2020年高中数学第三章空间向量与立体几何3 8页

第2课时 空间向量与垂直关系 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件·n＝0的点M构成的图形是(　　)‎ A．圆 B．直线 C．平面 D．线段 解析：M构成的图形是经过点A，且以n为法向量的平面．‎ 答案：C ‎2．已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则有取x＝1，则y＝－2，z＝2.‎ 所以n＝(1，－2,2)．由于|n|＝3，‎ 所以平面ABC的一个单位法向量可以是 .‎ 答案：B ‎3．在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，若E为A‎1C1的中点，则直线CE垂直于(　　)‎ A．AC B．BD C．A1D D．A‎1A 解析：建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1.‎ 则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，‎ ‎∴＝，＝(－1,1,0)，＝(－1，－1，0)，‎ ＝(－1,0，－1)，＝(0,0，－1)．‎ ‎∵·＝(－1)×＋(－1)×＋0×1＝0，∴CE⊥BD.‎ 答案：B 8‎ ‎4．已知点A，B，C的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，‎ 点P的坐标为(x,0，z)，若⊥，⊥，则点P的坐标为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：＝(－x,1，－z)，＝(－1，－1,1)，＝(2,0,1)，‎ ·＝0，·＝0.‎ ∴x＝，z＝－.‎ 答案：A ‎5．如图所示，正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　)‎ A．EF至多与A1D，AC之一垂直 B．EF⊥A1D，EF⊥AC C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面 解析：建立分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则＝(1,0,1)，‎ ＝(0,1,0)－(1, 0,0)＝(－1,1,0)，‎ E(，0， )，F(，，0)，‎ ＝(，，－)，∴·＝0，·＝0，‎ ‎∴EF⊥A1D，EF⊥AC.‎ 答案：B ‎6．若直线l的方向向量e＝(2,1，m)，平面α的法向量n＝(1，，2), 且l⊥α，则m＝________.‎ 解析：平面α的法向量即为平面的法线的方向向量，又l⊥α，∴e∥n，即e＝λn(λ≠0)，亦即(2,1，m)＝λ，‎ ‎∴∴m＝4.‎ 8‎ 答案：4‎ ‎7．在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos x＋1,2cos 2x＋2,0)和点 Q(cos x，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．‎ 解析：由OP⊥OQ，所以·＝0.‎ 即(2cos x＋1)·cos x＋(2cos 2x＋2)·(－1)＝0.‎ ‎∴cos x＝0或cos x＝.‎ ‎∵x∈[0，π]，∴x＝或x＝.‎ 答案：或 ‎8．△ABC的三个顶点分别是A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD长为________．‎ 解析：＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0)，‎ ＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)，‎ cos〈，〉＝＝＝－，‎ sin〈，〉＝＝＝，‎ ‎∴AC边上的高为|AB|sin〈，〉＝×＝5.‎ 答案：5‎ ‎9.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，且PA＝AD，E，F分别为线段AB，PD的中点．‎ 求证：(1)AF∥平面PEC；‎ ‎(2)AF⊥平面PCD.‎ 证明：以A为原点，向量，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．‎ 设AB＝a，‎ PA＝AD＝1，‎ 则P(0,0,1)，C(a,1,0)，‎ 8‎ E，D(0,1,0)，F.‎ ‎(1)＝，＝，＝，‎ ‎∴＝＋，‎ 又AF⊄平面PEC，∴AF∥平面PEC.‎ ‎(2)＝(0,1，－1)，＝(－a,0,0)，‎ ·＝·(0,1，－1)＝0，‎ ·＝·(－a,0,0)＝0，‎ ‎∴⊥，⊥，‎ 即AF⊥PD，AF⊥CD，又PD∩CD＝D，‎ ‎∴AF⊥平面PCD.‎ ‎10.如图，已知平行六面体ABCDA1B‎1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.‎ ‎(1)求证：C‎1C⊥BD；‎ ‎(2)当的值为多少时，能使A‎1C⊥平面C1BD？并给出证明．‎ 解析：(1)证明：设＝a，＝b，＝c.‎ 依题意，|a|＝|b|.‎ ，，中两两所成的夹角为θ，于是 ＝－＝a－b，‎ ·＝c·(a－b)＝c·a－c·b ‎＝|c||a|cos θ－|c||b|cos θ＝0，‎ ‎∴⊥.∴C‎1C⊥BD.‎ ‎(2)若使A‎1C⊥平面C1BD，只需A‎1C⊥BD，‎ A‎1C⊥DC1，‎ 由·＝(＋)·(－)‎ ‎＝(a＋b＋c)·(a－c)‎ ‎＝|a|2＋a·b－b·c－|c|2‎ 8‎ ‎＝|a|2－|c|2＋|b||a|cos θ－|b||c|cos θ＝0，‎ 当|a|＝|c|时，A‎1C⊥DC1，‎ 同理可证当|a|＝|c|时，A‎1C⊥BD，‎ ‎∴＝1时，A‎1C⊥平面C1BD.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1.如图，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．6‎ 解析：如图，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，a,0)．‎ 设Q(1，x,0)(0≤x≤a)．‎ P(0,0，z)．‎ 则＝(1，x，－z)，‎ ＝(－1，a－x,0)．‎ 由PQ⊥QD，得－1＋x(a－x)＝0，‎ 即x2－ax＋1＝0.‎ 由题意知方程x2－ax＋1＝0只有一解．‎ ‎∴Δ＝a2－4＝0，a＝2，这时x＝1∈[0，a]．‎ 答案：A ‎2．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是(　　)‎ A．①④ B．②④‎ C．①②③ D．③④‎ 解析：·＝－2－2＋4＝0，∴AP⊥AB，①正确；·＝－4＋4＝0，‎ ‎∴AP⊥AD，②正确；由①②知是平面ABCD的法向量，∴③正确 ‎④不正确．‎ 答案：C ‎3．在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是DD1，D‎1C1的中点，则关于直线OM下列说法正确的是________．‎ 8‎ ‎①是AC和MN的公垂线；‎ ‎②垂直于AC，但不垂直于MN；‎ ‎③垂直于MN，但不垂直于AC；‎ ‎④与AC，MN都不垂直．‎ 解析：以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，O，‎ M，N，‎ 则＝(－1,1,0)，＝，‎ ＝，‎ ·＝0，·＝0，即选项①正确．‎ 答案：①‎ ‎4．在长方体ABCDA1B‎1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，点P为C1D1的中点，点M为BC的中点，则△APM的面积为________．‎ 解析：建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 则A(2，0,0)，M(，2,0)，‎ P(0,1，)，‎ cos〈，〉＝＝，‎ sin〈，〉＝，‎ S△APM＝|| ||sin〈，〉＝×2××＝3.‎ 答案：3‎ ‎5.已知正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E为棱CC1上的动点 ‎(1)求证：A1E⊥BD；‎ ‎(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．‎ 证明：以D为坐标原点以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a.‎ ‎(1)A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，‎ A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．‎ 8‎ 设E(0，a，z)，‎ 则＝(－a，a，z－a)，‎ ＝(－a，－a,0)，‎ ·＝a2－a2＋(z－a)·0＝0.‎ ‎∴⊥，即A1E⊥BD.‎ ‎(2)E为CC1的中点．证明如下：‎ 若E是CC1的中点，则E，‎ 设BD的中点为O，连接AC，OE，A1O.‎ 则O，＝，‎ ＝(－a，－a,0)，‎ 则·＝0，⊥，‎ ‎∵·＝－＋＋0＝0，‎ ‎∴⊥，‎ ‎∴∠A1OE为二面角A1BDE的平面角．‎ ·＝0，则∠A1OE＝90°，‎ ‎∴平面A1BD⊥平面EBD.‎ ‎∴当E为CC1的中点时，能使平面A1BD⊥平面EBD.‎ ‎6.已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PD⊥底面ABCD，且PD＝DA＝CD＝2AB＝2，M点为PC的中点．‎ ‎(1)求证：BM∥平面PAD；‎ ‎(2)在平面PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD.‎ 解析：(1)证明：∵PD⊥底面ABCD，CD∥AB，CD⊥AD.‎ ‎∴以D为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向向量，建立空间直角坐标系(如图所示)．‎ 由于PD＝CD＝DA＝2AB＝2，‎ 所以D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2，1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，M(0，1,1)，‎ 8‎ ‎∴＝(－2,0,1)，＝(0,2,0)，‎ ‎∵⊥平面PAD，‎ ‎∴是平面PAD的法向量，且·＝0，‎ ‎∴∥平面PAD.‎ ‎∴BM∥平面PAD.‎ ‎(2)设N(x,0，z)是平面PAD内一点，则＝(x，－1，z－1)，＝(0,0,2)，‎ ＝(2,1,0)，‎ 若MN⊥平面PBD，则 ‎∴即 ‎∴在平面PAD内存在点N，使MN⊥平面PBD.‎ 8‎