2020高中数学 课时分层作业20 空间向量与空间角 新人教A版选修2-1 10页

课时分层作业(二十) 空间向量与空间角 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为(　　)‎ A．30°　　　　　　 B．150°‎ C．30°或150° D．以上均不对 A　[l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为.应选A．]‎ ‎2．已知二面角αlβ的两个半平面α与β的法向量分别为a，b，若〈a，b〉＝，则二面角αlβ的大小为(　　)‎ A． B． C．或 D．或 C　[由于二面角的范围是[0，π]，而二面角的两个半平面α与β的法向量都有两个方向，因此二面角αlβ的大小为或，故选C．]‎ ‎3.如图3227，空间正方体ABCDA1B‎1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A‎1M与DN所成角的大小是(　　)‎ 图3227‎ A． B． C． D． D　[以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系(图略)，则＝，＝，‎ 10‎ cos〈，〉＝＝0.‎ ‎∴〈，〉＝.]‎ ‎4．已知在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为(　　)‎ ‎【导学号：46342179】‎ A．　 B．　　　C．　　　D． B　[作AO⊥平面BCD于点O，则O是△BCD的中心，以O为坐标原点，直线OD为y轴，直线OA为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．设AB＝2，则O(0,0,0)，A，C，E，∴＝，＝，∴cos〈，〉＝＝＝.∴CE与平面BCD的夹角的正弦值为.]‎ ‎5．如图3228所示，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角CBFD的正切值为(　　)‎ 图3228‎ A． B． C． D． D　[如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.‎ 10‎ 设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，所以O(0,0,0)，B，F，C，＝，易知为平面BDF的一个法向量，由＝，＝，可得平面BCF的一个法向量为n＝(1，，)．所以cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，所以tan〈n，〉＝.故二面角CBFD的正切值为.]‎ 二、填空题 ‎6．若直线l的方向向量a＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n＝(4,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________．‎ 　[由题意，得直线l与平面α所成角的正弦值为＝＝.]‎ ‎7．已知点E，F分别在正方体ABCDA1B‎1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．‎ 　[如图，建立空间直角坐标系．‎ 设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)．‎ 所以A(1,0,0)，E，F，‎ 所以＝，＝，‎ 则即 取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1,3)．‎ 所以cos〈n1，n2〉＝＝.‎ 所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cos α＝，sin α＝，所以tan α＝.]‎ 10‎ ‎8．如图3229，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为________. ‎ ‎【导学号：46342180】‎ 图3229‎ 　[取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.‎ 设BC＝1，则A，B，C，D，所以＝，＝，＝.‎ 设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，则，所以，取x＝1，则y＝－，z＝1，所以n＝(1，－，1)，所以cos〈n，〉＝，因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.]‎ 三、解答题 ‎9.如图3230，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝AE＝2，O，M分别为CE，AB的中点．‎ 图3230‎ 10‎ ‎(1)求异面直角AB与CE所成角的大小；‎ ‎(2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值．‎ ‎[解]　(1)∵DB⊥BA，平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB，DB⊂平面ABDE，∴DB⊥平面ABC．‎ ‎∵BD∥AE，∴EA⊥平面ABC．‎ 如图所示，以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴，以过点C且与EA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系．‎ ‎∵AC＝BC＝4，∴C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,4,0)，E(4,0,4)，‎ ‎∴＝(－4,4,0)，＝(4,0,4)．‎ ‎∴cos〈，〉＝＝－，‎ ‎∴异面直线AB与CE所成角的大小为.‎ ‎(2)由(1)知O(2,0,2)，D(0,4,2)，M(2,2,0)，‎ ‎∴＝(0,4,2)，＝(－2,4,0)，＝(－2,2,2)．‎ 设平面ODM的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则由，可得，‎ 令x＝2，则y＝1，z＝1，∴n＝(2,1,1)．‎ 设直线CD与平面ODM所成的角为θ，‎ 则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝，‎ ‎∴直线CD与平面ODM所成角的正弦值为.‎ ‎10．如图3231，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝，AB＝4.‎ 10‎ 图3231‎ ‎(1)求证：M为PB的中点；‎ ‎(2)求二面角BPDA的大小；‎ ‎(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值. ‎ ‎【导学号：46342181】‎ ‎[解]　(1)证明：设AC，BD交于点E，连接ME，‎ 因为PD∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME，‎ 所以PD∥ME.‎ 因为四边形ABCD是正方形，‎ 所以E为BD的中点，‎ 所以M为PB的中点．‎ ‎①‎ ‎(2)如图②，取AD的中点O，连接OP，OE.‎ 因为PA＝PD，所以OP⊥AD．‎ 又因为平面PAD⊥平面ABCD，且OP⊂平面PAD，‎ 所以OP⊥平面ABCD．‎ 因为OE⊂平面ABCD，所以OP⊥OE.‎ 因为四边形ABCD是正方形，所以OE⊥AD．‎ 如图②，建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0,0，)，D(2,0,0)，B(－2,4,0)，＝(4，－4,0)，＝(2,0，－)．‎ ‎②‎ 设平面BDP的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 10‎ 则即 令x＝1，则y＝1，z＝.‎ 于是n＝(1,1，)．‎ 平面PAD的法向量为p＝(0,1,0)，‎ 所以cos〈n，p〉＝＝.‎ 由题意知二面角BPDA为锐角，所以它的大小为.‎ ‎(3)由题意知M，C(2,4,0)，＝.‎ 设直线MC与平面BDP所成角为α，则sin α＝|cos〈n，〉|＝＝，‎ 所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1.如图3232，在三棱柱ABCA1B‎1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.则A1B与平面ABD所成角的正弦值为(　　)‎ 图3232‎ A．　 B．　　　C．　　　D． A　[以C为坐标原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，CC1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．‎ 设CA＝CB＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，A1(a,0,2)，D(0,0,1)，∴E，G， 10‎ ‎＝，＝(0，－a,1)．∵点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，∴⊥平面ABD，∴·＝0，解得a＝2，∴＝，＝(2，－2,2)，∵⊥平面ABD，∴为平面ABD的一个法向量．又cos〈，〉＝＝＝，∴A1B与平面ABD所成角的正弦值为.]‎ ‎2．如图3233，已知矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角DABE为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为θ，且cos θ＝，则＝(　　)‎ 图3233‎ A．1 B． C． D． C　[不妨设BC＝1，AB＝λ，则＝λ.记＝a，＝b，＝c，则＝b－a，＝c－b，根据题意，|a|＝|c|＝1，|b|＝λ，a·b＝b·c＝c·a＝0，∴·＝－b2＝－λ2，而||＝，||＝，‎ ‎∴|cos〈，〉|＝＝＝，得λ＝.故选C．]‎ ‎3．在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a＞0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________.‎ 　[平面xOy的法向量为n＝(0,0,1)，设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，则 即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝.‎ 而cos〈n，u〉＝＝，‎ 10‎ 又∵a＞0，∴a＝.]‎ ‎4．如图3234，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是线段AB上一点，当二面角PECD为时，AE＝________. ‎ ‎【导学号：46342182】‎ 图3234‎ ‎2－　[设AE＝a(0≤a≤2)，以点D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，则D(0,0,0)，E(1，a,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)，则＝(1，a，－1)，＝(0,2，－1)，设平面PEC的法向量为m＝(x，y，z)，则，即，令y＝1，可得x＝2－a，z＝2，则m＝(2－a,1,2)，易知平面DEC的一个法向量为＝(0,0,1)，则|cos〈m，〉|＝＝，解得a＝2－或2＋(舍去)，所以AE＝2－.]‎ ‎5．如图3235，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．‎ 图3235‎ ‎(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；‎ ‎(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值．‎ ‎[解]　(1)证明：由题设可得△ABD≌△CBD，从而AD＝CD．‎ 又△ACD是直角三角形，‎ 所以∠ADC＝90°.‎ 取AC的中点O，连接DO，BO，‎ 10‎ 则DO⊥AC，DO＝AO.‎ 又因为△ABC是正三角形，故BO⊥AC，‎ 所以∠DOB为二面角DACB的平面角．‎ 在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，‎ 又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，‎ 故∠DOB＝90°.‎ 所以平面ACD⊥平面ABC．‎ ‎(2)由题设及(1)知，OA，OB，OD两两垂直，‎ 以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，‎ 则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)，D(0,0,1)．‎ 由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，‎ 即E为DB的中点，得E，‎ 故＝(－1,0,1)，＝(－2,0,0)，＝.‎ 设n＝(x，y，z)是平面DAE的法向量，‎ 则即 可取n＝.‎ 设m是平面AEC的法向量，则 同理可取m＝(0，－1，)，‎ 则cos〈n，m〉＝＝.‎ 所以二面角DAEC的余弦值为.‎ 10‎