高考理科数学复习练习作业46 4页

题组层级快练(四十六)‎ ‎1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的(　　)‎ A．充分条件　　　　　　 B．必要条件 C．充要条件 D．等价条件 答案　A ‎2．要证明＋<2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是(　　)‎ A．综合法 B．分析法 C．反证法 D．归纳法 答案　B 解析　从要证明的结论——比较两个无理数大小出发，证明此类问题通常转化为比较有理数的大小，这正是分析法的证明方法，故选B.‎ ‎3．要证a2＋b2－1－a2b2≤0只要证明(　　)‎ A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－≤0‎ C.－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0‎ 答案　D ‎4．下列不等式不成立的是(　　)‎ A.2 C．233<322 D．sin1>cos1‎ 答案　B ‎5．若实数a，b满足a＋b<0，则(　　)‎ A．a，b都小于0 B．a，b都大于0‎ C．a，b中至少有一个大于0 D．a，b中至少有一个小于0‎ 答案　D 解析　假设a，b都不小于0，即a≥0，b≥0，则a＋b≥0，这与a＋b<0相矛盾，因此假设错误，即a，b中至少有一个小于0.‎ ‎6．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　)‎ A．P>Q B．P＝Q C．P0，b>0，a＋b＝1则下列不等式不成立的是(　　)‎ A．a2＋b2≥ B．ab≤ C.＋≥4 D.＋≤1‎ 答案　D 解析　a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2·()2＝，∴A成立；‎ ab≤()2＝，∴B成立；‎ ＋＝＝≥＝4，∴C成立；‎ ‎(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2>1，‎ ‎∴＋>1，故D不成立．‎ ‎8．命题“a，b是实数，若|a＋1|＋(b＋1)2＝0，则a＝b＝－1”，用反证法证明时应假设________．‎ 答案　a≠－1或b≠－1‎ ‎9．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为________．‎ 答案　a，b都不能被5整除 ‎10．设a，b是两个实数，给出下列条件：‎ ‎①a＋b>2；②a2＋b2>2.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．(填上序号)‎ 答案　①‎ 解析　取a＝－2，b＝－1，则a2＋b2>2，从而②推不出．‎ ‎①能够推出，即若a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1.‎ 用反证法证明如下：‎ 假设a≤1，且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾．‎ 因此假设不成立，所以a，b中至少有一个大于1.‎ ‎11．(2017·江苏盐城一模)已知x1，x2，x3为正实数，若x1＋x2＋x3＝1，求证：＋＋≥1.‎ 答案　略 解析　∵＋x1＋＋x2＋＋x3≥2＋2＋2＝2(x1＋x2＋x3)＝2，∴＋＋≥1.‎ ‎12．(1)设x是正实数，求证：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3.‎ ‎(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．‎ 答案　(1)略　(2)成立，证明略 解析　(1)证明：x是正实数，由均值不等式，得 x＋1≥2，x2＋1≥2x，x3＋1≥2.‎ 故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2·2x·2＝8x3(当且仅当x＝1时等号成立)．‎ ‎(2)解：若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3仍然成立．‎ 由(1)知，当x>0时，不等式成立；‎ 当x≤0时，8x3≤0，而(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)(x2－x＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)[(x－)2＋]≥0，此时不等式仍然成立．‎ ‎13．设a>0，b>0，求证：lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．‎ 答案　略 证明　要证lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]，只需证1＋≤，‎ 即证：(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)，即证：2≤a＋b，而2≤a＋b成立，‎ ‎∴lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．‎ ‎14．(2017·湖北武汉调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝5，S8＝64.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求证：＋>(n≥2，n∈N*)．‎ 答案　(1)an＝2n－1　(2)略 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，‎ 则解得a1＝1，d＝2.‎ 故所求的通项公式为an＝2n－1.‎ ‎(2)证明：由(1)可知Sn＝n2，‎ 要证原不等式成立，只需证＋>，‎ 只需证[(n＋1)2＋(n－1)2]n2>2(n2－1)2.‎ 只需证(n2＋1)n2>(n2－1)2.‎ 只需证3n2>1.‎ 而3n2>1在n≥1时恒成立，‎ 从而不等式＋>(n≥2，n∈N*)恒成立．‎ ‎15．(2015·湖南，理)设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：‎ ‎(1)a＋b≥2；‎ ‎(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．‎ 答案　(1)略　(2)略 解析　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.‎ ‎(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.‎ ‎(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0得0