学游戏 , 受到大家的一致追捧 . 游戏规则如下 : 游戏参与者连续抛掷一颗质地均匀的骰子 , 记第 i 次得到的点数为 x i , 若存在正整数 n, 使得 x 1 +x 2 +…+x n =6, 则称正整数 n 为游戏参与者的幸运数字 . 世纪金榜导学号 (1) 求游戏参与者的幸运数字为 1 的概率 ; (2) 求游戏参与者的幸运数字为 2 的概率 . 【 解析 】 (1) 设 “ 游戏参与者的幸运数字为 1 ” 为事件 A, 由题意知 x 1 =6, 抛掷了 1 次骰子 , 相应的基本事件空间为 Ω A ={1,2,3,4,5,6}, 共有 6 个基本事件 , 而 A={6}, 只有 1 个基本事件 , 所以 P(A)= . (2) 设 “ 游戏参与者的幸运数字为 2 ” 为事件 B, 由题意知 x 1 +x 2 =6, 抛掷了 2 次骰子 , 相应的基本事件空间为 Ω B ={ |1≤x 1 ≤6,1≤x 2 ≤6,x 1 ∈N,x 2 ∈N} 共有 36 个基本事件 , 而 B={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}, 共有 5 个基本事件 , 所 以 P(B)= 【 思想方法指导 】 (1) 先确定基本事件空间 , 再确定事件 A 包含的基本事件个数 , 最后代入概率公式求解 . (2) 先按照 x 1 的取值分成六类 : x 1 =1,x 2 =1,2,3,4,5,6, x 1 =2,x 2 =1,2,3,4,5,6, x 1 =3,x 2 =1,2,3,4,5,6, x 1 =4,x 2 =1,2,3,4,5,6, x 1 =5,x 2 =1,2,3,4,5,6, x 1 =6,x 2 =1,2,3,4,5,6, 从而确定基本事件空间中的元素个数为 36. 【 迁移应用 】 袋子中放有大小和形状相同的小球若干个 , 其中标号为 0 的小球 1 个 , 标号为 1 的 小球 1 个 , 标号为 2 的小球 n 个 . 已知从袋子中随机抽取 1 个小球 , 取到标号是 2 的 小球的概率是 . (1) 求 n 的值 . (2) 从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球 , 记第一次取出的小球标号为 a, 第二次取出的小球标号为 b. ① 记事件 A 表示“ a+b=2”, 求事件 A 的概率 ; ② 在区间 [ 0,2] 内任取 2 个实数 x,y, 求事件“ x 2 +y 2 >(a-b) 2 恒成立”的概率 . 【 解析 】 (1) 由题意可知 : 解得 n=2. (2)① 不放回地随机抽取 2 个小球的所有基本事件为 : (0,1),(0,2 1 ),(0,2 2 ),(1,0),(1,2 1 ),(1,2 2 ),(2 1 ,0),(2 1 ,1),(2 1 ,2 2 ),(2 2 ,0), (2 2 ,1),(2 2 ,2 1 ) 共 12 个 , 事件 A 包含的基本事件为 : (0,2 1 ),(0,2 2 ),(2 1 ,0),(2 2 ,0) 共 4 个 . 所以 P(A)= ② 记 “ x 2 +y 2 >(a-b) 2 恒成立 ” 为事件 B, 则事件 B 等价于 “ x 2 +y 2 >4 ” ,(x,y) 可以看成平面中的点 , 则全部结果所构成的区域 而事件 B 所构成的区域 所以 P(B)=