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  • 2021-06-21 发布

2020年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式3三个正数的算术-几何平均不等式优化

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‎3 三个正数的算术-几何平均不等式 ‎[课时作业]‎ ‎ [A组 基础巩固]‎ ‎1.设x,y,z>0且x+y+z=6,则lg x+lg y+lg z的取值范围是(  )‎ A.(-∞,lg 6]      B.(-∞,3lg 2]‎ C.[lg 6,+∞) D.[3lg 2,+∞)‎ 解析:∵lg x+lg y+lg z=lg(xyz),‎ 而xyz≤3=23,‎ ‎∴lg x+lg y+lg z≤lg 23=3lg 2,当且仅当x=y=z=2时,取等号.‎ 答案:B ‎2.函数y=x2·(1-5x)(0≤x≤)的最大值为(  )‎ A. B. C. D. 解析:∵0≤x≤,∴1-5x≥0,‎ ‎∴y=x2·(1-5x)=[x·x·(1-5x)]‎ ‎≤[]3=.‎ 当且仅当x=1-5x,‎ 即x=时取“=”,故选A.‎ 答案:A ‎3.已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V,则下列不等式正确的是(  )‎ A.V≥π B.V≤π C.V≥π D.V≤π 解析:如图,设圆柱半径为R,高为h,则4R+2h=6,即2R+h=3.‎ V=S·h=πR2·h=π·R·R·h≤π3=π,当且仅当R=R=h=1时取等号.‎ 答案:B 6‎ ‎4.设a,b,c∈R+,且a+b+c=1,若M=··,则必有(  )‎ A.0≤M< B.≤M<1‎ C.1≤M<8 D.M≥8‎ 解析:M=·=≥=8,‎ 当且仅当a=b=c时等号成立.‎ 答案:D ‎5.已知x为正数,下列各题求得的最值正确的是(  )‎ A.y=x2+2x+≥3=6,∴ymin=6‎ B.y=2+x+≥3=3,∴ymin=3 C.y=2+x+≥4,∴ymin=4‎ D.y=x(1-x)(1-2x)≤[]3=,‎ ‎∴ymax= 解析:A,B,D在使用不等式a+b+c≥3(a,b,c∈R+)和abc≤()3(a,b,c∈R+)都不能保证等号成立,最值取不到.C中,∵x>0,∴y=2+x+=2+(x+)≥2+2=4,当且仅当x=,即x=1时取等号.‎ 答案:C ‎6.若x>0,则函数y=4x2+的最小值是________.‎ 解析:∵x>0,‎ ‎∴y=4x2+=4x2++ ‎≥3 =3.‎ 当且仅当4x2=(x>0),‎ 即x=时,取“=”,‎ 6‎ ‎∴当x=时,‎ y=4x2+(x>0)的最小值为3.‎ 答案:3‎ ‎7.若a>2,b>3,则a+b+的最小值为________.‎ 解析:∵a>2,b>3,∴a-2>0,b-3>0,‎ ‎∴a+b+ ‎=(a-2)+(b-3)++5‎ ‎≥3 +5‎ ‎=3+5=8(当且仅当a=3,b=4时等号成立).‎ 答案:8‎ ‎8.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为________.‎ 解析:设底面边长为x,高为h,则 x2·h=V,‎ 所以h=,‎ 又S表=2·x2+3xh ‎=x2+3x·=x2+ ‎== ‎≥×3=3×,‎ 当且仅当x2=,即x=时,S表最小.‎ 答案: ‎9.已知x,y均为正数,且x>y,求证:2x+≥2y+3.‎ 证明:因为x>0,y>0,x-y>0,‎ ‎2x+-2y 6‎ ‎=2(x-y)+ ‎=(x-y)+(x-y)+ ‎≥3=3,‎ 所以2x+≥2y+3.‎ ‎10.如图(1)所示,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,如图(2)所示,求这个正六棱柱容器的容积最大值.‎ 解析:设正六棱柱容器底面边长为x(x>0),高为h,由图可有2h+x=,‎ ‎∴h=(1-x),‎ V=S底·h=6×x2·h ‎=x2··(1-x)‎ ‎=2××××(1-x)‎ ‎≤9×3=.‎ 当且仅当==1-x,‎ 即x=时,等号成立.‎ 所以当底面边长为时,正六棱柱容器的容积最大,为.‎ ‎[B组 能力提升]‎ 6‎ ‎1.已知a,b,c∈R+,x=,y=,z= ,则(  )‎ A.x≤y≤z B.y≤x≤z C.y≤z≤x D.z≤y≤x 解析:∵a,b,c∈R+,∴≥,‎ ‎∴x≥y,又x2=,z2=,‎ ‎∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥‎2ac,‎ 三式相加得:a2+b2+c2≥ab+bc+ca.‎ ‎∴‎3a2+3b2+‎3c2≥(a+b+c)2,‎ ‎∴z2≥x2,∴z≥x,即y≤x≤z.‎ 答案:B ‎2.若实数x,y满足xy>0,且x2y=2,则xy+x2的最小值是(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ 解析:xy+x2=xy+xy+x2‎ ‎≥3 =3 =3=3.‎ 答案:C ‎3.设x∈,则函数y=4sin2x·cos x的最大值为________.‎ 解析:∵y2=16sin2x·sin2x·cos2x ‎=8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤8()3=8×=,‎ ‎∴y2≤,当且仅当sin2x=2cos2x,‎ 即tan x=时,等号成立.∴ymax=.‎ 答案: ‎4.设正数a,b,c满足a+b+c=1,则++的最小值为________.‎ 解析:∵a,b,c均为正数,且a+b+c=1,‎ ‎∴(‎3a+2)+(3b+2)+(‎3c+2)=9.‎ ‎∴(++)·[(‎3a+2)+(3b+2)+(‎3c+2)]≥‎ 6‎ ‎3··3=9.‎ 当且仅当a=b=c=时等号成立.‎ 即++≥1.‎ 故++的最小值为1.‎ 答案:1‎ ‎5.设a,b,c为正实数,求证:+++abc≥2.‎ 证明:因为a,b,c为正实数,由算术—几何平均不等式可得 ++≥3 ,‎ 即++≥(当且仅当a=b=c时,等号成立).‎ 所以+++abc≥+abc.‎ 而+abc≥2 =2(当且仅当a2b‎2c2=3时,等号成立),‎ 所以+++abc≥2(当且仅当a=b=c=时,等号成立).‎ ‎6.已知某轮船速度为每小时10千米,燃料费为每小时30元,其余费用(不随速度变化)为每小时480元,设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比,问轮船航行的速度为每小时多少千米时,每千米航行费用总和为最小.‎ 解析:设船速为V千米/小时,燃料费为A元/小时,则依题意有A=k·V3,且有30=k·103,∴k=.‎ ‎∴A=V3.‎ 设每千米的航行费用为R,需时间为小时,‎ ‎∴R=(V3+480)=V2+ ‎=V2++ ‎≥3 =36.‎ 当且仅当V2=,即V=20时取最小值.‎ 6‎ 答:轮船航行速度为‎20千米/小时时,每千米航行费用总和最小.‎ 6‎