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- 2021-06-21 发布
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3 三个正数的算术-几何平均不等式
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1.设x,y,z>0且x+y+z=6,则lg x+lg y+lg z的取值范围是( )
A.(-∞,lg 6] B.(-∞,3lg 2]
C.[lg 6,+∞) D.[3lg 2,+∞)
解析:∵lg x+lg y+lg z=lg(xyz),
而xyz≤3=23,
∴lg x+lg y+lg z≤lg 23=3lg 2,当且仅当x=y=z=2时,取等号.
答案:B
2.函数y=x2·(1-5x)(0≤x≤)的最大值为( )
A. B.
C. D.
解析:∵0≤x≤,∴1-5x≥0,
∴y=x2·(1-5x)=[x·x·(1-5x)]
≤[]3=.
当且仅当x=1-5x,
即x=时取“=”,故选A.
答案:A
3.已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V,则下列不等式正确的是( )
A.V≥π B.V≤π
C.V≥π D.V≤π
解析:如图,设圆柱半径为R,高为h,则4R+2h=6,即2R+h=3.
V=S·h=πR2·h=π·R·R·h≤π3=π,当且仅当R=R=h=1时取等号.
答案:B
6
4.设a,b,c∈R+,且a+b+c=1,若M=··,则必有( )
A.0≤M< B.≤M<1
C.1≤M<8 D.M≥8
解析:M=·=≥=8,
当且仅当a=b=c时等号成立.
答案:D
5.已知x为正数,下列各题求得的最值正确的是( )
A.y=x2+2x+≥3=6,∴ymin=6
B.y=2+x+≥3=3,∴ymin=3
C.y=2+x+≥4,∴ymin=4
D.y=x(1-x)(1-2x)≤[]3=,
∴ymax=
解析:A,B,D在使用不等式a+b+c≥3(a,b,c∈R+)和abc≤()3(a,b,c∈R+)都不能保证等号成立,最值取不到.C中,∵x>0,∴y=2+x+=2+(x+)≥2+2=4,当且仅当x=,即x=1时取等号.
答案:C
6.若x>0,则函数y=4x2+的最小值是________.
解析:∵x>0,
∴y=4x2+=4x2++
≥3 =3.
当且仅当4x2=(x>0),
即x=时,取“=”,
6
∴当x=时,
y=4x2+(x>0)的最小值为3.
答案:3
7.若a>2,b>3,则a+b+的最小值为________.
解析:∵a>2,b>3,∴a-2>0,b-3>0,
∴a+b+
=(a-2)+(b-3)++5
≥3 +5
=3+5=8(当且仅当a=3,b=4时等号成立).
答案:8
8.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为________.
解析:设底面边长为x,高为h,则
x2·h=V,
所以h=,
又S表=2·x2+3xh
=x2+3x·=x2+
==
≥×3=3×,
当且仅当x2=,即x=时,S表最小.
答案:
9.已知x,y均为正数,且x>y,求证:2x+≥2y+3.
证明:因为x>0,y>0,x-y>0,
2x+-2y
6
=2(x-y)+
=(x-y)+(x-y)+
≥3=3,
所以2x+≥2y+3.
10.如图(1)所示,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,如图(2)所示,求这个正六棱柱容器的容积最大值.
解析:设正六棱柱容器底面边长为x(x>0),高为h,由图可有2h+x=,
∴h=(1-x),
V=S底·h=6×x2·h
=x2··(1-x)
=2××××(1-x)
≤9×3=.
当且仅当==1-x,
即x=时,等号成立.
所以当底面边长为时,正六棱柱容器的容积最大,为.
[B组 能力提升]
6
1.已知a,b,c∈R+,x=,y=,z= ,则( )
A.x≤y≤z B.y≤x≤z
C.y≤z≤x D.z≤y≤x
解析:∵a,b,c∈R+,∴≥,
∴x≥y,又x2=,z2=,
∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,
三式相加得:a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
∴3a2+3b2+3c2≥(a+b+c)2,
∴z2≥x2,∴z≥x,即y≤x≤z.
答案:B
2.若实数x,y满足xy>0,且x2y=2,则xy+x2的最小值是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:xy+x2=xy+xy+x2
≥3 =3 =3=3.
答案:C
3.设x∈,则函数y=4sin2x·cos x的最大值为________.
解析:∵y2=16sin2x·sin2x·cos2x
=8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤8()3=8×=,
∴y2≤,当且仅当sin2x=2cos2x,
即tan x=时,等号成立.∴ymax=.
答案:
4.设正数a,b,c满足a+b+c=1,则++的最小值为________.
解析:∵a,b,c均为正数,且a+b+c=1,
∴(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)=9.
∴(++)·[(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)]≥
6
3··3=9.
当且仅当a=b=c=时等号成立.
即++≥1.
故++的最小值为1.
答案:1
5.设a,b,c为正实数,求证:+++abc≥2.
证明:因为a,b,c为正实数,由算术—几何平均不等式可得
++≥3 ,
即++≥(当且仅当a=b=c时,等号成立).
所以+++abc≥+abc.
而+abc≥2 =2(当且仅当a2b2c2=3时,等号成立),
所以+++abc≥2(当且仅当a=b=c=时,等号成立).
6.已知某轮船速度为每小时10千米,燃料费为每小时30元,其余费用(不随速度变化)为每小时480元,设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比,问轮船航行的速度为每小时多少千米时,每千米航行费用总和为最小.
解析:设船速为V千米/小时,燃料费为A元/小时,则依题意有A=k·V3,且有30=k·103,∴k=.
∴A=V3.
设每千米的航行费用为R,需时间为小时,
∴R=(V3+480)=V2+
=V2++
≥3 =36.
当且仅当V2=,即V=20时取最小值.
6
答:轮船航行速度为20千米/小时时,每千米航行费用总和最小.
6
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