高考数学专题复习教案： 坐标系与参数方程备考策略 3页

坐标系与参数方程备考策略 主标题：坐标系与参数方程备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：坐标系，参数方程，备考策略 难度：3‎ 重要程度：5‎ 内容 考点一　参数方程与普通方程的互化 ‎【例1】 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线；‎ ‎(1)(t为参数)；‎ ‎(2)(t为参数)；‎ ‎(3)(t为参数)．‎ 解　(1)由x＝1＋t得t＝2x－2.‎ ‎∴y＝2＋(2x－2)．‎ ‎∴x－y＋2－＝0，此方程表示直线．‎ ‎(2)由y＝2＋t得t＝y－2，∴x＝1＋(y－2)2.‎ 即(y－2)2＝x－1，此方程表示抛物线．‎ ‎(3) ‎∴①2－②2得x2－y2＝4，此方程表示双曲线．‎ ‎【备考策略】参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围．‎ ‎【训练1】 将下列参数方程化为普通方程．‎ ‎(1)(θ为参数)；‎ ‎(2)(t为参数)．‎ 解　(1)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，‎ 得y2＝2－x.又x＝1－sin 2θ∈[0,2]，‎ 得所求的普通方程为y2＝2－x，x∈[0,2]．‎ ‎(2)由参数方程得et＝x＋y，e－t＝x－y，‎ ‎∴(x＋y)(x－y)＝1，即x2－y2＝1.‎ 考点二　直线与圆参数方程的应用 ‎【例2】 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|.‎ 解　(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ.‎ ‎∴x2＋y2＝2y，即x2＋(y－)2＝5.‎ ‎(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程．‎ 得2＋2＝5，即t2－3t＋4＝0.‎ 由于Δ＝(3)2－4×4＝2＞0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，‎ 所以 又直线l过点P(3，)，‎ 故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.‎ ‎【备考策略】 (1)过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1＋t2)．‎ ‎(2)对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．‎ 考点三　极坐标、参数方程的综合应用 ‎【例3】 已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.‎ ‎(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；‎ ‎(2)求直线AM的参数方程．‎ 解　(1)由已知，点M的极角为，且点M的极径等于，故点M的极坐标为 ‎.‎ ‎(2)点M的直角坐标为，A(1,0)．‎ 故直线AM的参数方程为(t为参数)．‎ ‎ 【备考策略】涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．‎