高科数学专题复习课件：第二章 2_6对数与对数函数 63页

§2.6 　 对数与对数函数 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 一般地，如果 a x ＝ N ( a >0 ，且 a ≠ 1) ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记 作 ，其中 叫做 对数的底数 ， 叫做 真数 . 1. 对数的概念 知识梳理 x ＝ log a N a N (1) 对数的运算法则 如果 a >0 ，且 a ≠ 1 ， M >0 ， N >0 ，那么 ① log a ( MN ) ＝ ； ② ＝ ； ③ log a M n ＝ ( n ∈ R ). (2) 对数的性质 ① ＝ ； ② log a a N ＝ ( a >0, 且 a ≠ 1). (3) 对数的换底公式 log a b ＝ ( a >0 ，且 a ≠ 1 ； c >0 ，且 c ≠ 1 ； b >0). 2. 对数的性质与运算法则 log a M ＋ log a N log a M － log a N n log a M N N 3. 对数函数的图象与性质 y= log a x   a >1 0< a <1 图象 几何画板展示 定义域 (1)_________ 值域 (2) 性质 (3) 过定点 _____ (4) 当 x >1 时 ， _____; 当 0< x <1 时 ， _____ (5) 当 x >1 时 ， _____ 当 0< x <1 时 ， _____ (6) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上 是 _______ (7) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上 是 ______ (0 ，＋ ∞ ) (1,0) y >0 y <0 y <0 y >0 增函数 减函数 R 4. 反函数 指数函数 y ＝ a x 与对数函数 y ＝ 互 为反函数，它们的图象关于直线 对称 . y ＝ x log a x 1. 换底公式的两个重要结论 知识 拓展 其中 a >0 且 a ≠ 1 ， b >0 且 b ≠ 1 ， m ， n ∈ R . 2. 对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线 y ＝ 1 ，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数 . 故 0< c < d <1< a < b . 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大 . 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 若 MN >0 ，则 log a ( MN ) ＝ log a M ＋ log a N .( 　　 ) (2)log a x ·log a y ＝ log a ( x ＋ y ).( 　　 ) (3) 函数 y ＝ log 2 x 及 都是 对数函数 .( 　　 ) (4) 对数函数 y ＝ log a x ( a >0 且 a ≠ 1) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是增函数 .( 　　 ) (5) 函数 y ＝ 与 y ＝ ln(1 ＋ x ) － ln(1 － x ) 的定义域相同 .( 　　 ) (6) 对数函数 y ＝ log a x ( a >0 且 a ≠ 1) 的图象过定点 (1,0) 且过点 ( a, 1) ， ， 函数图象只在第一、四象限 .( 　　 ) 思考辨析 × × × × √ √ 1.( 教材改编 )(log 2 9)·(log 3 4) 等于 考点自测 答案 解析 (log 2 9)·(log 3 4) ＝ 2log 2 3·2log 3 2 ＝ 4. 2. 函数 f ( x ) ＝ lg(| x | － 1) 的大致图象是 答案 解析 由函数 f ( x ) ＝ lg(| x | － 1) 的定义域为 ( － ∞ ，－ 1) ∪ (1 ，＋ ∞ ) ，值域为 R . 又 当 x >1 时，函数单调递增，所以只有选项 B 正确 . 3. 已知 则 A. a > b > c B. b > a > c C. a > c > b D. c > a > b 答案 解析 由于 y ＝ 5 x 为增函数， 即 故 a > c > b . 4.(2016· 成都模拟 ) 函数 y ＝ 的 定义域为 . 答案 解析 5.( 教材改编 ) 若 log a < 1( a >0 且 a ≠ 1) ，则实数 a 的取值范围 是 . 答案 解析 题型分类　深度剖析 题型一　对数的运算 例 1 　 (1) 已知 log a 2 ＝ m ， log a 3 ＝ n ，则 a 2 m ＋ n ＝ . 答案 解析 12 ∵ log a 2 ＝ m ， log a 3 ＝ n ， ∴ a m ＝ 2 ， a n ＝ 3 ， ∴ a 2 m ＋ n ＝ ( a m ) 2 · a n ＝ 2 2 × 3 ＝ 12. 答案 解析 1 思维 升华 对数运算的一般思路 (1) 拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并 . (2) 合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算 . 跟踪训练 1 　 (1) 若 a ＝ log 4 3 ，则 2 a ＋ 2 － a ＝ . 答案 解析 答案 解析 1 题型二　对数函数的图象及应用 例 2 　 (1) 已知函数 y ＝ log a ( x ＋ c )( a ， c 为常数， 其中 a >0 ， a ≠ 1) 的图象如图，则下列结论成立的 是 A. a >1 ， c >1 B. a >1,0< c <1 C.0< a <1 ， c >1 D.0< a <1,0< c <1 答案 解析 由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数， ∴ 0< a <1 ， ∵ 图象与 x 轴的交点在区间 (0,1) 之间， ∴ 该函数的图象是由函数 y ＝ log a x 的图象向左平移不到 1 个单位后得到的 ， ∴ 0< c <1. (2)( 2017· 合肥 月考 ) 当 0< x ≤ 时 ， 4 x 1 时不满足条件， 思维 升华 (1) 对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性 ( 单调区间 ) 、值域 ( 最值 ) 、零点时，常利用数形结合思想求解 . (2) 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解 . 跟踪训练 2 　 (1) 若函数 y ＝ log a x ( a >0 且 a ≠ 1) 的图象如图所示，则下列函数图象正确的是 答案 解析 由题意 y ＝ log a x ( a >0 且 a ≠ 1) 的图象过 (3,1) 点，可解得 a ＝ 3. 选项 A 中， y ＝ 3 － x ＝ ( ) x ，显然图象错误； 选项 B 中， y ＝ x 3 ，由幂函数图象性质可知正确； 选项 C 中， y ＝ ( － x ) 3 ＝－ x 3 ，显然与所画图象不符； 选项 D 中， y ＝ log 3 ( － x ) 的图象与 y ＝ log 3 x 的图象关于 y 轴对称，显然不符，故选 B. (2)(2016· 新疆乌鲁木齐一诊 ) 设 f ( x ) ＝ |ln( x ＋ 1)| ，已知 f ( a ) ＝ f ( b )( a < b ) ，则 A. a ＋ b >0 B. a ＋ b >1 C.2 a ＋ b >0 D.2 a ＋ b >1 答案 解析 作出函数 f ( x ) ＝ |ln( x ＋ 1)| 的图象如图所示， 由 f ( a ) ＝ f ( b ) ，得－ ln( a ＋ 1) ＝ ln( b ＋ 1) ， 即 ab ＋ a ＋ b ＝ 0.0 ＝ ab ＋ a ＋ b < ＋ a ＋ b ， 即 ( a ＋ b )( a ＋ b ＋ 4)>0 ，显然－ 1< a <0 ， b >0 ， ∴ a ＋ b ＋ 4>0 ， ∴ a ＋ b >0 ，故选 A. 几何画板展示 题型三　对数函数的性质及应用 命题点 1 　比较对数值的大小 例 3 　 (2015· 天津 ) 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) ＝ 2 | x － m | － 1( m 为实数 ) 为偶函数，记 a ＝ f (log 0.5 3) ， b ＝ f (log 2 5) ， c ＝ f (2 m ) ，则 a ， b ， c 的大小关系为 A. a ＜ b ＜ c B. a ＜ c ＜ b C. c ＜ a ＜ b D. c ＜ b ＜ a 答案 解析 由 f ( x ) ＝ 2 | x － m | － 1 是偶函数可知 m ＝ 0 ，所以 f ( x ) ＝ 2 | x | － 1. 所以 c ＝ f (0) ＝ 2 |0| － 1 ＝ 0 ，所以 c < a < b . 几何画板展示 命题点 2 　解对数不等式 例 4 　 (1) 若 < 1 ，则 a 的取值范围是 . 答案 解析 当 a >1 时，函数 y ＝ log a x 在定义域内为增函数， 所以 < log a a 总成立 . 当 0< a <1 时，函数 y ＝ log a x 在定义域内是减函数， (2) 设函数 若 f ( a )> f ( － a ) ，则实数 a 的取值范围是 A.( － 1,0) ∪ ( 0,1) B .( － ∞ ，－ 1) ∪ (1 ，＋ ∞ ) C.( － 1,0) ∪ (1 ，＋ ∞ ) D .( － ∞ ，－ 1) ∪ (0,1) 由题意可 得 或 解得 a >1 或－ 1< a <0 ，故选 C. 答案 解析 几何画板展示 例 5 　 已知函数 f ( x ) ＝ log a (3 － ax ). (1) 当 x ∈ [0,2] 时，函数 f ( x ) 恒有意义，求实数 a 的取值范围； 命题点 3 　和对数函数有关的复合函数 解 答 ∵ a >0 且 a ≠ 1 ，设 t ( x ) ＝ 3 － ax ， 则 t ( x ) ＝ 3 － ax 为减函数， x ∈ [0,2] 时， t ( x ) 的最小值为 3 － 2 a ， 当 x ∈ [0,2] 时， f ( x ) 恒有意义， 即 x ∈ [0,2] 时， 3 － ax >0 恒成立 . (2) 是否存在这样的实数 a ，使得函数 f ( x ) 在区间 [1,2] 上为减函数，并且最大值为 1 ？如果存在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由 . 解 答 t ( x ) ＝ 3 － ax ， ∵ a >0 ， ∴ 函数 t ( x ) 为减函数 . ∵ f ( x ) 在区间 [1,2] 上为减函数， ∴ y ＝ log a t 为增函数， ∴ a >1 ， x ∈ [1,2] 时， t ( x ) 的最小值为 3 － 2 a ， f ( x ) 的最大值为 f (1) ＝ log a (3 － a ) ， 故不存在这样的实数 a ，使得函数 f ( x ) 在区间 [1,2] 上为减函数，并且最大值为 1. 思维 升华 (1) 对数值大小比较的主要方法 ① 化同底数后利用函数的单调性； ② 化同真数后利用图象比较； ③ 借用中间量 (0 或 1 等 ) 进行估值比较 . (2) 解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据 “ 同增异减 ” 原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题 . 跟踪训练 3 　 (1) 设函数 f ( x ) ＝ 则 满足 f ( x ) ≤ 2 的 x 的取值范围是 A. [ － 1,2] B . [0,2] C.[1 ，＋ ∞ ) D .[0 ，＋ ∞ ) 答案 解析 当 x ≤ 1 时， 2 1 － x ≤ 2 ，解得 x ≥ 0 ，所以 0 ≤ x ≤ 1 ； 当 x >1 时， 1 － log 2 x ≤ 2 ，解得 x ≥ ， 所以 x >1. 综上可知 x ≥ 0. 几何画板展示 (2) 若 f ( x ) ＝ lg( x 2 － 2 ax ＋ 1 ＋ a ) 在区间 ( － ∞ ， 1] 上递减，则 a 的取值范围为 A. [1,2) B .[1,2] C.[1 ，＋ ∞ ) D .[2 ，＋ ∞ ) 答案 解析 令函数 g ( x ) ＝ x 2 － 2 ax ＋ 1 ＋ a ＝ ( x － a ) 2 ＋ 1 ＋ a － a 2 ，对称轴为 x ＝ a ， 解得 1 ≤ a <2 ，即 a ∈ [1,2) ，故选 A. 比较大小问题是每年高考的必考内容之一： ( 1) 比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法 . ( 2) 解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选 0 或 1. 比较 指数式、对数式的大小 高频小考点 3 考点分析 典例 　 (1 )( 2016· 全国乙卷 ) 若 a > b >0,0< c <1 ，则 A.log a c c b 答案 解析 因为 0< c <1 ，所以 lg c <0 ， 而 a > b >0 ，所以 lg a >lg b ， 但不能确定 lg a 、 lg b 的正负， 所以它们的大小不能确定，所以 A 错； 对 C ：由 y ＝ x c 在第一象限内是增函数， 即可得到 a c > b c ，所以 C 错； 对 D ：由 y ＝ c x 在 R 上为减函数， 得 c a < c b ，所以 D 错 . 故选 B. (2)(2016· 河南八市质检 ) 若 a ＝ 2 0.3 ， b ＝ log π 3 ， c ＝ log 4 cos 100 ，则 A. b > c > a B. b > a > c C. a > b > c D. c > a > b 答案 解析 因为 2 0.3 >2 0 ＝ 1,0 ＝ log π 1 b > c ，故选 C. (3) 若实数 a ， b ， c 满足 log a 22. ∵ c ＝ 0.8 3.1 ， ∴ 0< c <1. 即 c < a < b ，故选 B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 函数 f ( x ) ＝ ln( x 2 ＋ 1) 的图象大致是 答案 解析 √ 函数 f ( x ) ＝ ln( x 2 ＋ 1) 是偶函数，排除 C ； 当 x ＝ 0 时， f ( x ) ＝ 0 ，排除 B 、 D ，故选 A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.(2016· 吉林模拟 ) 已知函数 f ( x ) ＝ 则 f (2 018) 等于 A.2 019 B.2 018 C.2 017 D.2 016 √ 答案 解析 由已知 f (2 018) ＝ f (2 017) ＋ 1 ＝ f (2 016) ＋ 2 ＝ f (2 015) ＋ 3 ＝ … ＝ f (1) ＋ 2 017 ＝ log 2 (5 － 1) ＋ 2 017 ＝ 2 019. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ， f ( x － 2) ＝ f ( x ＋ 2) ，且 x ∈ ( － 1 , 0 ) 时， f ( x ) ＝ 2 x ＋ ， 则 f (log 2 20) 等于 答案 解析 √ 由 f ( x － 2) ＝ f ( x ＋ 2) ，得 f ( x ) ＝ f ( x ＋ 4) ， 因为 4 ＜ log 2 20 ＜ 5 ，所以 f (log 2 20) ＝ f (log 2 20 － 4) ＝－ f (4 － log 2 20) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A.(0 ，＋ ∞ ) B .(2 ，＋ ∞ ) C.(1 ，＋ ∞ ) D.( ，＋ ∞ ) √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 所以 a >1 ，所以函数 y ＝ log a M 为增函数， 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0 ，＋ ∞ ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 － 1 8. 函数 的 最小值为 . 答案 解析 ＝ log 2 x ·2log 2 (2 x ) ＝ log 2 x (1 ＋ log 2 x ). 设 t ＝ log 2 x ( t ∈ R ) ，则原函数可以化为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 所以 log a (1 － a )>0 ，即 1 － a >1 ， 解得 a <0 ，此时无解 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *10.(2016· 南昌模拟 ) 关于函数 f ( x ) ＝ ( x ≠ 0 ， x ∈ R ) 有下列命题： ① 函数 y ＝ f ( x ) 的图象关于 y 轴对称； ② 在区间 ( － ∞ ， 0) 上，函数 y ＝ f ( x ) 是减函数； ③ 函数 f ( x ) 的最小值为 lg 2 ； ④ 在区间 (1 ，＋ ∞ ) 上，函数 f ( x ) 是增函数 . 其中是真命题的序号为 . 答案 解析 ①③④ ∵ 函数 f ( x ) ＝ ( x ≠ 0 ， x ∈ R ) ，显然 f ( － x ) ＝ f ( x ) ， 即函数 f ( x ) 为偶函数，图象关于 y 轴对称，故 ① 正确； 可知当 x ∈ (0,1) 时， t ′ ( x )<0 ， t ( x ) 单调递减， 当 x ∈ (1 ，＋ ∞ ) 时， t ′ ( x )>0 ， t ( x ) 单调递增，即在 x ＝ 1 处取得最小值为 2. 由偶函数的图象关于 y 轴对称及复合函数的单调性可知 ② 错误， ③ 正确， ④ 正确，故答案为 ①③④ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 已知函数 f ( x ) ＝ ， 若 f ( a ) ＋ f ( b ) ＝ 0 ，且 0< a < b <1 ，则 ab 的取值范围是 . 答案 解析 又 0< a < b <1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *12. 已知函数 f ( x ) ＝ 3 － 2log 2 x ， g ( x ) ＝ log 2 x . (1) 当 x ∈ [ 1,4 ] 时，求函数 h ( x ) ＝ [ f ( x ) ＋ 1 ] · g ( x ) 的值域； 解 答 h ( x ) ＝ (4 － 2log 2 x )·log 2 x ＝－ 2(log 2 x － 1) 2 ＋ 2 ， 因为 x ∈ [1,4] ，所以 log 2 x ∈ [0,2] ， 故函数 h ( x ) 的值域为 [0,2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 如果对任意的 x ∈ [1,4] ，不等式 f ( x 2 )· f ( )> k · g ( x ) 恒成立，求实数 k 的取值范围 . 解答 令 t ＝ log 2 x ，因为 x ∈ [1,4] ，所以 t ＝ log 2 x ∈ [0,2] ， 所以 (3 － 4 t )(3 － t )> k · t 对一切 t ∈ [0,2] 恒成立， ① 当 t ＝ 0 时， k ∈ R ； 综上，实数 k 的取值范围为 ( － ∞ ，－ 3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *13.( 2017· 厦门 月考 ) 已知函数 f ( x ) ＝ . (1) 求函数 f ( x ) 的定义域，并判断函数 f ( x ) 的奇偶性； 解答 ∴ 函数 f ( x ) 的定义域为 ( － ∞ ，－ 1) ∪ (1 ，＋ ∞ ) ， 当 x ∈ ( － ∞ ，－ 1) ∪ (1 ，＋ ∞ ) 时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 ∵ x ∈ [2,6] ， ∴ 0< m <( x ＋ 1)(7 － x ) 在 x ∈ [2,6] 上恒成立 . 令 g ( x ) ＝ ( x ＋ 1)(7 － x ) ＝－ ( x － 3) 2 ＋ 16 ， x ∈ [2,6] ， 由二次函数的性质可知， x ∈ [2,3] 时函数 g ( x ) 单调递增， x ∈ [3,6] 时函数 g ( x ) 单调递减， 即 x ∈ [2,6] 时， g ( x ) min ＝ g (6) ＝ 7 ， ∴ 0< m <7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13