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  • 2021-06-19 发布

高考理科数学复习练习作业15

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题组层级快练(十五)‎ ‎1.y=ln(-x)的导函数为(  )‎ A.y′=-       B.y′= C.y′=ln(x) D.y′=-ln(-x)‎ 答案 B ‎2.(2017·广东五校协作体联考)曲线y=在点(3,2)处的切线的斜率是(  )‎ A.2 B.-2‎ C. D.- 答案 D 解析 y′==-,故曲线在(3,2)处的切线的斜率k=y′|x=3=-=-,故选D.‎ ‎3.曲线f(x)=2exsinx在点(0,f(0))处的切线方程为(  )‎ A.y=0 B.y=2x C.y=x D.y=-2x 答案 B 解析 ∵f(x)=2exsinx,∴f(0)=0,f′(x)=2ex(sinx+cosx),∴f′(0)=2,∴所求切线方程为y=2x.‎ ‎4.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移为s=t3-t2+2t,那么速度为零的时刻是(  )‎ A.0秒 B.1秒末 C.2秒末 D.1秒末和2秒末 答案 D 解析 ∵s=t3-t2+2t,∴v=s′(t)=t2-3t+2.‎ 令v=0,得t2-3t+2=0,t1=1或t2=2.‎ ‎5.设正弦函数y=sinx在x=0和x=附近的平均变化率为k1,k2,则k1,k2的大小关系为(  )‎ A.k1>k2 B.k1k2.‎ ‎6.(2017·湖南雅礼中学月考)曲线y=ax在x=0处的切线方程是xln2+y-1=0,则a=(  )‎ A. B.2‎ C.ln2 D.ln 答案 A 解析 由题知,y′=axlna,y′=lna,又切点为(0,1),故切线方程为xlna-y+1=0,∴a=,故选A.‎ ‎7.若函数f(x)=x2+bx+c的图像的顶点在第四象限,则函数f′(x)的图像是(  )‎ 答案 A 解析 由题意知 即 又f′(x)=2x+b,∴f′(x)的图像为A.‎ ‎8.f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数,若f(x),g(x)满足f′(x)=g′(x),则f(x)与g(x)满足(  )‎ A.f(x)=g(x) B.f(x)=g(x)=0‎ C.f(x)-g(x)为常数函数 D.f(x)+g(x)为常数函数 答案 C ‎9.设a∈R,函数f(x)=ex+a·e-x的导函数是f′(x),且f′(x)是奇函数,则a的值为(  )‎ A.1 B.- C. D.-1‎ 答案 A 解析 因为f′(x)=ex-ae-x,由奇函数的性质可得f′(0)=1-a=0,解得a=1.故选A.‎ ‎10.(2017·《高考调研》原创题)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f′(2 017)=(  )‎ A.1 B.2‎ C. D. 答案 D 解析 令ex=t,则x=lnt,所以f(t)=lnt+t,故f(x)=lnx+x.‎ 求导得f′(x)=+1,故f′(2 017)=+1=.故选D.‎ ‎11.若P为曲线y=lnx上一动点,Q为直线y=x+1上一动点,则|PQ|min=(  )‎ A.0 B. C. D.2‎ 答案 C 解析 如图所示,直线l与y=lnx相切且与y=x+1平行时,切点P到直线y=x+1的距离|PQ|即为所求最小值.(lnx)′=,令=1,得x=1.故P(1,0).故|PQ|min==.故选C.‎ ‎12.y=x·tanx的导数为y′=________.‎ 答案 tanx+ 解析 y′=(x·tanx)′=x′tanx+x(tanx)′=tanx+x·()′=tanx+x·=tanx+.‎ ‎13.已知y=x3-x-1+1,则其导函数的值域为________.‎ 答案 [2,+∞)‎ ‎14.已知函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),则f′(0)=________.‎ 答案 -120‎ 解析 f′(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+x[(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)]′,所以f′(0)=(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)=-120.‎ ‎15.已知函数f(x)=f′()cosx+sinx,所以f()的值为________.‎ 答案 1‎ 解析 因为f′(x)=-f′()sinx+cosx,所以f′()=-f′()sin+cos,所以 f′()=-1.故f()=f′()cos+sin=1.‎ ‎16.(1)(2015·广东,文)若曲线y=ax2-lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,‎ 则a=________.‎ 答案  解析 因为y′=2ax-,依题意得y′|x=1=2a-1=0,所以a=.‎ ‎(2)若曲线f(x)=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是________.‎ 答案 (-∞,0)‎ 解析 由题意,可知f′(x)=3ax2+,又存在垂直于y轴的切线,所以3ax2+=0,即a=-(x>0),故a∈(-∞,0).‎ ‎17.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=2x2.‎ ‎(1)求x<0时,f(x)的表达式;‎ ‎(2)令g(x)=lnx,问是否存在x0,使得f(x),g(x)在x=x0处的切线互相平行?若存在,求出x0的值;若不存在,请说明理由.‎ 答案 (1)f(x)=-2x2(x<0) (2)存在,x0= 解析 (1)当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-2(-x)2=-2x2.‎ ‎∴当x<0时,f(x)的表达式为f(x)=-2x2.‎ ‎(2)若f(x),g(x)在x0处的切线互相平行,则f′(x0)=g′(x0),当x>0时,f′(x0)=4x0=g′(x0)=,解得,x0=±.故存在x0=满足条件.‎ ‎18.已知曲线C:y=x3-3x2+2x,直线l:y=kx,且直线l与曲线C相切于点(x0,y0)(x0≠0),求直线l的方程及切点坐标.‎ 答案 y=-x 切点为(,-)‎ 解析 ∵直线过原点,则k=(x0≠0).‎ 由点(x0,y0)在曲线C上,则y0=x03-3x02+2x0,‎ ‎∴=x02-3x0+2.又y′=3x2-6x+2,‎ ‎∴在(x0,y0)处曲线C的切线斜率应为k==3x02-6x0+2.‎ ‎∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2.‎ 整理得2x02-3x0=0.‎ 解得x0=(x0≠0).‎ 这时,y0=-,k=-.‎ 因此,直线l的方程为y=-x,‎ 切点坐标是(,-).‎ ‎1.曲线y=-在点M(,0)处的切线的斜率为(  )‎ A.- B. C.- D. 答案 B 解析 ∵y′=·[cosx(sinx+cosx)-sinx·(cosx-sinx)]=,∴y′|x==,∴k=y′|x==.‎ ‎2.(2017·山东东营一模)设曲线y=sinx上任一点(x,y)处切线的斜率为g(x),则函数y=x2g(x)的部分图像可能为(  )‎ 答案 C 解析 根据题意得g(x)=cosx,所以y=x2g(x)=x2cosx为偶函数.又x=0时,y=0.故选C.‎ ‎3.(2017·山东烟台期末)若点P是函数y=ex-e-x-3x(-≤x≤)图像上任意一点,且在点P处切线的倾斜角为α,则α的最小值是(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 由导数的几何意义,k=y′=ex+e-x-3≥2-3=-1,当且仅当x=0时等号成立.即tanα≥-1,α∈[0,π),又∵tanα<0,所以α的最小值为,故选B.‎ ‎4.(2015·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=________.‎ 答案 1‎ 解析 因为f(x)=ax3+x+1,所以f′(x)=3ax2+1,所以f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k=3a+1,又f(1)=a+2,所以切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1),因为点(2,7)在切线上,所以7-(a+2)=3a+1,解得a=1.‎ ‎5.(2017·陕西检测)已知直线y=-x+m是曲线y=x2-3lnx的一条切线,则m的值为 ‎(  )‎ A.0           B.2‎ C.1 D.3‎ 答案 B 解析 因为直线y=-x+m是曲线y=x2-3lnx的切线,所以令y′=2x-=-1,得x=1或x=-(舍去),即切点为(1,1),又切点(1,1)在直线y=-x+m上,所以m=2,故选B.‎ ‎6.若曲线y=x3在点P处的切线的斜率为3,则点P的坐标为(  )‎ A.(-1,1) B.(-1,-1)‎ C.(1,1)或(-1,-1) D.(1,-1)‎ 答案 C 解析 y′=3x2,∴3x2=3.∴x=±1.‎ 当x=1时,y=1,当x=-1时,y=-1.‎ ‎7.(2017·浙江十二校联考)函数f(x)的导函数f′(x)的图像是如图所示的一条直线l,l与x轴的交点坐标为(1,0),则f(0)与f(3)的大小关系为(  )‎ A.f(0)f(3)‎ C.f(0)=f(3) D.无法确定 答案 B 解析 由题意知f(x)的图像是以x=1为对称轴,且开口向下的抛物线,所以f(0)=f(2)>f(3).选B.‎ ‎8.(2013·江西,文)若曲线y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=________.‎ 答案 2‎ 解析 由题意y′=αxα-1,在点(1,2)处的切线的斜率为k=α,又切线过坐标原点,所以α==2.‎ ‎9.(2017·河北邯郸二模)曲线y=log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________.‎ 答案 log2e 解析 ∵y′=,∴k=.∴切线方程为y=(x-1).‎ ‎∴三角形面积为S△=×1×==log2e.‎ ‎10.若抛物线y=x2-x+c上的一点P的横坐标是-2,抛物线过点P的切线恰好过坐标原点,则实数c的值为________.‎ 答案 4‎ 解析 ∵y′=2x-1,∴y′|x=-2=-5.又P(-2,6+c),∴=-5.∴c=4.‎ ‎11.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y-1=0,则(  )‎ A.f′(x0)>0 B.f′(x0)<0‎ C.f′(x0)=0 D.f′(x0)不存在 答案 B 解析 切线方程为y=-2x+1,∴f′(x0)=-2<0,故选B.‎ ‎12.若P,Q是函数f(x)=x2-x(-1≤x≤1)图像上任意不同的两点,则直线PQ的斜率的取值范围是(  )‎ A.(-3,1) B.(-1,1)‎ C.(0,3) D.(-4,2)‎ 答案 A 解析 f′(x)=2x-1,当x=-1时,f′(-1)=-3.‎ 当x=1时,f′(1)=1,结合图像可知,-30,排除D,答案为A.‎ ‎14.若直线y=x+b是曲线y=lnx的一条切线,则实数b=________.‎ 答案 ln2-1‎ 解析 ∵切线斜率k=,y′=,∴x=2,y=ln2.‎ ‎∴切线方程为y-ln2=(x-2).即y=x+ln2-1,∴b=ln2-1.‎ ‎15.已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4.‎ ‎(1)求曲线C上横坐标为1的切线方程;‎ ‎(2)第(1)问中的切线与曲线C是否还有其他公共点.‎ 答案 (1)y=-12x+8 (2)还有两个交点(-2,32),(,0)‎ 解析 (1)把x=1代入C的方程,求得y=-4.‎ ‎∴切点为(1,-4),又y′=12x3-6x2-18x,∴切线斜率为k=12-6-18=-12.‎ ‎∴切线方程为y+4=-12(x-1),即y=-12x+8.‎ ‎(2)由 得3x4-2x3-9x2+12x-4=0,即(x-1)2(x+2)(3x-2)=0.‎ ‎∴x=1,-2,.‎ ‎ 代入y=3x4-2x3-9x2+4,求得y=-4,32,0,即公共点为(1,-4)(切点),(-2,32),(,0).‎ ‎∴除切点处,还有两个交点(-2,32),(,0).‎ ‎16.求y=·cos2x(x≠-2)的导数.‎ 解析 y′=(1+)′cos2x+·(cos2x)′=-cos2x+·(-sin2x)·‎ ‎(2x)′=-cos2x-·sin2x